广东省深圳实验学校高中部2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

深圳实验学校高中部2023-2024学年高二上学期期末考试
数学
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数列，，，，…的一个通项公式是
A． B． C． D．
2．设等比数列的前项和为，且，则
A． B． C． D．
3．曲线与曲线的
A．焦距相等 B．离心率相等 C．焦点相同 D．顶点相同
4．已知函数的图象如右图所示，下列正确的是
A．
B．
C．
D．
5．已知数列中，，若，则
A． B． C． D．
6．设椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，若△为等边三角形，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
7．已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是
A．4 B．6 C．8 D．10
8．符号表示不超过实数的最大整数，如，．数列满足，，．若，为数列的前项和，则
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下列表述中正确的是
A．若不存在，则曲线在点处没有切线
B．曲线在处的切线方程为，则当时，
C．
D．若，则
10．首项为正数，公差的等差数列，其前项和为，则下列命题中正确的有
A．若，则，
B．若，，则中最大
C．若，则使的最大的n为21
D．若（为常数），则
11．已知是椭圆的右焦点，为左焦点，为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点，，，，… 组成公差为的等差数列，则
A．△的面积最大时，
B．的最大值为8
C．的值可以为
D．椭圆上存在点，使
12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．如图示，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其前10项依次是，此数列记为，其前项的和记为，则
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在等比数列中，，是方程的两根，则___________．
14．写出与圆和都相切的一条直线的方程__________．
15．若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是___________．
16．已知抛物线，过焦点的直线交于，两点，点为直线上的点，且△是等边三角形，则△的面积为___________．
四、解答题：共70分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知函数．
（1）若函数的图象在点处的切线与直线垂直，
求的单调递增区间；
（2）若函数在(0,+∞)上为增函数，求实数k的取值范围．
18．（本小题满分12分）
△三个顶点是，，，圆是△的外接圆．
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
19．（本小题满分12分）
已知数列满足，，等比数列满足，且．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
20．（本小题满分12分）
设抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．
（1）若，求的方程；
（2）若，求．
21．（本小题满分12分）
正项数列满足：对一切，有，其中为数列的前项和．
（1）证明：；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，数列的前项和为．证明：．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上．
（1）求的方程；
（2）设、是的左、右顶点，直线交于C、D两点，直线、的斜率分别为、．若；
①证明：直线过定点；
②求四边形面积的最大值．
深圳实验学校高中部2023-2024学年高二上学期期末考试
数学试题参考答案
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A D B B C B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
题号 9 10 11 12
答案 BC AC ABC ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
（13）2； （14）或（写一条即可）；
（15）； （16）．
四、解答题：共70分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
17．（本小题满分10分）
解：（1）的定义域为，，
由题意可知，解得，
所以．
由，得或，
所以函数的单调递增区间是，；……………………………………………………5分
（2）函数的定义域为，要使函数在定义域内为增函数，
只需在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
即在区间上恒成立.
令, ，
则，当且仅当时等号成立，
所以，即实数的取值范围为． ……………………………………………………10分
18．（本小题满分12分）
解：（1）设圆的方程为，
因为，，在圆上，带入坐标得
解得：，，，
所以圆的标准方程为：；………………………………………………………6分
（2）解：由题意可知，圆心到直线的距离为，
若直线轴，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，可得，解得
此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或. ……………………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）因为，所以
，因为，
所以；
设等比数列的公比为，由得得，解得或，
若，又，所以，，所以，所以的通项公式为；
若，又，所以，，所以，所以的通项公式为；
综上：，或； …………………………………………………………………… 6分
（2）若，，则
若，，则
两式相减，得
，
所以．
综上：或． …………………………………………………………… 12分
20．（本小题满分12分）
解： 1）设直线的方程为，将其代入抛物线得：，
设，，，，
则，①，②，
由抛物线的定义可得：，解得，
直线的方程为． …………………………………………………………… 6分
（2）若，则，，化简得，③
由①②③解得，，，
． …………………………………………………………… 12分
21．（本小题满分12分）
（1）证明：，，
两式作差可得：，
，即，
又，得，则，
； …………………………………………………………… 3分
（2）解：当时，由及，
得，
，，
当时，，，可得；
当时，，得到，又，解得，
，满足，
则数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，
其通项公式为； …………………………………………………………… 7分
（3）
所以
，
由数列是递增数列，可得，
综上：所以．…………………………………………………………… 12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）根据椭圆对称性，必过、
又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点
将代入椭圆方程得
，解得，
∴椭圆的方程为：；…………………………………………………………… 4分
（2）
①方法一：第三定义转化
依题意，点，设，
因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，与椭圆联立
整理得：，
所以，且
因为点是椭圆上一点，即，设直线的斜率为
所以，
所以，即， ……………………………………………………6分
因为
，
所以，此时，
故直线恒过定点． ……………………………………………………9分
方法二：非对称韦达
依题意，点，设，
因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，与椭圆联立
整理得：，
所以，且
依题意，，即．
算法1：和积关系转化法
因为，
所以，
所以解得：． ……………………………………………………9分
算法2：韦达定理代入消元
因为，
所以，
所以解得：． ……………………………………………………9分
方法三：分设两线再联立
依题意，点，设设，并设直线，直线，
因为联立直线与椭圆得：
所以整理得：，解得：．
因为联立直线与椭圆得：
所以整理得：，解得：．
因为，且，此时，
设直线与轴交于点，则由，，三点共线易知，
，
即直线过点． ……………………………………………………9分
②由①得，
所以
（当且仅当即时等号成立），
所以的最大值为． ……………………………………………………12分