学案2 实验：探究合力与分力的关系
[目标定位] 1.探究互成角度的两个力合成的平行四边形定则.2.练习用作图法求两个力的合力．
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一、实验原理
一个力F的作用效果与两个共点力F ( http: / / www.21cnjy.com )1和F2的共同作用效果都是把橡筋条结点拉伸到某点，则F为F1和F2的合力，作出F的图示，再根据力的平行四边形定则作出F1和F2的合力F′的图示，比较F′与F在实验误差允许范围内是否大小相等、方向相同，即得到互成角度的两个力合成遵从平行四边形定则．
二、实验器材
方木板、白纸、图钉若干、细芯铅笔、橡皮筋一段、细绳套两个、弹簧测力计两个、三角板、刻度尺．
三、实验过程
1．仪器的安装
(1)钉白纸：用图钉把一张白纸钉在方木板上，将方木板放在水平桌面上．
(2)拴绳套：用图钉把橡皮筋的一端固定在木板上的A点，在橡皮筋的另一端拴上两条细绳套．
2．操作与记录
(1)两力拉：用两个弹簧测力计分别钩住 ( http: / / www.21cnjy.com )两个细绳套，互成角度地拉橡皮筋，使橡皮筋伸长，结点到达某一位置O(如图1所示)．用铅笔描下结点O的位置和两条细绳套的方向，并记录弹簧测力计的读数．
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图1
(2)一力拉：只用一个弹簧测力计，通过细绳套把橡皮筋的结点拉到与前面相同的位置O，记下弹簧测力计的读数和细绳套的方向．
3．作图对比
(1)理论值：在白纸上按比例从O点 ( http: / / www.21cnjy.com )开始作出两个弹簧测力计同时拉橡皮筋时拉力F1和F2的图示，利用刻度尺和三角板根据平行四边形定则求出合力F.
(2)测量值：按同样的比例用刻度尺从O点起作出一个弹簧测力计拉橡皮筋时拉力F′的图示，如图2所示．
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图2
(3)相比较：比较F′与用平行四边形定则求得的合力F在实验误差允许的范围内是否重合．
4．重复
改变两个分力F1和F2的大小和夹角，再重复实验两次，比较每次的F与F′在实验误差允许的范围内是否相等．
四、误差分析
1．弹簧测力计使用前没调零会造成误差．
2．使用中，弹簧测力计的弹簧和外壳之间、指针和外壳之间或弹簧测力计的外壳和纸面之间有摩擦力存在会造成误差．
3．两次测量拉力时，橡皮筋的结点没有拉到同一点会造成偶然误差．
4．两个分力的夹角太小或太大，F1、F2数值太小，应用平行四边形定则作图时，会造成偶然误差．
五、注意事项
1．结点
(1)定位O点时要力求准确；
(2)同一次实验中橡皮筋拉长后的O点必须保持位置不变．
2．拉力
(1)用弹簧测力计测拉力时要使拉力沿弹簧测力计轴线方向；
(2)应使橡皮筋、弹簧测力计和细绳套位于与纸面平行的同一平面内；
(3)两个分力F1、F2间的夹角θ不要太大或太小．
3．作图
(1)在同一次实验中，选定的比例要相同；
(2)严格按力的图示要求和几何作图法作出平行四边形，求出合力．
例1 李明同学在做“探究合力与分力的关系”实验时，利用坐标纸记下了橡皮筋的结点位置O以及两只弹簧测力计拉力的大小，如图3(a)所示．
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图3
(1)试在图(a)中作出无实验误差情况下F1和F2的合力图示，并用F表示此力．
(2)有关此实验，下列叙述正确的是( )
A．两弹簧测力计的拉力可以同时比橡皮筋的拉力大
B．橡皮筋的拉力是合力，两弹簧测力计的拉力是分力
C．两次拉橡皮筋时，需将橡皮筋结点拉到同一位置O，这样做的目的是保证两次弹簧测力计拉力的效果相同
D．若只增大某一只弹簧测力计的拉力大小而保持橡皮筋结点位置不变，只需调整另一只弹簧测力计拉力的大小即可
(3)如图(b)所示是李明和张华两位同学在做以上实验时得到的结果，其中哪一个实验比较符合实验事实？(力F′是用一只弹簧测力计拉时的图示)
________________________________________________________________________.
(4)在以上比较符合实验事实的一位同学的实验中，造成误差的主要原因是：(至少写出两种情况)
________________________________________________________________________.
答案 (1)如图所示
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(2)AC (3)张华的 ( http: / / www.21cnjy.com )实验比较符合实验事实 (4)①F1的方向比真实方向偏左；②F2的大小比真实值偏小且方向比真实方向偏左；③作图时两虚线不分别与F1线和F2线平行
例2 在“探究合力与分力的关系”的实验中某同学的实验情况如图4所示，其中A为固定橡皮筋的图钉，O为橡皮筋与细绳的结点，OB和OC为细绳．
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图4
(1)本实验采用的科学方法是( )
A．理想实验法 B．等效替代法
C．控制变量法 D．建立物理模型法
(2)本实验中，采取下列哪些方法和步骤可以减小实验误差( )
A．两个分力F1、F2间的夹角越大越好
B．拉橡皮筋的细绳要稍长一些
C．实验中，弹簧测力计必须与木板平行
D．读数时视线要正对弹簧测力计刻度
解析 (1)本实验是采用等效替代的 ( http: / / www.21cnjy.com )原理，当两个力作用使橡皮筋结点O伸长到某一点，另一个力作用也使橡皮筋结点O伸长到同一点时，这个力就是前两个力的合力，选B.
(2)本实验中两弹簧测力 ( http: / / www.21cnjy.com )计所拉绳间的夹角一般在60°到120°之间较合适，A错误；为了减小误差，便于确定两拉力的方向，拉橡皮筋的细绳要稍长一些，且必须使橡皮筋、细绳、弹簧测力计都与木板平行，细绳要与弹簧测力计轴线在同一直线上，读数时视线要正对弹簧测力计刻度，B、C、D均正确．
答案 (1)B (2)BCD
1.在做完“探究合力与分力的关系”实验后，某同学将其实验操作过程进行了回顾，并在笔记本上记下如下几条体会，你认为他的体会中正确的是( )
A．用两只弹簧测力计拉橡皮筋时，应使两细绳套间的夹角为90°，以便算出合力的大小
B．用两只弹簧测力计拉橡皮筋时合力 ( http: / / www.21cnjy.com )的图示F与用一只弹簧测力计拉橡皮筋时力的图示F′不完全重合，在误差允许范围内，可以说明“力的平行四边形定则”成立
C．若F1、F2方向不变，而大小各增加1N，则合力的方向也不变，大小也增加1N
D．在用弹簧测力计拉橡皮筋时，应使弹簧测力计的弹簧与木板平面平行
答案 BD
解析 用两只弹簧测力计拉橡皮筋时 ( http: / / www.21cnjy.com )，两细绳套的夹角约在60°～120°范围，实验中不需要计算出合力的大小，没必要非得把细绳套间夹角设定为90°，A错．实验中F与F′的图示不一定完全重合，只要两者长度差不多，夹角很小，就可以近似认为验证了“力的平行四边形定则”，B对．F1、F2夹角不确定，它们的大小与合力F的大小关系不确定，不能通过F1、F2大小的变化确定F大小的变化，C错．实验时必须使弹簧测力计的弹簧与木板平面平行，D对．
2．某同学用如图5所示的实验装置来 ( http: / / www.21cnjy.com )探究合力与分力的关系．弹簧测力计A挂于固定点P，下端用细线挂一重物M.弹簧测力计B的一端用细线系于O点，手持另一端向左拉，使结点O静止在某位置．分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和拉线方向．
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图5
(1)本实验用的弹簧测力计示数的单位为N，图中A的示数为________N.
(2)下列不必要的实验要求是________．(请填写选项前对应的字母)
A．应测量重物M所受的重力
B．弹簧测力计应在使用前校零
C．拉线方向应与木板平面平行
D．改变拉力，进行多次实验，每次都要使O点静止在同一位置
(3)某次实验中，该同学发现弹簧测力计A的指针稍稍超出量程，请您提出两个解决办法．
答案 (1)3.6 (2) ( http: / / www.21cnjy.com )D (3)①改变弹簧测力计B拉力的大小；②减小重物M的质量(或将A更换成较大量程的弹簧测力计、改变弹簧测力计B拉力的方向等)
解析 (1)由弹簧测力计可读出 ( http: / / www.21cnjy.com )数据为3.6N；(2)因为只要O点受力平衡，三个力的合力为零即可，没有必要每次都要使O点静止在同一位置，故选D；(3)减小重物M的质量，可使弹簧测力计的读数减小，将A更换成较大量程的弹簧测力计以及改变弹簧测力计B拉力的方向也可．
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1．在“探究合力与分力的关系”实验中，先将橡 ( http: / / www.21cnjy.com )皮筋的一端固定在水平木板上，另一端系上带有绳套的两根细绳．实验时，需要两次拉伸橡皮筋，一次是通过两细绳用两个弹簧测力计互成角度地拉橡皮筋，另一次是用一个弹簧测力计通过细绳拉橡皮筋．
实验对两次拉伸橡皮筋的要求中，下列说法正确的是________(填字母代号)．
A．将橡皮筋拉伸相同长度即可
B．将橡皮筋沿相同方向拉到相同长度
C．将弹簧测力计都拉伸到相同刻度
D．将橡皮筋和绳的结点拉到相同位置
答案 BD
解析 实验中两次拉伸橡皮筋时，应要求两次的作用效果必须完全相同，即橡皮筋被拉伸的方向、长度完全相同，所以答案选B、D.
