【2016成才之路】（人教A版）数学必修1课件：第一章 集合与函数的概念（课件+同步测试）（26份打包）

第一章　1.1　1.1.1
基础巩固
一、选择题
1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是(　　)
A．② B．③
C．②③ D．①②③
[答案]　C
[解析]　高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.
2．已知集合A＝{x|x≤10}，a＝＋，则a与集合A的关系是(　　)
A．a∈A B．a?A
C．a＝A D．{a}∈A
[答案]　A
[解析]　由于＋＜10，所以a∈A.
3．(2015·山东临沂检测)集合{x∈N*|x－2＜3}的另一种表示形式是(　　)
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
[答案]　B
[解析]　由x－2＜3，得x＜5，又x∈N*，所以x＝1,2,3,4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}．
4．方程组的解集是(　　)
A.
B．{x，y|x＝3且y＝－7}
C．{3，－7}
D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}
[答案]　D
[解析]　解方程组得，
用描述法表示为{(x，y)|x＝3且y＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D.
5．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
[答案]　D
[解析]　由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D.
6．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为(　　)
A．2 B．3
C．0或3 D．0或2或3
[答案]　B
[解析]　因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B.
二、填空题
7．用符号∈与?填空：
(1)0________N*；________Z；
0________N；(－1)0________N*；
＋2________Q；________Q.
(2)3________{2,3}；3________{(2,3)}；
(2,3)________{(2,3)}；(3,2)________{(2,3)}．
(3)若a2＝3，则a________R，若a2＝－1，则a________R.
[答案]　(1)?　?　∈　∈　?　∈　(2)∈　?　∈　?　(3)∈　?
[解析]　(1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．
8．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.
[答案]　2
[解析]　显然a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，＝－1，所以a＝－1，b＝1，b－a＝2.
三、解答题
9．已知集合A含有a－2,2a2＋5a,12三个元素，且－3∈A，求a的值．
[解析]　∵－3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，∴a＝－1舍去．
当a＝－时，经检验，符合题意．故a＝－.
[注意]　(1)分类讨论意识的建立．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识，如本例按照元素－3与a－2,2a2＋5a,12的关系分类 ，即可做到不重不漏．
(2)注意集合中元素的互异性．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求，如本例在求出a的值后，需代入验证是否满足集合中元素的互异性．
10．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A是单元素集合，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
[分析]　将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax2－3x＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．
[解析]　(1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{}，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，
则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意．
综上所述，当a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}．
(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意；
当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0.
综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤.
[点评]　“a＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是“a＝0”，即它是一元一次方程；二是“a≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“Δ”来解决．
能力提升
一、选择题
1．(2015·河北衡水中学期末)下列集合中，不同于另外三个集合的是(　　)
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
[答案]　B
[解析]　{x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.
2．下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；
⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．
能表示方程组的解集的是(　　)
A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤
C．②⑤ D．②⑤⑥
[答案]　C
[解析]　方程组的解是故选C.
3．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　)
A．0?M B．2∈M
C．－4?M D．4∈M
[答案]　D
[解析]　当x＞0，y＞0，z＞0时，代数式的值为4，所以4∈M，故选D.
4．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案]　B
[解析]　当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．
二、填空题
5．已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是________．
[答案]　{k|5＜k≤6}
[解析]　x只能取3,4,5，故5＜k≤6.
6．(2015·湖南郴州模拟)用列举法写出集合{∈Z|x∈Z}＝________.
[答案]　{－3，－1,1,3}
[解析]　∵∈Z，x∈Z，
∴3－x为3的因数．
∴3－x＝±1，或3－x＝±3.
∴＝±3，或＝±1.
∴－3，－1,1,3满足题意．
三、解答题
7．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．若∈A，求集合中的其他元素．
[分析]　已知a∈A，∈A，将a＝代入即可求得集合中的另一个元素，依次，可得集合中的其他元素．
[解析]　∵∈A，∴＝2∈A，∴＝－3∈A，
∴＝－∈A，∴＝∈A.
故当∈A时，集合中的其他元素为2，－3，－.
