第六章 6.4.2向量在物理中的应用举例 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
第六章
6.4 平面向量的应用
6.4.2 向量在物理中的应用举例
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.会用向量知识解决简单的力学问题、速度问题、位移问题等实际问题. 1.数学抽象素养、数学建模素养.
2.体会向量是解决物理相关问题的重要工具. 2.数学建模素养.
3.培养运用向量知识解决物理问题的能力. 3.数学建模素养.
新知引入
向量在物理中的应用：
1.物理中常见的矢量有力、速度、加速度、位移等，在数学中用向量表示．
2.物理中力、速度、加速度、位移的合成与分解，在数学中对应的是向量加减法．
3.物理中动量mv是向量的数乘运算．
4.物理中功是力F与所产生的位移s的数量积．
因此，向量与物理有着紧密的关系，下面我们来感受一下向量在物理中的应用.
新知探究
【例1】在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？
分析：上述问题不妨以两个人共提一个旅行包为例，只研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以抽象为数学模型.如图所示，只要分析清楚F1、F2、G、θ三者之间的关系，就可以得到问题的数学解释.
为研究方便，不妨设F1、 F2大小相等.
新知探究
解：
如图示，设作用在旅行包上的两个拉力分别为F1, F2，为方便假设|F1|＝|F2|. 两力的夹角为θ，旅行包所受重力为G. 则有
.
这里,|G|为定值，由上式可知，当θ由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，的值由大逐渐变小，|F1|由小逐渐变大；反之，当θ由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，的值由小逐渐变大，|F1|由大逐渐变小 .这就是说F1, F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.
同理，在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.
新知探究
⑴由可知，要使|F1|最小，只需最大，此时.于是|F1|最小值为.
⑵若要使|F1|=|G|，只需，此时，
即.
(1) 当θ为何值时，|F1|最小？最小值是多少？
(2) |F1|能等于|G|吗？为什么？
新知探究
试一试：你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗
⑴问题的转化：把物理问题转化为数学问题；
⑵模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；
⑶参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；
⑷问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.
初试身手
1.若向量＝(2, 2)， ＝(－2, 3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A．(0, 5) B．(4, －1) C．2 D．5
解：
∵F1＋F2 ＝ ＋
＝ (2, 2) ＋(－2, 3)
＝ (0, 5)
∴|F1＋F2|＝.
初试身手
2.一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
解：
如图建立坐标系，F1＝(1, )，F2＝(2, 2)，F3＝(－3, 3)，
则F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，2＋4)．
又∵位移s＝(4，4)，
故合力F所做的功为W＝F·s
＝(2－2)×4＋(2＋4)×4
＝4×6＝24(J)，
∴合力F所做的功为24 J.
新知探究
【例2】如图，一条河两岸平行，河的宽度d=500m , 一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行. 已知船的速度|v1|=10 km/h，水流速度v2的速度大小为|v2|=2 km/h，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多少时间(精确到0.1min)？
分析：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的.考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度必须垂直于河岸.
解：
设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向航行时，船的航程最短.
如图，设v=v1＋v2，则
(km/h)
此时，船航行的时间3.1(min)
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要约为3.1 min.
初试身手
如图所示,设a表示此人以 km/h的速度向东行驶的向量,无风时此人感到风速为.设实际风速为,则
2.某人骑车以a km/h的速度向东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a km/h时,感到风从东北方向吹来,试求实际的风速和风向．
解：
,,.
∴ ,即当此人以2a km/h的速度向东行驶时,感受到由东北方向吹来的风就是.
∴PO=PB=,即|v|=.
则实际风速和风向为 km/h的西北风.
∵
由题意知∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,所以△POB为等腰直角三角形,
初试身手
⑴如图所示,设此人游泳的速度为,水流的速度为,OA,OB为邻边作 OACB,则此人的实际速度为.
3.某人在静水中游泳,速度为4 km/h,水的流速为4 km/h．
⑴如果他径直游向河对岸,他实际沿什么方向前进 速度的大小为多少
⑵他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可) 他实际前进的速度大小为多少
解：
据勾股定理,知=8,
∴在Rt△ACO中,∠COA=60°,
则此人实际沿与水速夹角60°的方向前进,速度大小为8 km/h.
初试身手
⑵如图所示,设此人游泳的速度为,水流的速度为.
3.某人在静水中游泳,速度为4 km/h,水的流速为4 km/h．
⑴如果他径直游向河对岸,他实际沿什么方向前进 速度的大小为多少
⑵他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可) 他实际前进的速度大小为多少
解：
∴,
在Rt△AOB中,.
则此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为,且逆着水流方向,实际前进速度的大小为4 km/h.
∵实际速度为水速与游速的合速度,则游速为.
∴,
课堂小结
1.向量的数量积与功的关系：
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．
2.用向量方法解决物理问题的一般步骤是：
⑴问题的转化：把物理问题转化为数学问题；
⑵模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；
⑶参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；
⑷问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.
作业布置
作业： P52-53 习题6.4 第4，5，13题.
补充：
1.如图，一物体受到两个大小均为60 N的力的作用，两力的夹角为60°，且有一力方向水平，求合力的大小及方向．
2.在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速
向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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