2．在“探究合力与分力的关系”的实验 ( http: / / www.21cnjy.com )中，某同学的实验情况如图1甲所示，其中A为固定橡皮筋的图钉，O为橡皮筋与细绳的结点，OB和OC为细绳．图乙是在白纸上根据实验结果画出的力的图示，下列说法中正确的是( )
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图1
A．图乙中的F是力F1和F2合力的理论值，F′是力F1和F2合力的实际测量值
B．图乙的F′是力F1和F2合力的理论值，F是力F1和F2合力的实际测量值
C．在实验中，如果将细绳也换成橡皮筋，那么对实验结果没有影响
D．在实验中，如果将细绳也换成橡皮筋，那么对实验结果有影响
答案 BC
解析 F1与F2合成的理 ( http: / / www.21cnjy.com )论值是通过平行四边形定则算出的值，而实际测量值是单独一个力把橡皮筋拉到O点时的值，因此F′是F1与F2合成的理论值，F是F1与F2合成的实际测量值，故A错误，B正确．由于作用效果相同，将两个细绳换成两根橡皮筋，不会影响实验结果，故C正确，D错误．
3．某同学做“探究合力与分力的关系”实验时，主要步骤有
A．在桌上放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸钉在方木板上；
B．用图钉把橡皮筋的一端固定在板上的A点，在橡皮筋的另一端拴上两条细绳，细绳的另一端系着绳套；
C．用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮筋，使橡皮筋伸长，结点到达某一位置O，记录下O点的位置，读出两个弹簧测力计的示数；
D．按选好的标度，用铅笔和刻度尺作出两只弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并用平行四边形定则求出合力F；
E．只用一只弹簧测力计，通过细绳套拉橡皮筋使其伸长，读出弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，按同一标度作出这个力F′的图示；
F．比较F′和F的大小和方向，看它们是否相同，得出结论．
上述步骤中：
(1)有重要遗漏的步骤的序号是________和________；
(2)遗漏的内容分别是________________________和___________________________．
答案 (1)C E (2)C中应加上“记下两条细绳的方向”
E中应说明“把橡皮筋的结点拉到同一位置O”
解析 (1)根据“探究求合力的方法”实验的操作规程可知，有重要遗漏的步骤的序号是C、E.
(2)在C中未记下两条细绳的方向，E中未说明是否把橡皮筋的结点拉到同一位置O.
4．图2甲为“探究合力与分力的关系”的实验装置．
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图2
(1)下列说法中正确的是________．
A．在测量同一组数据F1、F2和合力F的过程中，拉橡皮筋结点到达的位置不能变化
B．用弹簧测力计拉细绳时，拉力方向必须竖直向下
C．F1、F2和合力F的大小都不能超过弹簧测力计的量程
D．为减小测量误差，F1、F2方向间夹角应为90°
(2)某次操作时，一只弹簧测力计的指针如图乙所示，由图可知拉力的大小为________N.
答案 (1)AC (2)4.0
5．在“探究合力与分力的关系”实验中，
部分实验步骤如下，请完成有关内容：
A．将一根橡皮筋的一端固定在贴有白纸的竖直平整木板上，另一端绑上两根细线．
B．在其中一根细线末端挂上5个质量相等的钩码，使橡皮筋拉伸，如图3甲所示，记录：________、________、________.
C．将步骤B中的钩码取下 ( http: / / www.21cnjy.com )，分别在两根细线末端挂上4个和3个质量相等的钩码，用两光滑硬棒B、C使两细线互成角度，如图乙所示，小心调整B、C的位置，使________，记录______________________．
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图3
答案 步骤B：钩码个数(或细线拉力) 橡皮筋与细线结点的位置O 细线的方向(说明：能反映细线方向的其他记录也可以)
步骤C：橡皮筋与细线结点的位置与步骤B中结点的位置O重合 钩码个数和对应的细线方向
6．某同学用如图4甲所示的装置做“探 ( http: / / www.21cnjy.com )究合力与分力的关系”实验．将一木板竖直平行放在铁架台和轻弹簧所在平面后面．其部分实验操作如下，请完成下列相关内容：
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图4
(1)如图甲，在木板上记下悬挂两个钩码时弹簧末端的位置O；
(2)如图乙所示，卸下钩码，然后将两细 ( http: / / www.21cnjy.com )绳套系在弹簧下端，用两弹簧测力计将轻弹簧末端拉到同一位置O，记录细绳套AO、BO的________及两弹簧测力计相应的读数．其中B弹簧测力计的读数为________N；
(3)该同学在坐标纸上画出两弹簧拉力FA、FB的大小和方向如图丙所示，请在图丙中作出FA、FB的合力F′；
(4)已知钩码的重力，可得弹簧所受的拉力F如图丙所示，观察比较F和F′，得出结论．
答案 (2)方向 11.40 (3)如图所示
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7．在做“探究合力与分力的关系”的实验中 ( http: / / www.21cnjy.com )，在水平放置的木板上垫一张白纸，把橡皮筋的一端固定在A点上，另一端连接两根细线，然后通过细线用两个互成角度的弹簧测力计来拉橡皮筋，使橡皮筋与细线的结点伸长到某一点O，此时需记录下：
(1)________________________________________________________________________；
(2)________________________________________________________________________；
(3)________________________________________________________________________；
然后改用一个弹簧测力计把橡皮筋拉到O点后再记录下：
(4)________________________________________________________________________；
(5)________________________________________________________________________．
如图5所示是该同学完成“探究求合力的方法”实验操作后得到的数据图，请选好比例在方框中作图完成该同学未完成的实验数据处理．
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图5
答案 (1)两弹簧测力计的读数 (2)结点的位置O
(3)两细线的方向 (4)弹簧测力计的读数 (5)细线的方向 实验数据处理如图所示
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解析 作图时要以O点为起点作F1、F2、F′的图示，且要按同一标度；要用三角板和刻度尺规范地作出平行四边形．学案3 怎样分解力
[目标定位] 1.知道什么是力的分解 ( http: / / www.21cnjy.com )，知道力的分解同样遵守平行四边形定则.2.理解力的分解原则，会正确分解一个力，并会用作图法和计算法求分力.3.会用正交分解法求合力．
( http: / / www.21cnjy.com )一、力的分解
[问题设计]
1．王昊同学假期里去旅游，他正拖着行李箱去检票，如图1所示．王昊对箱子有一个斜向上的拉力，这个力对箱子产生了什么效果？
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图1
答案 王昊对箱子斜向上的拉力产生了两个效果：水平方向使箱子前进，竖直方向将箱子向上提起．
2．如果王昊斜向上拉箱子的力已知，这个力的两个分力大小是唯一的吗？如何求这两个分力的大小？
答案 是唯一的，用平行四边形定则来求解．
3．如果没有限制，一个力可以分解为多少对不同的力？
答案 无数对．
[要点提炼]
1．力的分解的运算法则：平行四边形定则．
2．力的分解的讨论
(1)如果没有限制，一个力可分解为无数对大小、方向不同的分力．
(2)有限制条件的力的分解
①已知合力和两个分力的方向时，有唯一解．(如图2所示)
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图2
②已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解．(如图3所示)
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图3
(3)已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：
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图4
①当Fsinα②当F2＝Fsinα时，有唯一解，如图乙所示．
③当F2④当F2>F时，有唯一解，如图丁所示．
二、力的分解方法
[问题设计]
1.用铅笔、细线把一个钩码按图5所示的方式悬挂起来．
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图5
(1)细线的拉力产生了哪些作用效果？
(2)根据细线拉力的作用效果作出拉力的两个分力，并求出两分力的大小．
答案 (1)细线的拉力产生了两个作用效果：竖直向上的力和水平向手的力．
(2)力的分解如图所示：
F1＝Fsinθ，F2＝Fcosθ.
2．如图6甲所示，在一个直角木支架上，用塑料垫板做斜面．将一用橡皮筋拉着的小车放在斜面上(如图乙)，观察塑料垫板和橡皮筋的形变．
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图6
(1)小车重力对斜面和橡皮筋产生了哪些作用效果？如果没有小车重力的作用，还会有这些作用效果吗？
(2)请沿斜面方向和垂直于斜面方向将重力分解．
答案 (1)斜面上小车重力产生了两个效果：一是使小车压紧斜面，二是使小车沿斜面下滑，拉伸橡皮筋；不会．
(2)重力的分解如图所示
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[要点提炼]
1．力的效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个分力的方向．
(2)根据两个分力的方向作出力的平行四边形．
(3)利用数学知识解三角形，分析、计算分力的大小．
2．正交分解法
(1)正交分解的目的：当物体受到多 ( http: / / www.21cnjy.com )个力作用，并且这几个力只共面不共线时，其合力用平行四边形定则求解很不方便，为此先将各力正交分解，然后再合成．
(2)正交分解法求合力
①建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
②正交分解各力，即将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图7所示．
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图7
③分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：
Fx＝F1x＋F2x＋F3x
Fy＝F1y＋F2y＋F3y
④求共点力的合力：合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tanα＝.
一、按力的作用效果分解
例1 如图8所示，轻杆与柱子之间用铰链连接，杆的末端吊着一个重为30N的物体，轻绳与水平轻杆之间的夹角为θ＝30°，求轻绳和杆各受多大的力？
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图8
解析 重物对O点的拉力F ( http: / / www.21cnjy.com )＝G，产生两个作用效果：一个是沿绳方向拉轻绳，一个是沿杆方向压杆(因轻杆处于静止时杆所受的弹力一定沿着杆，否则会引起杆的转动)．作平行四边形如图所示，由几何关系解得
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F1＝＝60N
F2＝≈52N
答案 60N 52N
二、有限制条件的力的分解
例2 按下列两种情况把一个竖直向下的180N的力分解为两个分力．
图9
(1)一个分力在水平方向上，并等于240N，求另一个分力的大小和方向．
(2)一个分力在水平方向上，另一个分力与竖直方向的夹角为30°斜向下(如图9所示)，求两个分力的大小．
解析 (1)力的分解如图所示．
F2＝＝300N
设F2与F的夹角为θ，则
tanθ＝＝，解得θ＝53°
(2)力的分解如图所示．
F1＝Ftan30°＝180×N＝60N
F2＝＝N＝120N
答案 (1)300N 与竖直方向夹角为53° (2)水平方向分力的大小为60N，斜向下的分力的大小为120N
三、正交分解法
例3 如图10所示，力F1、F2、F3、F4是在同一平面内的共点力，其中F1＝20N、F2＝20N、F3＝20N、F4＝20N，各力之间的夹角在图中已标出，求这四个共点力的合力大小和方向．
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图10
解析 以F2方向为x轴的正方向建立直角坐标系xOy，如图所示，则将F1、F3、F4向两坐标轴上分解得
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F1x＝F1cos60°＝20×N＝10N，
F1y＝F1sin60°＝20×N＝10N；
F3x＝F3cos45°＝20×N＝20N，
F3y＝－F3cos45°＝－20×N＝－20N，
F4x＝－F4sin60°＝－20×N＝－30N，
F4y＝－F4cos60°＝－20×N＝－10N.