8．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”．
(1)判断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；
(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．
[解析]　(1)由于2的倒数为不在集合A中，故集合A不是可倒数集．
(2)若a∈A，则必有∈A，现已知集合A中含有3个元素，故必有一个元素有a＝，即a＝±1，故可以取集合A＝{1,2，}或{－1,2，}或{1,3，}等．
课件57张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章本章的章头图表现了运载“神舟”五号载人航天飞船的火箭升空，以及“神舟”五号载人航天飞船进入预定轨道后在太空飞行的场景．其中包含了一些可以用函数描述的变化规律，如上升过程中飞船离地面的距离随时间的变化而变化，飞船外的温度和气压随气船与地面的距离的变化而变化，等等．而高中的函数是用集合来刻画的，集合语言是一种抽象的数学语言，学习集合语言最好的方法就是使用，非洲大草原上生存着几千种动物，它们常常面临着生与死的考验，为了生存，它们过着“群居”的生活，这种“物以类聚”就产生某种动物集合．让我们一起走进“集合”世界，探索集合的奥秘．1.1　集合第一章1.1.1　集合的含义与表示1．在平面上，到一个定点的距离等于定长的点的集合是__．
2．到一条线段的两个端点距离相等的点的集合是这条线段的_____________．
3．到一个角的两边距离相等的点的集合是_______________________．●知识衔接圆垂直平分线这个角的平分线自然数 1．集合的概念
(1)含义：一般地，我们把__________统称为元素，把一些元素组成的_____叫做集合(简称为集)．
(2)集合相等：只要构成两个集合的_____是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．●自主预习研究对象总体元素[名师点拨]　集合中的元素必须满足如下性质：
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系
[归纳总结]　符号“∈”和“?”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．是∈不是不属于3．集合的表示法
(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．
(2)字母表示法：用一个大写__________表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等，常用数集的表示：拉丁字母N*或N＋(3)列举法：把集合的_____一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的_________及_________________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的_________．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．元素一般符号取值(或变化)范围共同特征1．下列给出的对象中，能组成集合的是(　　)
A．著名的数学家　　　 B．很大的数
C．较胖的人 D．小于3的整数
[答案]　D
[解析]　“著名的数学家”和“较胖的人”无明确的标准，对于某人是否“著名”或“较胖”无法客观地判断，因此“著名的数学家”和“较胖的人”不能组成集合；“很大的数”也无明确的标准，所以也不能组成集合；任意给定一个整数，能够判定是否小于3，有明确的标准，故D能组成一个集合．●预习自测[答案]　(1)∈　(2)?　(3)?　(4)∈　(5)?　(6)?3．下列集合：
①{1,2,2}；
②R＝{全体实数}；
③{3,5}；
④不等式x－5＞0的解集为{x－5＞0}．
其中，集合表示方法正确的是________．
[答案]　③
[解析]　①违背了集合中元素的互异性；②中全体实数本身就是集合，不能再加大括号；④中用描述法表示的集合，未写出代表元素，应为{x|x－5＞0}．4．(1)用列举法表示集合{x∈N|x＜5}为________．
(2)方程x2－6x＋9＝0的解集用列举法可表示为________．
(3)用描述法表示大于3且不大于8的实数的集合为________．
[答案]　(1){0,1,2,3,4}　(2){3}　(3){x|3＜x≤8}
[解析]　(1)因为x∈N，且x＜5，所以x＝0,1,2,3,4.(2)由x2－6x＋9＝0，得x1＝3，x2＝3.(3)实数x大于3且不大于8可表示为3＜x≤8.集合的概念●互动探究探究1.“接近于0”“比较小”“近似值”是否有明确的标准？
探究2.在限定某个集合时，如果限定条件不明确，会出现什么后果？[规律总结]　1.确定性是判断一组对象能否构成集合的标准．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我国的小城市；
(2)某校2015年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(5)直角坐标平面内第一象限的一些点．[解析]　(1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．[规律总结]　判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 已知A＝{m－1,3m，m2－1}，若3∈A则m＝________.
探究1.3∈A说明了什么？
探究2.集合A中的元素对m有什么限制？集合中元素的特性[解析]　由m－1＝3，得m＝4，此时3m＝12，m2－1＝15，故m＝4满足集合中元素的互异性；
由3m＝3，得m＝1，此时m－1＝m2－1＝0，故舍去；
由m2－1＝3，得m＝±2，经检验m＝±2满足集合中元素的互异性．
故填4或±2.
[答案]　4或±2[规律总结]　(1)什么是元素分析法？
解决集合问题的关键是能否把用集合语言描述的问题转化为数学问题，而集合离不开元素，因此分析元素是解决集合问题的核心，这种抓住元素进行分析的方法称为元素分析法．
(2)如何应用元素分析法解决有关集合问题？
①分析元素的性质，即确定性、互异性、无序性；
②由元素所具有的性质转化为相关问题的性质．如本题正是由3∈A得3为集合A中的任一元素且各元素互不相同．若2?{x|x－a＞0}，则实数a的取值范围是________．
[答案]　{a|a≥2}
[解析]　因为2?{x|x－a＞0}，所以2不满足不等式x－a＞0，即2满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，a≥2.
所以实数a的取值范围是{a|a≥2}．[规律总结]　当a∈A时，若集合A是用描述法表示的，则a一定满足集合中元素的共同特征，如满足方程(组)、不等式(组)等；若集合A是用列举法表示的，则a一定等于其中的一个元素．反之，当a?A时，结论恰恰相反．集合的表示方法探究1.除自然语言外，集合的常用表示方法还有哪些？
探究2.弄清集合中的元素是什么？是有限个还是无限个？再选用适当的方法表示．(2)描述法：{x|x＝3k＋1，k∈N}．无限集．
(3)描述法：坐标平面内在第一、三象限的点的特点是纵、横坐标同号，所以不在第一、三象限的点的集合可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．无限集．
(4)列举法：{0,12,22,32，…}；也可用描述法：{x|x＝n2，n∈N}．无限集．
[规律总结]　(1)数集和点集在以后的学习中时常用到，其一般格式为：数集：{x|p(x)}，点集：{(x，y)|p(x，y)}．
(2)何谓适当的方法？即较为简洁、和谐的表示方法．一般无限集用描述法，有限集且元素个数较少时用列举法．用适当的方法表示下列集合：
(1)由大于5，且小于9的所有自然数组成的集合；
(2)被5除余2的所有正整数组成的集合；
(3)不等式2x＋3≥0的解组成的集合；
(4)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．
[解]　(1){6,7,8}．
(2){x|x＝5n＋2，n∈N}．
(3){x|2x＋3≥0}．
(4){(x，y)|y＝x2}． 已知集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合．
(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其他元素；
(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B；
(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围．
探究1.集合的元素即为方程的解？
探究2.方程是一次还是二次？方程无解、有一解、二解分别满足什么条件？分类讨论的思想●探索延拓(3)集合A中至多有一个元素包括两种情况：
①A中有且只有一个元素，由(2)知此时a＝0或a＝1；
②A中一个元素也没有，此时a≠0，且Δ＝4－4a＜0，∴a＞1；
综合①、②知所求a的取值范围是{a|a≥1或a＝0}．已知集合A＝{x∈R|ax2＋x＋2＝0}，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是________．易错点一　忽略元素的特征出错●误区警示[点评]　在表示集合时，一定要准确把握集合符号法中的符号所描述的元素的具体属性与相应的集合是否相符．下列各组集合中，表示同一集合的是(　　)
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{3,2}，N＝{2,3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{3,2}，N＝{(3,2)}
[答案]　B[解析]　A项中M＝{(3,2)}中的元素是(3,2)，N＝{(2,3)}中的元素是(2,3)，所以这是两个不同的集合；B项中M＝{3,2}中的元素是3,2，N＝{2,3}中的元素是2,3，由集合中元素的无序性可知，这是两个相同的集合；C项中集合M中的代表元素是(x，y)，是直线x＋y＝1上的点，而集合N中的代表元素是y，是直线x＋y＝1上点的纵坐标，因此是两个不同的集合；D项中两集合M的元素分别是3、2，而N中含有一个元素(3,2)，因此它们是两个不同的集合． 设集合A＝{x2，x，xy}、B＝{1，x，y}，若集合A、B所含元素相同，求实数x、y的值．易错点二　忽略集合中元素的互异性[错因分析]　当x＝1，y∈0时，A＝B＝{1,1，y}，不满足集合元素的互异性，当x＝1，y＝1时，A＝B＝{1,1,1}也不满足元素的互异性，当x＝－1，y＝0，A＝B＝{1，－1,0}，满足题意．[点评]　在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．又当a＝1时，A＝{1,0,1}不满足集合中元素的互异性，舍去，∴a＝－1，即集合A＝{－1,0,1}，