四个力在x轴上的合力为Fx＝F1x＋F2＋F3x＋F4x＝20N，在y轴上的合力为Fy＝F1y＋F3y＋F4y＝－20N，
四个力的合力F＝＝20N.
合力方向与F3方向一致．
答案 20N，与F3方向一致
1．力的分解：已知一个力求它的分力的过程．力的分解遵循平行四边形定则．
2．力的分解有唯一解的条件
(1)已知两个分力的方向．
(2)已知一个分力的大小和方向．
3．力的分解方法
(1)按力的实际作用效果分解．
(2)正交分解法求合力
以共点力的作用点为原点建立 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系(让尽量多的力在坐标轴上)，把不在坐标轴上的力分解到x轴、y轴上，然后分别求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，则共点力的合力大小F＝，合力方向与x轴夹角为α，tanα＝.
4．矢量相加的法则
平行四边形定则、三角形定则．
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1．(按力的作用效果分解)在图1 ( http: / / www.21cnjy.com )1中，AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°.如果把球O的重力G按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为( )
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图11
A.G，G B.G，G
C.G，G D.G，G
答案 A
解析 对球所受重力进行分解如图所示，
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由几何关系得F1＝Gsin60°＝G，F2＝Gsin30°＝G，A正确．
2．(力的分解的应用)为了行车的方便与安全，高大的桥要造很长的引桥．其主要目的是( )
A．减小过桥车辆受到的摩擦力
B．减小过桥车辆的重力
C．减小过桥车辆对引桥面的压力
D．减小过桥车辆的重力平行于引桥面向下的分力
答案 D
解析 如图所示，
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重力G产生的效果是使物体下滑的分力 ( http: / / www.21cnjy.com )F1和使物体压斜面的分力F2，则F1＝Gsinθ，F2＝Gcosθ，倾角θ减小，F1减小，F2增大，高大的桥造很长的引桥主要目的是减小桥面的坡度，即减小过桥车辆的重力平行于引桥面向下的分力，使行车安全，D正确．
3.(有限制条件的力的分解)如图12 ( http: / / www.21cnjy.com )所示，一物体受到两个力作用，其中F1＝1000N，且与OO′方向夹角为30°，若要使两个力的合力沿OO′方向，则F2的最小值为( )
图12
A．500NB．500NC．1000ND．400N
答案 B
解析 如图所示，作平行四边形可知， ( http: / / www.21cnjy.com )当F2的方向垂直于OO′时F2有最小值，最小值为F2＝F1sin30°＝1000×N＝500N，故B正确．
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题组一 对力的分解的理解
1．若将一个力F分解为两个力F1、F2，则下列说法正确的是( )
A．F是物体实际受到的力
B．F1、F2不是物体实际受到的力
C．物体同时受到F、F1、F2三个力的作用
D．F1、F2共同作用的效果与F相同
答案 ABD
2．把一个力分解为两个力时( )
A．一个分力变大时，另一个分力一定要变小
B．两个分力不能同时变大
C．无论如何分解，两个分力不能同时小于这个力的一半
D．无论如何分解，两个分力不能同时大于这个力的2倍
答案 C
解析 设把一个力F分解为F1、F2两个 ( http: / / www.21cnjy.com )分力，当F1、F2在一条直线上且方向相反时，则有F＝|F1－F2|，当F1变大时，F2也变大，A、B错．F1、F2可以同时大于F的2倍，D错．当将F沿一条直线分解为两个方向相同的力F1、F2时，则有F＝F1＋F2，可知F1、F2不可能同时小于F，C对．
3．下列说法中正确的是( )
A．一个2N的力能分解为7N和4N的两个分力
B．一个2N的力能分解为7N和9N的两个分力
C．一个6N的力能分解为3N和4N的两个分力
D．一个8N的力能分解为4N和3N的两个分力
答案 BC
题组二 有限制条件的力的分解
4．下列说法正确的是( )
A．已知合力大小、方向，则其分力必为确定值
B．已知合力大小、方向和一个分力的大小、方向，则另一个分力必为确定值
C．分力数目确定后，若已知各分力的大小、方向，可依据平行四边形定则求出总的合力
D．若合力为确定值，两分力方向已知，依据平行四边形定则一定可以求出这两个分力的大小
答案 BCD
解析 已知合力的大小、方向，其分 ( http: / / www.21cnjy.com )力有无数组，A错．若已知合力的大小、方向和一个分力的大小、方向，则根据平行四边形定则，另一分力为确定值，B对．若分力确定后，可依据平行四边形定则，求出总的合力，C对．合力为确定值，两分力的方向已知，则两分力是唯一的．
5．将一个有确定方向的力F＝10N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力的大小为6N，则在分解时( )
A．有无数组解 B．有两组解
C．有唯一解 D．无解
答案 B
解析 由三角形定则作图如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示，由几何知识知另一分力的最小值F2′＝Fsin30°＝10×N＝5N，而题中分力的大小为6N，大于最小值5N，小于F＝10N，所以有两组解．
题组三 按力的作用效果分解
6．如图1为某同学设计的一个小实验．他将 ( http: / / www.21cnjy.com )细绳的一端系在手指上(B处)，绳的另一端系在直杆的A端，杆的另一端C顶在掌心上，组成一个“三角支架”．在杆的A端悬挂不同重物，并保持静止．通过实验会感受到( )
图1
A．绳子是被拉伸的，杆是被压缩的
B．杆对手掌施加作用力的方向沿杆由C指向A
C．绳对手指施加作用力的方向沿绳由B指向A
D．所挂重物质量越大，绳和杆对手的作用力也越大
答案 ACD
解析 重物重力的作用效果，一方面 ( http: / / www.21cnjy.com )拉紧绳，另一方面使杆压紧手掌，所以重力可以分解为沿绳方向的力F1和垂直于掌心方向的力F2，如图所示．由几何知识得F1＝，F2＝Gtanθ，若所挂重物质量变大，则F1、F2都变大，选项A、C、D正确．
7．如图2所示，将绳子的一端系在 ( http: / / www.21cnjy.com )汽车上，另一端系在等高的树干上，两端点间绳长为10m．用300N的拉力把水平绳子的中点往下拉离原位置0.5m，不考虑绳子的重力和绳子的伸长量，则绳子作用在汽车上的力的大小为( )
图2
A．1500N B．6000N
C．300N D．1500N
答案 A
解析 拉力F产生两个效果 ( http: / / www.21cnjy.com )(如图所示)，由题意可知绳子与水平方向的夹角正弦值为sinα＝＝0.1，所以绳子的作用力为F绳＝＝1500N，A项正确，B、C、D项错误．
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8．如图3所示，三段不可伸长的 ( http: / / www.21cnjy.com )细绳，OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，其中OB是水平的，A端、B端固定在水平天花板上和竖直墙上．若逐渐增加C端所挂重物的质量，则最先断的绳是( )
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图3
A．必定是OA B．必定是OB
C．必定是OC D．可能是OB，也可能是OC
答案 A
解析 OC下悬挂重物，它对O点 ( http: / / www.21cnjy.com )的拉力等于重物的重力G.OC绳的拉力产生两个效果：使OB在O点受到水平向左的力F1，使OA在O点受到沿绳子方向斜向下的力F2，F1、F2是G的两个分力．由平行四边形定则可作出力的分解图如图所示，当逐渐增大所挂物体的质量时，哪根绳受的拉力最大则哪根最先断．从图中可知：表示F2的有向线段最长，F2分力最大，故OA绳最先断．
题组四 力的正交分解
9．如图4所示，甲、乙、丙三个物体质量相同，与地面的动摩擦因数相同，受到三个大小相同的作用力F，当它们滑动时，受到的摩擦力大小是( )
图4
A．甲、乙、丙所受摩擦力相同
B．甲受到的摩擦力最大
C．乙受到的摩擦力最大
D．丙受到的摩擦力最大
答案 C
解析 题图中三个物体对地面的压力分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为N甲＝mg－Fsinθ，N乙＝mg＋Fsinθ，N丙＝mg，因它们均相对地面滑动，由f＝μN知，f乙＞f丙＞f甲，故C正确．
10．如图5所示，质量为m的等边三棱柱静 ( http: / / www.21cnjy.com )止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为( )
图5
A.mg和mg B.mg和mg
C.mg和μmg D.mg和mg
答案 A
解析 根据三棱柱重力mg的作用效果，可分解为沿斜面向下的分力F1和使三棱柱压紧斜面的力F2(如图所示)，根据几何关系得
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F1＝mgsin30°＝mg，
F2＝mgcos30°＝mg，
因为F1与三棱柱所受静摩擦力大小相等，F2与斜面对三棱柱的支持力大小相等，因此，可知选项A正确．
11.如图6所示，把光滑斜面上的物体所受重力mg分解为F1、F2两个力．图中N为斜面对物体的支持力，则下列说法正确的是( )
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图6
A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力
B．物体受到mg、N、F1、F2共四个力的作用
C．F2是物体对斜面的压力
D．力N、F1、F2这三个力的作用效果与mg、N这两个力的作用效果相同
答案 D
解析 F1是重力沿斜面向下的分力 ( http: / / www.21cnjy.com )，其作用效果是使物体沿斜面下滑，但施力物体不是斜面，故选项A错误．物体受重力mg和支持力N两个力的作用，F1、F2是重力的分力，故选项B错误；F2是重力沿垂直于斜面方向的分力，其作用效果是使物体压紧斜面，F2的大小等于物体对斜面的压力，但两者的受力物体不同，F2的受力物体是物体，物体对斜面的压力的受力物体是斜面，故选项C错误．合力与分力的作用效果相同，故选项D正确．学案5 习题课：共点力平衡条件的应用
[目标定位] 1.进一步理解共点力作用下物 ( http: / / www.21cnjy.com )体的平衡条件.2.掌握矢量三角形法解共点力作用下的平衡问题.3.掌握动态平衡问题的分析方法.4.掌握整体法和隔离法分析连接体平衡问题．
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一、矢量三角形法(合成法)求解共点力平衡问题
物体受多力作用处于平衡状态时，可用正交分解 ( http: / / www.21cnjy.com )法求解，但当物体受三个力作用而平衡时，可用矢量三角形法，即其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反，且这三个力首尾相接构成封闭三角形，通过解三角形求解相应力的大小和方向，当这三个力组成含有特殊角(60°、53°、45°)的直角三角形时尤为简单．
例1 在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图1所示．仪器中一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球．无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度．风力越大，偏角越大，通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力的大小，那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？(试用矢量三角形法和正交分解法两种方法求解)
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图1
解析 取金属球为研究对象，有风时，它受 ( http: / / www.21cnjy.com )到三个力的作用：重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力T，如图甲所示．这三个力是共点力，在这三个共点力的作用下金属球处于平衡状态，则这三个力的合力为零，可以根据任意两力的合力与第三个力等大、反向求解，也可以用正交分解法求解．
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甲
解法一 矢量三角形法
如图乙所示，风力F和拉力T的合力与重力等大反向，由矢量三角形可得：F＝mgtanθ.
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解法二 正交分解法
以金属球为坐标原点，取水平方向为x ( http: / / www.21cnjy.com )轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，如图丙所示．有水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，即
Fx合＝Tsinθ－F＝0，Fy合＝Tcosθ－mg＝0，
解得F＝mgtanθ.由所得结果可见，当金属球的质量m一定时，风力F只跟偏角θ有关．因此，根据偏角θ的大小就可以指示出风力的大小．
答案 F＝mgtanθ
针对训练 如图2所示，光滑半球形容器固定 ( http: / / www.21cnjy.com )在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为N，OP与水平方向的夹角为θ，下列关系正确的是( )
图2
A．F＝ B．F＝mgtanθ
C．N＝ D．N＝mgtanθ
答案 A
解析 对滑块进行受力分析如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，滑块受到重力mg、支持力N、水平推力F三个力作用．由共点力的平衡条件知，F与mg的合力F′与N等大、反向．根据平行四边形定则可知N、mg和合力F′构成直角三角形，解直角三角形可求得：F＝，N＝.所以正确选项为A.
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二、动态平衡问题
所谓动态平衡问题是指通过控制某 ( http: / / www.21cnjy.com )些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，这类问题的解决方法一般用图解法和相似三角形法．
1．图解法
(1)特征：物体受三个力 ( http: / / www.21cnjy.com )作用，这三个力中，一个是恒力，大小、方向均不变化，另两个是变力，其中一个是方向不变的力，另一个是大小、方向均变化的力．
(2)处理方法：把这三个力平移到一个矢量三角形中，利用图解法判断两个变力大小、方向的变化．
2．相似三角形法
(1)特征：物体一般也受三个力作用，这三个力中，一个是恒力，另两个是大小、方向都变化的力．
(2)处理方法：把这三个力平移到一个矢量三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形中，找到题目情景中的结构三角形，这时往往三个力组成的力三角形与此结构三角形相似．利用三角形的相似比判断出这两个变力大小的变化情况．
例2 如图3所示，一个光滑的小球，放置在墙壁和斜木板之间，当斜木板和竖直墙壁的夹角θ角缓慢增大时(θ＜90°)，则( )
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图3
A．墙壁受到的压力减小，木板受到的压力减小
B．墙壁受到的压力增大，木板受到的压力减小
C．墙壁受到的压力增大，木板受到的压力增大
D．墙壁受到的压力减小，木板受到的压力增大
解析 以小球为研究对象，处于平衡 ( http: / / www.21cnjy.com )状态，根据受力平衡，有：由图可知，墙壁给球的压力F2逐渐减小，斜木板给球的支持力F1逐渐减小，根据牛顿第三定律可知墙壁受到的压力减小，木板受到的压力减小，故B、C错误，A正确．
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答案 A
例3 如图4所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个光滑小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮．今缓慢拉绳使小球从A点沿半球面滑到半球顶点，则此过程中，半球对小球的支持力大小N及细绳的拉力F大小的变化情况是( )
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图4
A．N变大，F变大 B．N变小，F变大
C．N不变，F变小 D．N变大，F变小
解析 小球受力如图甲所示，F、N、G构成一封闭三角形．
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由图乙可知＝＝
F＝G· N＝G·
AB变短，OB不变，OA不变，
故F变小，N不变．
答案 C
三、整体法与隔离法分析连接体平衡问题
1．隔离法：为了弄清系统(连接体)内某个物体的受力和运动情况．一般要把这个物体隔离出来进行受力分析，然后利用平衡条件求解．
2．整体法：当只涉及系统而不涉及系统内部某些物体的受力和运动时，一般可把整个系统看成一个物体，画出系统整体的受力图，然后利用平衡条件求解．
注意 隔离法和整体法常常需要交叉运用，从而优化解题思路和方法，使解题简捷明快．
例4 如图5所示，倾角为α、质量为M的斜面体静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在斜面体上．下列结论正确的是( )
图5
A．木块受到的摩擦力大小是mgcosα
B．木块对斜面体的压力大小是mgsinα
C．桌面对斜面体的摩擦力大小是mgsinαcosα
D．桌面对斜面体的支持力大小是(M＋m)g
解析 先选木块和斜面整体为研究对象，由 ( http: / / www.21cnjy.com )于两者都处于平衡状态，故斜面不受到地面的摩擦力，且地面对斜面体的支持力等于总重力，C项错误，D项正确；再选木块为研究对象，木块受到重力、支持力和斜面对它的滑动摩擦力，木块的重力平行于斜面方向的分力为mgsinα，垂直于斜面方向的分力为mgcosα.由平衡条件可得木块受到的摩擦力大小是f＝mgsinα，支持力N＝mgcosα，由牛顿第三定律，木块对斜面体的压力大小是mgcosα，选项A、B错误．
答案 D
1.矢量三角形法 合成法 .
2.动态平衡问题： 1 图解法； 2 相似三角形法.
3.整体法与隔离法分析连接体平衡问题.
( http: / / www.21cnjy.com )1．(矢量三角形法)用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图6所示．已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为( )
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图6
A.mg，mg
B.mg，mg
C.mg，mg
D.mg，mg
答案 A
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解析 分析结点c的受力情况如图， ( http: / / www.21cnjy.com )设ac绳受到的拉力为F1、bc绳受到的拉力为F2，根据平衡条件知F1、F2的合力F与重力mg等大、反向，由几何知识得
F1＝Fcos30°＝mg
F2＝Fsin30°＝mg
选项A正确．
2．(动态平衡问题)用细绳OA、O ( http: / / www.21cnjy.com )B悬挂一重物，OB水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上．悬点A固定不动，将悬点B从图7所示位置逐渐移到C点的过程中，试分析OA绳和OB绳中的拉力变化情况为( )
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图7
A．OA绳中的拉力逐渐减小
B．OA绳中的拉力逐渐增大
C．OB绳中的拉力逐渐减小
D．OB绳中的拉力先减小后增大
答案 AD
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解析 如图所示，在支架上选取三个点B1 ( http: / / www.21cnjy.com )、B2、B3，当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时，OA、OB中的拉力分别为TA1、TA2、TA3和TB1、TB2、TB3，从图中可以直观地看出，TA逐渐变小，且方向不变；而TB先变小后变大，且方向不断改变；当TB与TA垂直时，TB最小，然后TB又逐渐增大．故A、D正确．
3．(整体法与隔离法)如图8所示，质 ( http: / / www.21cnjy.com )量分别为m1、m2的两个物体通过轻弹簧连接，在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(m1在地面上，m2在空中)，力F与水平方向成θ角．则m1所受支持力N和摩擦力f正确的是( )
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图8
A．N＝m1g＋m2g－Fsinθ
B．N＝m1g＋m2g－Fcosθ
C．f＝Fcosθ
D．f＝Fsinθ
答案 AC
解析 将m1、m2和弹簧看做一个整体，受力分析如图所示．
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根据平衡条件得f＝Fcosθ
N＋Fsinθ＝(m1＋m2)g
则N＝(m1＋m2)g－Fsinθ
故选项A、C正确．
4．(矢量三角形法)如图9所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，电灯的重力为20N，绳AO与天花板间的夹角为45°，绳BO水平，求绳AO、BO上的拉力的大小．(请分别用两种方法求解)
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图9
答案 20N 20N
解析 解法一 矢量三角形法(力的合成法)
O点受三个力作用处于平衡状态，如图所示，
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可得出FA与FB的合力F合方向竖直向上，大小等于FC.
由三角函数关系可得
F合＝FAsin45°＝FC＝G灯
FB＝FAcos45°
解得FA＝20N，FB＝20N
故绳AO、BO上的拉力分别为20N、20N.
解法二 正交分解法
如图所示，将FA进行正交分解，根据物体的平衡条件知
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FAsin45°＝FC
FAcos45°＝FB
FC＝G灯
代入数据解得：FA＝20N，FB＝20N.
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题组一 动态平衡问题
1．如图1，电灯悬挂于两墙之间，更换水平绳OA使连结点A向上移动而保持O点的位置不变，则A点向上移动时( )
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图1
A．绳OA的拉力逐渐增大
B．绳OA的拉力逐渐减小
C．绳OA的拉力先增大后减小
D．绳OA的拉力先减小后增大
答案 D
解析 对点O受力分析，如图所示，通过作图，可以看出绳OA的张力先变小后变大，故A、B、C错误，D正确．
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2．用细绳将重球悬挂在竖直光滑墙上如图2所示，当悬挂绳变长时( )
图2
A．绳子拉力变小，墙对球的弹力变大
B．绳子拉力变小，墙对球的弹力变小
C．绳子拉力变大，墙对球的弹力变大
D．绳子拉力变大，墙对球的弹力变小
答案 B
解析 对小球进行受力分析：把绳子的拉力T和墙对球的弹力N合成F，由于物体是静止的，所以物体受力平衡，所以物体的重力等于合力F，即F＝G，
设细线与墙壁的夹角为θ，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )几何关系得出：T＝，N＝mgtanθ，先找到其中的定值，就是小球的重力mg，mg是不变的，随着绳子加长，细线与墙壁的夹角θ减小，则cosθ增大，减小，tanθ减小，mgtanθ减小，所以，T减小，N减小．故选B.