此时a＝－1，b＝0，
故a2 015＋b2 015＝(－1)2 015＋02 015＝－1＋0＝－1.1．下列各组对象，能构成集合的有(　　)
①对环境污染不太大的塑料；
②中国古典文学中的四大名著；
③所有的正方形；
④方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根．
A．① B．①②
C．②③④ D．①②③④
[答案]　C
[解析]　语句①“污染不太大”没有明确的标准；②中四大名著指的是《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》；③④中的对象也都满足确定性、互异性、无序性．[答案]　C[答案]　B5．用适当的方法表示下列集合．
(1)由大于－3且小于11的偶数组成的集合可表示为________；
(2)不等式3x－6≤0的解集可表示为________；
(3)方程x(x2＋2x－3)＝0的解集可表示为________；
(4)函数y＝x2－x－1图象上的点组成的集合可表示为________．
[答案]　(1){－2,0,2,4,6,8,10}　(2){x|x≤2}　(3){－3,0,1}　(4){(x，y)|y＝x2－x－1}第一章　1.1　1.1.2
基础巩固
一、选择题
1．对于集合A，B，“A?B”不成立的含义是(　　)
A．B是A的子集
B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一个元素不属于B
D．B中至少有一个元素不属于A
[答案]　C
[解析]　“A?B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.
2．下列命题中，正确的有(　　)
①空集是任何集合的真子集；②若A?B，B?C，则A?C；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A?B.
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
[答案]　C
[解析]　①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性；故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确，故选C.
3．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则(　　)
A．A?B B．C?B
C．D?C D．A?D
[答案]　B
[解析]　∵正方形必为矩形，∴C?B.
4．下列四个集合中，是空集的是(　　)
A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}
C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}
[答案]　B
[解析]　选项A、C、D都含有元素．而选项B无元素，故选B.
5．若集合A?{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有(　　)
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
[答案]　D
[解析]　集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．
6．设集合A＝{x|1A．a≥2 B．a≤1
C．a≥1 D．a≤2
[答案]　A
[解析]　在数轴上表示出两个集合(图略)，因为A?B，所以a≥2.
二、填空题
7．用适当的符号填空：
(1){x|x是菱形}________{x|x是平行四边形}；
{x|x是三角形}________{x|x是斜三角形}．
(2)Z________{x∈R|x2＋2＝0}；
0________{0}；
?________{0}；
N________{0}．
[答案]　(1)?　?　(2)?　∈　?　?
[解析]　(1)判断两个集合之间的关系，可以根据子集的定义来加以判断，特别要注意判断出包含关系后，还要进一步判断是否具有真包含关系．(2)集合{x∈R|x2＋2＝0}中，由于实数范围内该方程无解，因此{x∈R|x2＋2＝0}＝?；0是集合{0}中的元素，它们之间是属于关系；{0}是含有一个元素0的集合；?是不含任何元素的集合，故??{0}；自然数集N中含有元素0，但不止0这一个元素．
8．(2012·大纲全国改编)已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B?A，则m＝________.
[答案]　0或2或－1
[解析]　由B?A得m∈A，所以m＝m3或m＝2，所以m＝2或m＝－1或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1.所以m＝0或2或－1.