3.一轻杆BO，其O端用光滑铰链铰于固定竖 ( http: / / www.21cnjy.com )直杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图3所示．现将细绳缓慢往左拉，使轻杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及轻杆BO对绳的支持力N的大小变化情况是( )
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图3
A．N先减小，后增大
B．N始终不变
C．F先减小，后增大
D．F始终不变
答案 B
解析 取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉 ( http: / / www.21cnjy.com )力(大小为F)、BO杆的支持力N和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)，如图所示，得到一个力三角形(如图中画斜线部分)，此力三角形与几何三角形OBA相似，可利用相似三角形对应边成比例来解．
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如图所示，力三角形与几何三角形OBA相似，设AO高为H，BO长为L，绳长为l，则由对应边成比例可得：
＝＝
式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知N不变，F逐渐变小．故选B.
4.如图4所示，用细绳悬挂一个小球，小球 ( http: / / www.21cnjy.com )在水平拉力F的作用下从平衡位置P点缓慢地沿圆弧移动到Q点，在这个过程中，绳的拉力F′和水平拉力F的大小变化情况是( )
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图4
A．F′不断增大
B．F′不断减小
C．F不断减小
D．F不断增大
答案 AD
解析 如图所示，利用图解法可知F′不断增大，F不断增大．
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5.置于水平地面上的物体受到 ( http: / / www.21cnjy.com )水平作用力F处于静止状态，如图5所示，保持作用力F大小不变，将其沿逆时针方向缓缓转过180°，物体始终保持静止，则在此过程中地面对物体的支持力N和地面给物体的摩擦力f的变化情况是( )
图5
A．N先变小后变大，f不变
B．N不变，f先变小后变大
C．N、f都是先变大后变小
D．N、f都是先变小后变大
答案 D
解析 力F与水平方向的夹 ( http: / / www.21cnjy.com )角θ先增大后减小，水平方向上，Fcosθ－f＝0，f＝Fcosθ；竖直方向上，N＋Fsinθ－mg＝0，N＝mg－Fsinθ，故随θ变化，f、N都是先减小后增大．
题组二 整体法与隔离法
6.两刚性球a和b的质量 ( http: / / www.21cnjy.com )分别为ma和mb、直径分别为da和db(da＞db)将a、b球依次放入一竖直放置、平底的圆筒内，如图6所示．设a、b两球静止时圆筒侧面对两球的弹力大小分别为F1和F2，筒底对球a的支持力大小为F.已知重力加速度大小为g.若所有接触都是光滑的，则( )
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图6
A．F＝(ma＋mb)g F1＝F2
B．F＝(ma＋mb)g F1≠F2
C．mag＜F＜(ma＋mb)g
D．mag＜F＜(ma＋mb)g，F1≠F2
答案 A
解析 对两刚性球a和b整体受力分析，由竖直方向受力平衡可知F＝(ma＋mb)g、水平方向受力平衡有F1＝F2.
7.如图7所示，测力计、绳子和滑轮的质量都不计，摩擦力不计．物体A重40N，物体B重10N，以下说法正确的是( )
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图7
A．地面对A的支持力是30N
B．物体A受到的合力是30N
C．测力计示数20N
D．测力计示数30N
答案 AC
8.在粗糙水平面上放着一个质量为M的三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )木块abc，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m1和m2的两个物体，m1>m2，如图8所示，若三角形木块和两物体都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块( )
图8
A．无摩擦力的作用
B．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左
C．有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因m1、m2、θ1、θ2的数值均未给出
D．地面对三角形木块的支持力大小为(m1＋m2＋M)g
答案 AD
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解析 由于三角形木块和斜面上的两物体都静止 ( http: / / www.21cnjy.com )，可以把它们看成一个整体，如图所示，整体竖直方向受到重力(m1＋m2＋M)g和支持力N作用处于平衡状态，故地面对整体的支持力大小为(m1＋m2＋M)g，故D选项正确．水平方向无任何滑动趋势，因此不受地面的摩擦力作用．故A选项正确．
9．如图9所示，在粗糙水平地面上 ( http: / / www.21cnjy.com )放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙壁之间放一光滑球B，整个装置处于静止状态．若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则( )
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图9
A．B对墙的压力减小
B．A与B之间的作用力增大
C．地面对A的摩擦力减小
D．A对地面的压力不变
答案 ACD
解析 设物体A对球B的支持力为F1，竖直墙 ( http: / / www.21cnjy.com )对球B的弹力为F2，F1与竖直方向的夹角θ因物体A右移而减小．对球B受力分析如图所示，由平衡条件得：F1cosθ＝mBg，F1sinθ＝F2，解得F1＝，F2＝mBgtanθ，θ减小，F1减小，F2减小，选项A对，B错；对A、B整体受力分析可知，竖直方向，地面对整体的支持力N＝(mA＋mB)g，与θ无关，即A对地面的压力不变，选项D对；水平方向，地面对A的摩擦力f＝F2，因F2减小，故f减小，选项C对．
( http: / / www.21cnjy.com )
题组三 矢量三角形法求解共点力的平衡问题
10．一个物体受到三个力的作用，三力构成的矢量图如图所示，则能够使物体处于平衡状态的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
答案 A
11．如图10所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角都为45°，日光灯保持水平，所受重力为G.则( )
( http: / / www.21cnjy.com )
图10
A．两绳对日光灯拉力的合力大小为G
B．两绳的拉力和重力不是共点力
C．两绳的拉力大小分别为G和G
D．两绳的拉力大小分别为和
答案 AC
解析 如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
两绳拉力的作用线与重力作用线的延长线交于 ( http: / / www.21cnjy.com )一点，这三个力为共点力，B选项错误；由于日光灯在两绳拉力和重力作用下处于静止状态，所以两绳的拉力的合力与重力G等大反向，A选项正确；由于两个拉力的夹角成直角，且都与竖直方向成45°角，则由力的平行四边形定则可知G＝，F1＝F2，故F1＝F2＝G，C选项正确，D选项错误．
12.如图11所示，一个重为100N、 ( http: / / www.21cnjy.com )质量分布均匀的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦．试求墙面对小球的支持力F1和A点对小球的压力F2.
( http: / / www.21cnjy.com )
图11
答案 100N，方向垂直墙壁向左 200N，方向由A指向O
解析 如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
小球受重力mg、竖直墙面对球的弹力F1和A点对球的弹力F2作用．由三力平衡条件知F1与F2的合力与mg等大反向，解直角三角形得
F1＝mgtanθ＝100N，方向垂直墙壁向左
F2＝＝200N，方向由A指向O
13.滑板运动是一项非常刺激的水上运动．研 ( http: / / www.21cnjy.com )究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力N垂直于板面，大小为kv2，其中v为滑板速率(水可视为静止)．某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角θ＝37°时(如图12)，滑板做匀速直线运动，相应的k＝54kg/m，人和滑板的总质量为108 kg，试求：(重力加速度g取10 m/s2，sin37°取，忽略空气阻力)
图12
(1)水平牵引力的大小；
(2)滑板的速率．
答案 (1)810N (2)5m/s
解析 (1)以滑板和运动员整体为研究对象，其受力如图所示(三力组成矢量三角形)
( http: / / www.21cnjy.com )
由共点力平衡条件可得
Ncosθ＝mg①
Nsinθ＝F②
联立①②得
F＝810N
(2)N＝
N＝kv2
解得v＝＝5m/sINCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\第4章.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\第4章.TIF" \* MERGEFORMATINET
学案1 怎样求合力
[目标定位] 1.知道合力与分力的概念及 ( http: / / www.21cnjy.com )力的合成的概念.2.理解平行四边形定则是一切矢量合成的普遍法则，会用平行四边形定则求合力，知道分力与合力间的大小关系.3.知道共点力的概念，会用作图法、计算法求合力．
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\知识探究区.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\知识探究区.TIF" \* MERGEFORMATINET一、合力与分力
[问题设计]
如图1所示，用一个弹簧测力计A可把物体提起 ( http: / / www.21cnjy.com )悬挂在空中，用两个弹簧测力计B、C也可以把该物体提起悬挂在空中，那么一个弹簧测力计的力与两个弹簧测力计的力有什么关系？
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\H69.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\H69.TIF" \* MERGEFORMATINET
图1
答案 作用效果相同，可以等效替代．
[要点提炼]
1．合力与分力：当一个物体受到几个力共同作 ( http: / / www.21cnjy.com )用时，如果能用另外一个力代替它们，并且它的作用效果跟原来那几个力的共同作用效果相同，那么这个力就叫做那几个力的合力，那几个力叫做这个力的分力．
2．合力与分力的关系
(1)等效性：合力与分力产生的效果相同，可以等效替代．
(2)同体性：各个分力是作用在同一物体上的，作用在不同物体上的力不能求合力．
二、用平行四边形定则求合力
[问题设计]
1．如图1中，弹簧测力计A的示数为F，弹簧测力计B、C的示数分别为F1、F2，F1、F2的示数相加正好等于F吗？
答案 不等于．
2．按教材提供的实验探究方法做一做该实验，并回答下列问题．
(1)两次实验要把橡皮筋的下端拉到同一位置，这体现了什么物理思想？
(2)严格按照力的图示法作出两分力F1、F2及它们的合力F.用虚线把合力F的箭头端分别与两个分力的箭头端连接，所成的图形是什么？
答案 (1)等效替代；(2)平行四边形．
3.用硬纸板剪成五个宽度相 ( http: / / www.21cnjy.com )同的长条，其中四个两两长度分别相等，第五个较长些，然后用螺丝钉铆住(AE与BC、CD不要铆住)，如图2所示．其中AB表示一个分力，AD表示另一个分力，AC表示合力．
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W92.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W92.TIF" \* MERGEFORMATINET
图2
(1)改变∠BAD的大小，观察两分力间的夹角变化时合力如何变化？
(2)合力一定大于其中一个分力吗？
答案 (1)合力随着两分力间夹角的增大而减小，随着两分力间夹角的减小而增大．
(2)不一定．合力与分力的大小符合三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形三边的关系，由几何知识知，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，因此合力大小的范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2.例如：F1＝5N，F2＝4N，合力1N≤F≤9N，合力F的最小值为1N，比任何一个分力都小．
[要点提炼]
1．力的合成遵守平行四边形定则．(如图3所示)，平行四边形的两邻边表示两分力，对角线表示合力的大小和方向．
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W93.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W93.TIF" \* MERGEFORMATINET
图3
2．合力与两分力的大小关系
两分力大小不变时，合力F随夹角α的增大而减小，随α的减小而增大．
(1)F的最大值：当α＝0时，Fmax＝F1＋F2；
(2)F的最小值：当α＝180°时，Fmin＝|F1－F2|；
(3)合力大小的范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
注意 合力F既可以大于、也可以等于或小于原来的任意一个分力．
三、矢量和标量
1．矢量：在物理学中，把既有大小又有方向，并且按平行四边形定则进行合成的物理量称为矢量．
2．标量：只有大小、没有方向的物理量称为标量．
3．矢量和标量的区别
两者运算法则不同．矢量运算遵循平行四边形定则．
标量的合成按照算术法则相加．如质量 ( http: / / www.21cnjy.com )分别为m1＝3kg，m2＝4kg的两个物体的总质量一定等于7kg，而F1＝3N、F2＝4N的两个力的合力，却可以等于1～7N之间的任何一个值．
注意 有方向的物理量不一定是矢量．如电流有方向，但电流的运算不遵循平行四边形定则，所以电流是标量．
四、计算合力大小的方法
1．图解法
( http: / / www.21cnjy.com )
2．计算法
可以根据平行四边形定则作出力的示意图，然后由几何关系求解对角线，其长度即为合力大小．