三、解答题
9．判断下列集合间的关系：
(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．
[解析]　(1)∵A＝{x|x－3＞2}＝{x|x＞5}，
B＝{x|2x－5≥0}＝{x|x≥}，
∴利用数轴判断A、B的关系．
如图所示，A?B.
(2)∵A＝{x∈Z|－1≤x<3}＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x＝|y|，y∈A，∴B＝{0,1,2}，∴B?A.
10．已知集合M＝{x|x＝m＋，m∈Z}，N＝{x|x＝－，n∈Z}，P＝{x|x＝＋，p∈Z}，试确定M，N，P之间的关系．
[解析]　解法一：集合M＝{x|x＝m＋，m∈Z}，
对于集合N，当n是偶数时，设n＝2t(t∈Z)，
则N＝{x|x＝t－，t∈Z}；
当n是奇数时，设n＝2t＋1(t∈Z)，
则N＝{x|x＝－，t∈Z}＝{x|x＝t＋，t∈Z}．
观察集合M，N可知M?N.
对于集合P，当p是偶数时，设p＝2s(s∈Z)，则
P＝{x|x＝s＋，s∈Z}，
当p是奇数时，设p＝2s－1(s∈Z)，则
P＝{x|x＝＋，s∈Z}
＝{x|x＝s－，s∈Z}．
观察集合N，P知N＝P.
综上可得：M?N＝P.
解法二：∵M＝{x|x＝m＋，m∈Z}
＝{x|x＝，m∈Z}＝{x|x＝，m∈Z}，
N＝{x|x＝－，n∈Z}＝{x|x＝，n∈Z}
＝{x|x＝，n－1∈Z}，
P＝{x|x＝＋，p∈Z}＝{x|x＝，p∈Z}，
比较3×2m＋1,3(n－1)＋1与3p＋1可知，3(n－1)＋1与3p＋1表示的数完全相同，
∴N＝P,3×2m＋1只相当于3p＋1中当p为偶数时的情形，
∴M?P＝N.
综上可知M?P＝N.
能力提升
一、选择题
1．(2015·瓮安一中高一期末试题)设集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则(　　)
A．M＝N B．M?N
C．M?N D．M与N的关系不确定
[答案]　B
[解析]　解法1：用列举法，令k＝－2，－1,0,1,2…可得
M＝{…－，－，，，…}，
N＝{…0，，，，1…}，
∴M?N，故选B.
解法2：集合M的元素为：x＝＋＝(k∈Z)，集合N的元素为：x＝＋＝(k∈Z)，而2k＋1为奇数，k＋2为整数，∴M?N，故选B.
[点评]　本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k是任意整数，则k＋m(m是一个整数)也是任意整数，而2k＋1,2k－1均为任意奇数，2k为任意偶数．
2．(2015·湖北孝感期中)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是(　　)
A．1∈A B．B?A
C．(1,1)?B D．?∈A
[答案]　B
[解析]　B＝＝{(1,1)}，故选B.
3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B?A，则a的值不可能是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　D
[解析]　由题意知，a＝0时，B＝?，满足题意；a≠0时，由∈A?a＝1,2，所以a的值不可能是3.
4．集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为(　　)
A．7 B．12
C．32 D．64
[答案]　D
[解析]　集合P*Q的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故P*Q的子集个数为26＝64.
二、填空题
5．已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝?，则实数m的取值范围是________．
[答案]　m≥1
[解析]　∵M＝?，∴2m≥m＋1，∴m≥1.
6．集合?{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.
[答案]　2
[解析]　解方程组得，
代入y＝3x＋b得b＝2.
三、解答题
7．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?且B?A，求实数a、b的值．
[解析]　∵B中元素是关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根，且B?{－1,1}，
∴关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.
∵B＝{x|x2－2ax＋b＝0}?A＝{－1,1}，且B≠?，
∴B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1,1}．
当B＝{－1}时，
Δ＝4a2－4b＝0且1＋2a＋b＝0，
解得a＝－1，b＝1.
当B＝{1}时，
Δ＝4a2－4b＝0且1－2a＋b＝0，
解得a＝b＝1.