(1)相互垂直的两个力的合成(即α＝90°)：F合＝，F合与F1的夹角的正切值tanβ＝(如图4所示)．
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W94.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W94.TIF" \* MERGEFORMATINET
图4
(2)两个等大的力的合成：平行四边形为菱形，利用其对角线互相垂直平分的特点可解得
F合＝2Fcos(如图5所示)．
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W95A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W95A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W95.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W95.TIF" \* MERGEFORMATINET
图5 图6
若α＝120°，则合力大小等于分力大小(如图6所示)．
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\典例精析.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\典例精析.TIF" \* MERGEFORMATINET
一、合力与分力的关系
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\左括.TIF" \* MERGEFORMAT 例1 INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\右括.TIF" \* MERGEFORMAT 关于两个大小不变的共点力F1、F2与其合力F的关系，下列说法中正确的是( )
A．F大小随F1、F2间夹角的增大而增大
B．F大小随F1、F2间夹角的增大而减小
C．F大小一定比任何一个分力都大
D．F大小不能小于F1、F2中最小者
解析 合力随两分力间夹角的增大而减 ( http: / / www.21cnjy.com )小，合力大小的范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，例如，当F1＝5N、F2＝6N时，1N≤F≤11N，F可以比F1、F2中的最小者小，也可以比F1、F2中的最大者大，故只有选项B正确．
答案 B
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\左括.TIF" \* MERGEFORMAT 例2 INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\右括.TIF" \* MERGEFORMAT 大小分别是30N和25N的两个共点力，对于它们合力大小的判断，下列说法正确的是( )
A．0≤F≤55N B．25N≤F≤30N
C．25 N≤F≤55 N D．5 N≤F≤55 N
解析 合力的最小值Fmin＝30 N－25 N＝5 N
合力的最大值Fmax＝30 N＋25 N＝55 N
所以选项D正确．
答案 D
二、求合力的方法
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\左括.TIF" \* MERGEFORMAT 例3 INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\右括.TIF" \* MERGEFORMAT 杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面迭合梁斜拉桥，如图7甲所示．挺拔高耸的208米主塔似一把利剑直刺穹苍，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲．乙图是斜拉桥钢索的简化图，假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W96.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W96.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\L45B.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\L45B.TIF" \* MERGEFORMATINET
图7
解析 把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分 ( http: / / www.21cnjy.com )力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力．由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下．下面用两种方法计算这个合力的大小．
解法一 作图法(如图甲所示)
自O点引两根有向线段OA和 ( http: / / www.21cnjy.com )OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°，取单位长度为1×104N，则OA和OB的长度都是3个单位长度．量得对角线OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小为F＝5.2×1×104N＝5.2×104N.
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W97.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W97.TIF" \* MERGEFORMATINET
解法二 计算法(如图乙所示)
根据这个平行四边形是一个 ( http: / / www.21cnjy.com )菱形的特点，如图乙所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝OC.在直角三角形AOD中，∠AOD＝30°，而OD＝OC，
则有F＝2F1cos30°＝2×3×104×N≈5.2×104N.
答案 5.2×104N 方向竖直向下
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\课堂要点小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\课堂要点小结.TIF" \* MERGEFORMATINET
一、合力与分力
1．力的合成遵守平行四边形定则．
2．合力与分力的大小关系
(1)合力随两分力间夹角的增大而减小，随夹角的减小而增大；
合力大小的范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
(2)合力可以比其中任一个分力大，也可以比其中任一个分力小，还可以等于其中任一个分力．
二、计算合力的方法
1．作图法：需严格作出力的图示及平行四边形．
2．计算法：只需作出力的示意图和力的平行四边形，然后根据几何关系或三角函数求解．
三、矢量与标量
矢量合成遵循平行四边形定则，标量合成用算术法则相加．
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\自我检测区.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\自我检测区.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(合力与分力的关系)两个共点力的大小分别为F1＝15N，F2＝8N，它们的合力大小不可能等于( )
A．9N B．25N
C．8N D．21N
答案 B
解析 F1、F2的合力范围是F1－F2≤F≤F1＋F2，故7N≤F≤23N，不在此范围的是25N，应选择B项．
2．(矢量和标量)关于矢量和标量，下列说法中正确的是( )
A．矢量是既有大小又有方向的物理量
B．标量是既有大小又有方向的物理量
C．位移－10m比5m小
D．－10℃比5℃的温度低
答案 AD
解析 由矢量和标量的定义可知，A对，B ( http: / / www.21cnjy.com )错；位移的正、负号只表示方向，不表示大小，其大小由数值的绝对值决定，因此－10m表示的位移比5m表示的位移大，温度的正、负号表示温度的高低，－10℃比5℃的温度低，C错，D对．
3．(求合力的方法)水平横梁一端A插在 ( http: / / www.21cnjy.com )墙壁内，另一端装有一小滑轮B.一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10kg的重物，∠CBA＝30°，如图8所示，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10N/kg)( )
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W102.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W102.TIF" \* MERGEFORMATINET
图8
A．50N B．50N
C．100N D．100N
答案 C
解析 悬挂重物的绳的张力是T＝mg＝100N，小滑轮受到绳的作用力为沿BC、BD绳两拉力的合力，如图所示．
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W103.TIF" \* MERGEFORMAT
从图中可看出，∠CBD＝120°，
∠CBF＝∠DBF＝60°，
即△CBF是等边三角形，
故F＝100N.
4．(求合力的方法)物体只受两个力F1和F2的作用，F1＝30N，方向水平向左，F2＝40N，方向竖直向下，求这两个力的合力F.
答案 50N，方向为与F1的夹角为53°斜向左下
解析 解法一 作图法
取单位长度为10N的力，则分别取3个单位长度、4个单位长度，
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W105.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W105.TIF" \* MERGEFORMATINET
自O点引两条有向线段OF1和OF2 ( http: / / www.21cnjy.com )分别表示力F1、F2.以OF1和OF2为两个邻边作平行四边形如图所示，则对角线OF就是所求的合力F.量出对角线的长度为5个单位长度，则合力的大小F＝5×10N＝50N．用量角器量出合力F与分力F1的夹角θ为53°，方向斜向左下．
解法二 计算法
实际上是先运用数学知识，再回到物理情景中 ( http: / / www.21cnjy.com )．在如图所示的平行四边形中，△OFF1为直角三角形，根据直角三角形的几何关系，可以求得斜边OF的长度和OF与OF1间的夹角，将其转化为物理问题，就可以求出合力F的大小和方向，则F＝＝50N，tanθ＝＝，θ为53°，合力F与F1的夹角为53°，方向斜向左下．
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\40分钟课时作业A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\40分钟课时作业A.TIF" \* MERGEFORMATINET
题组一 共点力的概念、合力与分力的关系
1．关于共点力，下列说法中正确的是( )
A．作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，则这两个力一定是共点力
B．作用在一个物体上的两个力，如果是一对平衡力，则这两个力是共点力
C．作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用点在同一点上，则这几个力是共点力
D．作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用线交于同一点，则这几个力是共点力
答案 BCD
解析 共点力是指同时作用在物体上的同一点或作用线相交于同一点的几个力，故A错误，B、C、D正确．
2．大小不变的F1、F2两个共点力的合力为F，则有( )
A．合力F一定大于任一个分力
B．合力F的大小既可能等于F1，也可能等于F2
C．合力有可能小于任一个分力
D．在0至180°的范围内，合力F的大小随F1、F2间夹角的增大而减小
答案 BCD
解析 本题可采用特殊值法分析．若F1 ( http: / / www.21cnjy.com )＝2N，F2＝3N，则其合力的大小范围是1N≤F≤5N，A项错误，B、C项正确；当θ＝0时，F最大为5N，当θ＝180°时，F最小为1N，这说明随着夹角θ的增大，合力F减小，D项正确．
3．两个大小和方向都确定的共点力，其合力的( )
A．大小和方向都确定 B．大小确定，方向不确定
C．大小不确定，方向确定 D．大小和方向都不确定
答案 A
4．如图1所示为用平行四边形定则求合力的示意图，其中正确的是( )
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\L44.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\L44.TIF" \* MERGEFORMATINET
答案 C
5．已知两个力的合力为18N，则这两个力的大小不可能是( )
A．8N、7N B．10N、20N
C．18N、18N D．20N、28N
答案 A
题组二 合力的计算
6．如图1所示，一个物体由绕过定滑轮的 ( http: / / www.21cnjy.com )绳拉着，分别用图中所示的三种情况拉住，在这三种情况下，若绳的张力分别为F1、F2、F3，轴心对定滑轮的支持力分别为N1、N2、N3.滑轮的摩擦、质量均不计，则( )
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W106.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W106.TIF" \* MERGEFORMATINET
图1
A．N1>N2>N3
B．N1＝N2＝N3
C．F1＝F2＝F3
D．F1答案 AC
7．如图2所示为两个共点力的合力F的大小随两分力的夹角θ变化的图像，则这两个分力的大小分别为( )
INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W107.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "F:\\贾文\\2015\\同步\\步步高\\物理\\步步高沪科物理必修1\\全书完整的word版文档\\W107.TIF" \* MERGEFORMATINET
图2
A．1N和4N
B．2N和3N
C．1N和5N
D．2N和4N
答案 B
解析 由题图知，两力方向相同时 ( http: / / www.21cnjy.com )，合力为5N．即F1＋F2＝5N；方向相反时，合力为1N，即|F1－F2|＝1N．故F1＝3N，F2＝2N，或F1＝2N，F2＝3N，B正确．
8．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们之间的夹角为90°时合力的大小为20N，则当它们之间夹角为120°时，合力的大小为( )
A．40N B．10N
C．20N D．10N
答案 B
解析 设F1＝F2＝F，当它们之间的夹角α＝90°时，如图甲所示，由画出的平行四边形(为正方形)得合力为
F合＝＝＝F.