当B＝{－1,1}时，
有(－1)＋1＝2a，(－1)×1＝b，
解得a＝0，b＝－1.
8．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若B?A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；
(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝?，满足B?A.
当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B?A成立，
只需即2≤m≤3.
综上，当B?A时，m的取值范围是{m|m≤3}．
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
∴集合A的非空真子集个数为28－2＝254.
(3)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，
B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，
又不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，
∴当B＝?，即m＋1>2m－1，得m<2时，符合题意；
当B≠Q，即m＋1≤2m－1，得m≥2时，
或解得m>4.
综上，所求m的取值范围是{m|m<2或m>4}．
课件48张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.1　集合第一章1.1.2　集合间的基本关系●知识衔接∈∈∈??∈2．若a－1∈N，但a－1?N*，则a＝____.
3．由大于2小于7的自然数构成的集合用列举法可以表示为_________．用描述法可以表示为_______________．1{3,4,5,6}{x∈N|2(2)若A?B，且A≠B，则A?B.3．空集
(1)定义：我们把不含任何_____的集合叫做空集，记为__.
(2)规定：空集是任何集合的_____，即??A.
[名师点拨]　空集是任何非空集合的真子集，即??A(A≠?)．元素?子集1．下列图形中，表示M?N的是(　　)●预习自测[答案]　C
[解析]　根据题意可知，M中的任意一个元素都是N中的元素，故C正确．2．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，则有(　　)
A．M＜N B．M∈N
C．N?M D．M?N
[答案]　D
[解析]　∵1∈{1,2,3}，∴{1}?{1,2,3}．故选D.3．给出下列四个判断：
①?＝{0}；
②空集没有子集；
③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；
④空集是任何一个集合的子集．
其中，正确的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案]　B
[解析]　?与{0}不是同一个概念，①不正确；空集有且只有一个子集，即它本身，②③不正确；④的说法正确，故选B.4．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B?A，则实数m＝________.
[答案]　4
[解析]　因为B?A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，比较A，B中的元素可知m＝4.元素与集合、集合与集合之间的关系●互动探究[规律总结]　当给定的问题涉及元素与集合、集合与集合的关系时，要抓住基本概念去解题．此时要注意辨明集合中元素的特征，对“包含”与“包含于”、“真包含”与“真包含于”、“属于”与“不属于”等符号要进行仔细辨认，以避免因疏忽而出错．填空：
?________{a}，a________?，0________{(0,1)}，
(1,2)________{1,2,3}，{1,2}________{1,2,3}．
[答案]　?　?　?　?　?
[解析]　第一个和最后一个是两集合的关系，而中间三个是元素与集合之间的关系．[解析]　由空集和子集的定义可判断(1)和(3)是正确的，对于(2)，因为A可能是空集，所以(2)错；而对于(4)明显是错误的． 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
探究　先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系．集合与集合之间的包含关系(4)方法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
方法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N?M.
[点评]　对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法．注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示．[规律总结]　判断集合关系的方法有三种：
(1)一一列举观察．
(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若p(x)推出q(x)，则A?B；②若q(x)推出p(x)，则B?A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
若A?B和A?B同时成立，则A?B能准确表达集合A，B之间的关系． 已知M＝{x|x＞1}，N＝{x|x＞a}，且M?N，则(　　)
A．a≤1 B．a＜1
C．a≥1 D．a＞1
探究　为了形象直观地表示集合的关系．可借助数轴，让a在x轴上运动，通过观察归纳M与N的关系，进而得出1与a的关系．数轴在表示集合之间的关系中的应用[解析]　随着a在x轴上运动，集合N也在变化，满足M?N的情况如图，显见a＜1，故选B.
[答案]　B
[规律总结]　要特别注意a能否取到1，若把其他条件不变，分别只改以下条件时，结论如何：
①M＝{x|x≥1}；②N＝{x|x≥a}；③M?N；④M?N；⑤M?N.