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所以F＝F合＝×20N＝10N.
当两分力F1和F2之间夹角变为β＝12 ( http: / / www.21cnjy.com )0°时，同理画出平行四边形，如图乙所示．由于平行四边形的一半为一等边三角形，因此其合力F合′＝F1＝F2＝10N.
9.设有三个力同时作用在质点P上，它们的大 ( http: / / www.21cnjy.com )小和方向相当于正六边形的两条边和一条对角线，如图3所示，这三个力中最小的力的大小为F，则这三个力的合力等于( )
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图3
A．3F B．4F
C．5F D．6F
答案 A
解析 由几何关系得F3＝2F ( http: / / www.21cnjy.com )，又F1、F2夹角为120°，大小均为F，故其合力大小为F，方向与F3相同，因此三个力的合力大小为3F.A正确．
题组三 综合应用
10．图中的四幅图展示了某同学做引体向上运动前的四种抓杠姿势，其中手臂受力最小的是( )
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答案 B
解析 由图可知，D项中手臂受力是B项中 ( http: / / www.21cnjy.com )的2倍，肯定不是最小，排除D项，两拉力的合力等于重力，恒定不变．故两手臂之间的夹角越大，拉力越大，B正确．
11．如图4所示，一条小船在河中向正东 ( http: / / www.21cnjy.com )方向行驶，船上挂起一风帆，帆受侧向风作用，风力F1大小为100N，方向为东偏南30°，为了使船受到的合力恰能沿正东方向，岸上一人用一根绳子拉船，绳子取向与河岸垂直，求风力和绳子拉力的合力大小及绳子拉力F2的大小．
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图4
答案 50N 50N
解析 如图所示，以F1、F2为邻边作平行四边形，使合力F沿正东方向，则F＝F1cos30°＝100×N
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＝50N.
F2＝F1sin30°＝100×N＝50N.
12．如图5所示，一辆汽车走钢丝横跨尼罗 ( http: / / www.21cnjy.com )河，如果汽车的总质量为2000kg，两侧的钢索弯曲成150°夹角，求每条钢索所受拉力的大小(钢索的质量可不计，cos75°＝0.259，g＝10N/kg)．
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图5
答案 均为19305N
解析 设一条钢索的拉力大小为F，汽车两侧的钢 ( http: / / www.21cnjy.com )索的合力与汽车的总重力等大反向．作出拉力与其合力的平行四边形为一菱形，如图所示，据几何知识可得＝2Fcos75°
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所以拉力F＝＝N≈19305N学案4 共点力的平衡及其应用
[目标定位] 1.理解共点力作用下物体平 ( http: / / www.21cnjy.com )衡状态的概念，能推导出共点力作用下物体的平衡条件.2.会用共点力平衡条件解决有关共点力的平衡问题.3.掌握解决共点力平衡的几种常用方法．
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一、生活离不开平衡
[问题设计]
桌子上放着的杯子、天花板上吊着的吊灯、在平直铁轨上匀速行驶的火车中的乘客等都处于平衡状态，你能总结“平衡状态”的含义吗？
答案 如果物体保持静止或匀速直线 ( http: / / www.21cnjy.com )运动状态，就说物体处于平衡状态．这里包括速度恒为零的静止状态，它是一种静态的平衡；也包括运动的平衡，即速度不为零，但大小、方向都不变的匀速直线运动状态．
[要点提炼]
1．平衡状态：(1)保持静止状态；(2)保持匀速直线运动状态．
2．对平衡状态的理解
(1)共点力作用下物体处于平衡状态的运动学特征：加速度为零．
(2)“保持”某状态与“瞬 ( http: / / www.21cnjy.com )时”某状态的区别，例如：做自由落体运动的物体开始运动时，这一瞬间的速度为零，但这一状态不能“保持”，因而不属于平衡状态．
二、从二力平衡到共点力平衡
[问题设计]
二至三人合作，用三个弹簧测力计拉住小 ( http: / / www.21cnjy.com )环O，使小环保持静止，如图1所示，记下三个弹簧测力计的拉力的方向及大小，用力的图示法在纸上表示出各个力，请先研究其中某两个力的合力跟第三个力的关系，然后找出三个共点力平衡时满足的条件．
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图1
答案 用平行四边形定则作出F1、F2的合力F，如图所示，F3与F等大反向．
( http: / / www.21cnjy.com )
同理可发现：F2与F3的合力与F1等大反向，F1与F3的合力也与F2等大反向．
所以一个物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，这三个力的合力为零．
[要点提炼]
1．平衡条件：(1)F合＝0(或加速度a＝0)
(2)
2．平衡条件的四个常用结论
(1)二力作用平衡时，二力等大、反向．
(2)三力作用平衡时，任意两个力的合力与第三个力等大、反向．
(3)多力作用平衡时，任一个力与其他所有力的合力等大、反向．
(4)物体处于平衡状态时，沿任意方向上分力之和均为零．
[延伸思考]
物体速度为0时，一定处于静止状态吗？
答案 不一定．静止状态是v＝0，F合＝0，两者应同时成立．若v＝0，F合≠0，处于非平衡状态，不是静止状态．
一、对平衡状态的理解
例1 物体在共点力作用下，下列说法中正确的是( )
A．物体的速度在某一时刻等于零，物体就一定处于平衡状态
B．物体相对另一物体保持静止时，物体一定处于平衡状态
C．物体所受合力为零，就一定处于平衡状态
D．物体做匀加速运动时，物体处于平衡状态
解析 处于平衡状态的物体，从运动形式上看是始终处于静止或匀速直线运动状态，从受力上来看是物体所受合力为零．
答案 C
二、共点力平衡条件的简单应用
例2 如图2所示，某个物体在F1、F2、F3、F4四个力的作用下处于静止状态，若F4的方向沿逆时针转过60°而保持其大小不变，其余三个力的大小和方向均不变，则此时物体所受到的合力大小为( )
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图2
A. B.
C．F4 D.F4
解析 由共点力的平衡条件可知 ( http: / / www.21cnjy.com )，F1、F2、F3的合力应与F4等大反向，当F4的方向沿逆时针转过60°而保持其大小不变时，F1、F2、F3的合力的大小仍为F4，但方向与F4成120°角，由平行四边形定则可得，此时物体所受的合力大小为F4，所以本题正确的选项应为C.
答案 C
三、利用正交分解法求解共点力的平衡问题
例3 如图3所示，水平地面上有一重60N的物体，在与水平方向成30°角斜向上、大小为20N的拉力F作用下匀速运动，求地面对物体的支持力和摩擦力的大小．
图3
解析 对物体进行受力分析，如图所示，物体受重力G、支持力N、拉力F、摩擦力f.建立直角坐标系，对力进行正交分解得：
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y方向：N＋Fsin30°－G＝0①
x方向：Fcos30°－f＝0②
由①②得：N＝50N，f＝10N.
答案 50N 10N
针对训练
如图4所示，重为500N的人用跨过定滑轮的 ( http: / / www.21cnjy.com )轻绳牵引重200N的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止．不计滑轮与绳的摩擦．求地面对人的支持力和摩擦力．
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图4
答案 100(5－) N 100N
解析 人和物体静止，所受合力 ( http: / / www.21cnjy.com )皆为零，对物体进行受力分析可得，绳的拉力F′等于物重200N；人受绳的拉力F大小与F′相同，则F＝F′＝200N.
如图所示，以人为研究对象，将绳的拉力分解得
( http: / / www.21cnjy.com )
水平分力Fx＝Fcos60°
＝200×N＝100N
竖直分力Fy＝Fsin60°
＝200×N＝100N
在x轴上，f与Fx二力平衡，
所以静摩擦力f＝Fx＝100N，
在y轴上，三力平衡得地面对人的支持力
N＝G－Fy＝(500－100) N＝100(5－) N.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
1．(对平衡状态的理解)下列物体中处于平衡状态的是( )
A．静止在粗糙斜面上的物体
B．沿光滑斜面下滑的物体
C．在平直路面上匀速行驶的汽车
D．做自由落体运动的物体在刚开始下落的瞬间
答案 AC
解析 在共点力的作用下，物体如 ( http: / / www.21cnjy.com )果处于平衡状态，则该物体必同时具有以下两个特点：从运动状态来说，物体保持静止或者匀速直线运动，加速度为零；从受力情况来说，合力为零．物体在某一时刻的速度为零，并不等同于这个物体保持静止，如果物体所受的合力不为零，它的运动状态就要发生变化，在下一个瞬间就不是静止的了，所以物体是否处于平衡状态要由物体所受的合力和加速度判断，而不能认为物体某一时刻速度为零，就是处于平衡状态，本题的正确选项应为A、C.
2．(共点力平衡条件的简单应用)人站在自动扶梯上随扶梯匀速上升，如图5所示，下列说法正确的是( )
图5
A．人所受合力方向同图中速度的方向
B．人在水平方向受到向右的摩擦力的作用
C．人只在竖直方向受力且合力为零
D．人在竖直方向所受合力不为零
答案 C
3．(利用正交分解法处理共点力的平衡 ( http: / / www.21cnjy.com )问题)如图6所示，质量为m的物体在恒力F作用下沿水平地面做匀速直线运动，物体与地面间的动摩擦因数为μ，则物体受到的摩擦力的大小为( )
图6
A．Fsinθ B．Fcosθ
C．μ(Fsinθ＋mg) D．μ(mg－Fsinθ)
答案 BC
解析 先对物体进行受力分析，如图所 ( http: / / www.21cnjy.com )示，然后把力F进行正交分解，F产生两个效果：使物体水平向前F1＝Fcosθ，同时使物体压紧水平地面F2＝Fsinθ.由力的平衡可得F1＝f，F2＋G＝N，又滑动摩擦力f＝μN，则f＝Fcosθ＝μ(Fsinθ＋mg)，故选B、C.
( http: / / www.21cnjy.com )
4．(利用正交分解法处理共点力的平衡问题) ( http: / / www.21cnjy.com )如图7所示，质量为m的物块与水平面之间的动摩擦因数为μ，现用斜向下与竖直方向夹角为θ的推力作用在物块上，使物块在水平面上匀速移动，求推力的大小．(重力加速度为g)
图7
答案
解析 对物块受力分析如图所示
( http: / / www.21cnjy.com )
将物块受到的力沿水平和竖直方向分解，根据平衡条件有
水平方向：Fcosθ＝f①
竖直方向：N＝mg＋Fsinθ②
f＝μN③
由①②③得F＝
题组一 对平衡状态和共点力平衡条件的理解
1．一个物体在三个力的作用下处于平衡状态，则( )
A．三个力的合力可能不为零
B．三个力的合力一定为零
C．三个力一定是共点力
D．三个力可以不是共点力
答案 BC
2．下列情况下，物体处于平衡状态的有( )
A．自由下落的物体
B．沿斜面匀速下滑的物体
C．在盘山公路上以12m/s的速度行驶的汽车
D．高空中匀速飞行的飞机
答案 BD
解析 自由下落的物体不处于平衡状态 ( http: / / www.21cnjy.com )；沿斜面匀速下滑的物体，显然处于平衡状态；在盘山公路上以12m/s的速度行驶的汽车，只是行驶的速度大小保持12 m/s，但方向变化，故汽车不做匀速直线运动，由此不处于平衡状态；高空中匀速飞行的飞机处于平衡状态．
3．物体受到三个共点力的作用，以下分别是这三个力的大小，其中不可能使物体平衡的是( )
A．F1＝4N、F2＝5N、F3＝6N
B．F1＝4N、F2＝6N、F3＝10N
C．F1＝3N、F2＝4N、F3＝8N
D．F1＝3N、F2＝6N、F3＝5N
答案 C
解析 当三力平衡时，三力的合力一定等于 ( http: / / www.21cnjy.com )零，则其中任意一个力总小于或等于另外两力之和，而大于或等于另外两力之差的绝对值，故C选项不可能使物体处于平衡状态．
4．某物体受四个力的作用而处于静 ( http: / / www.21cnjy.com )止状态，保持其他三个力的大小和方向均不变，使另一个大小为F的力的方向转过90°，则欲使物体仍能保持静止状态，必须再加上一个大小为多少的力( )
A．FB.FC．2FD．3F
答案 B
题组二 共点力平衡条件的简单应用
5．如图1所示，一重为10N的球固定 ( http: / / www.21cnjy.com )在支杆AB的上端，今用一段绳子水平拉球，使杆发生弯曲，已知绳的拉力为7.5N，则AB杆对球的作用力( )
( http: / / www.21cnjy.com )
图1
A．大小为7.5N
B．大小为10N
C．方向与水平方向成53°角斜向右下方
D．方向与水平方向成53°角斜向左上方
答案 D
( http: / / www.21cnjy.com )
解析 小球受力如图所示，则F2sinα＝G，F2cosα＝F1，tanα＝＝，α＝53°，F2＝＝N＝12.5N.
6．如图2所示，物体M放在水平面上受到两个水平力的作用，F1＝4N，F2＝8N，物体处于静止状态．如果将水平力F1增加5N，则( )
图2
A．物体M仍处于静止
B．物体M受到的合力方向向左
C．物体M受到的合力方向向右
D．物体M受到的摩擦力等于5N
答案 A
解析 据题意可知，当F1＝ ( http: / / www.21cnjy.com )4N，F2＝8N时，物体处于静止状态，即物体所受最大静摩擦力的最小值应为F2－F1＝(8－4) N＝4N．如果将F1增加5N，则F1′＝(4＋5) N＝9N．显然F1′－F2＝(9－8) N＝1N，小于最大静摩擦力，故物体仍处于静止状态，所受静摩擦力为1N，方向与F1′的方向相反，物体所受合力为零，故A选项正确．
7．如图3所示，物体M在斜向右下方的推力F作用下，在水平地面上恰好做匀速运动，则推力F和物体M受到的摩擦力的合力方向( )
图3
A．竖直向下 B．竖直向上
C．斜向下偏左 D．斜向下偏右
答案 A
解析 物体M受四个力作用(如图所示)，
( http: / / www.21cnjy.com )
支持力N和重力G的合力一定在竖直方向上，由平 ( http: / / www.21cnjy.com )衡条件知，摩擦力f和推力F的合力与支持力N和重力G的合力必定等大反向，故f与F的合力方向竖直向下．
8.运动员在进行吊环比赛时，先双手撑住 ( http: / / www.21cnjy.com )吊环，然后身体下移，双臂缓慢张开到如图4所示位置，则在两手之间的距离增大过程中，吊环的两根绳的拉力T(两根绳拉力大小相等)及它们的合力F的大小变化情况为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
图4
A．T增大，F不变 B．T增大，F增大
C．T增大，F减小 D．T减小，F不变
答案 A
解析 由平衡条件，合力F的大小等于人的重力 ( http: / / www.21cnjy.com )，F恒定不变，当两手间的距离变大时，两绳的拉力间的夹角由零变大，由平行四边形定则知，T变大，A正确．
题组三 利用正交分解法处理共点力的平衡问题
9.如图5所示，一物体放在水平地面上，对物体施加一个倾角为θ的斜向右上方的力F，当这个力从零开始逐渐增大时，物体受到的摩擦力将( )
图5
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先逐渐增大，后又减小
D．先逐渐减小，后又增大
答案 C
解析 对物体进行受力分析，如图所示，将F进行 ( http: / / www.21cnjy.com )正交分解，可得F1＝Fcosθ，F2＝Fsinθ.在F较小时，物体不运动，摩擦力f是静摩擦力，其大小应为f＝F1＝Fcosθ.所以F增大时，f也增大．在F较大时，物体发生了运动，静摩擦力变为滑动摩擦力，其大小应为f′＝μN，又由竖直方向受力平衡，有N＋F2＝G，所以N＝G－F2＝G－Fsinθ.滑动摩擦力的大小f′＝μ(G－Fsinθ)，所以当F增大时，f′减小．
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10.小船用绳索拉向岸边，如图6所示，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么在小船匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是( )
图6
A．绳子的拉力T不断增大
B．绳子的拉力T不变
C．船的浮力减小
D．船的浮力增大
答案 AC
解析 如图所示，小船受四个力的作用而匀速前进，水平方向：f＝Tcosθ，
( http: / / www.21cnjy.com )
竖直方向：Tsinθ＋F浮＝mg
当θ角增大时，由于f不变，则拉力T增大，浮力F浮减小．
11.用轻弹簧竖直悬挂质量为m的物体， ( http: / / www.21cnjy.com )静止时弹簧伸长量为L.现用该弹簧沿斜面方向拉住质量为2m的物体，系统静止时弹簧伸长量也为L.斜面倾角为30°，如图7所示．则物体所受摩擦力( )
图7
A．等于零
B．大小为mg，方向沿斜面向下
C．大小为mg，方向沿斜面向上
D．大小为mg，方向沿斜面向上
答案 A
解析 设弹簧的劲度系数为k，竖直悬挂时
kL＝mg，①
将物体放在斜面上时，设摩擦力为f，根据物体的平衡条件得
kL＋f＝2mgsin30°＝mg.②
由①②两式得：f＝0，选项A正确．
12．如图8所示，物体的 ( http: / / www.21cnjy.com )质量m＝4.4kg，用与竖直方向成θ＝37°的斜向右上方的推力把该物体压在竖直墙壁上，并使它沿墙壁在竖直方向上做匀速直线运动．物体与墙壁间的动摩擦因数μ＝0.5，取重力加速度g＝10N/kg，求推力F的大小．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
图8
答案 88N或40N
解析 若物体向上做匀速直线运动，则受力如图甲所示．
Fcosθ＝mg＋f
Fsinθ＝N
f＝μN
故推力F＝＝N＝88N
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若物体向下做匀速直线运动，受力如图乙所示．
Fcosθ＋f＝mg
Fsinθ＝N
f＝μN
故推力F＝＝N＝40N
13．已知一质量m＝1kg的物体在倾角 ( http: / / www.21cnjy.com )α＝37°的斜面上恰能匀速下滑，当对该物体施加一个沿斜面向上的推力F时，物体恰能匀速上滑．(取g＝10m/s2.sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
(1)求物体与斜面间的动摩擦因数μ.
(2)求推力F的大小．
答案 (1)0.75 (2)12N
解析 (1)当物体沿斜面匀速下滑时，对物体进行受力分析如图所示
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由力的平衡条件可知：mgsinα＝f
N＝mgcosα，又f＝μN.解得：μ＝0.75.
(2)当物体沿斜面匀速上滑时，对物体进行受力分析并由平衡条件得：
F＝mgsinα＋f＝mgsinα＋μmgcosα＝2mgsinα＝12N.