[答案]　①B　②A　③A　④C　⑤D已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．
(1)若B?A，则a的取值范围是________；
(2)若A?B，则a的取值范围是________；
(3)若A?B，则a的取值范围是________；
(4)若A＝B，则a的值是________．
[答案]　(1)a≤3　(2)a≥3　(3)a>3　(4)3
[解析]　(1)若B?A应满足a≤3；
(2)若A?B应满足a≥3；
(3)A?B应满足a>3；
(4)若A＝B则a＝3. (1)A＝{a，b，c}，求集合A子集的个数．
(2)若集合A含有的元素分别为1个、2个、4个、5个，则集合A的子集的个数分别是多少？
*(3)根据上面结果猜测集合A含有n个元素时，集合A子集的个数．
(4)若A含有n个元素，猜测集合A真子集的个数．集合的子集个数的问题●探索延拓[解析]　(1)确定集合A各种情形子集的个数：含有一个元素时子集为{a}，{b}，{c}共3个，含有两个元素时子集为{a，b}，{a，c}，{b，c}共3个，含有3个元素时子集为{a，b，c}共1个，另外还有空集?，因此集合A共有8个子集．
(2)按上述方法，当集合A含有1个元素时子集个数为2，含有两个元素时子集个数为4，含有4个元素时子集个数为16，含有5个元素时子集个数为32.
(3)将上述子集个数整理为21,22,23,24,25，猜测当集合A含有n个元素时子集个数为2n.
(4)去掉它本身，应有2n－1个．(1)若??A?{1,2}，则集合A的个数为________．
(2)若{1}?A?{1,2}，则集合A的个数为________．
(3)若{a1，a2}?A?{a1，a2，a3，a4，a5}，求满足上述条件的集合A的个数．
(4)若{a1，a2，…，am}?A?{a1，a2，…，am，b1，b2，…，bn}，则集合A的个数为________．
(5)若{a1，a2，…，am}?A?{a1，a2，…，am，b1，b2，…，bn}，则集合A的个数为________．
[答案]　(1)4　(2)2　(3)8　(4)2n　(5)2n－2[解析]　(3)集合A首先含有元素a1，a2，然后再从剩下的3个元素中选取，即{a3，a4，a5}的子集总数为23＝8个，∴这样的集合A共有8个． 已知集合A＝{0,1}，B＝{x|x?A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是(　　)
A．A?B B．A?B
C．B?A D．A∈B
[错解]　因为x?A，所以B＝{?，{0}，{1}，{0,1}}，所以A?B，故选B.
[错因分析]　本题比较特殊，集合B中的元素就是集合，当集合A是集合B的元素时，A与B是从属关系．易错点一　误解集合间的关系●误区警示[正解]　因为x?A，所以B＝{?，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A＝{0,1}是集合B中的元素，所以A∈B，故选D.
[点评]　判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等关系，但有时也可能为从属关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两个集合中元素之间的关系是什么．已知集合A＝{0,1}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的准确关系为(　　)
A．A?B B．B?A
C．A∈B D．A＝B
[答案]　D
[解析]　因为集合B是由集合A的所有元素构成，B＝{0,1}所以A＝B，故选D. 若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，当B?A时，求实数m的取值范围．易错点二　由子集关系求集合中参数范围时，忽视空集导致漏集[思路分析]　?是任何集合的子集，这一点一定不要忘记．已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}，满足Q?P，求a的值．1．已知集合A＝{x|x2＝4}，①2?A；②{－2}∈A；③??A；④{－2,2}＝A；⑤－2∈A.则上列式子表示正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案]　C
[解析]　∵集合A＝{－2,2}，故③④⑤正确．2．已知集合U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x(x－1)＝0}的关系的Venn的图是(　　)
[答案]　B3．用适当的符号填空：
(1){1,2,3}________{1,2,3,4}；
(2){正方形}________{矩形}；
(3)?________{0}．
[答案]　(1)?　(2)? (3)?4．满足{1}?A?{1,2,3}的集合A是________．
[答案]　{1,2}或{1,3}
5．已知集合A＝{x|x≥0}，若B?A，则集合B可能是________(填上一个你认为正确的答案)．
[答案]　{1,2}(答案不唯一)第一章　1.1　1.1.3　第一课时
基础巩固
一、选择题
1．下面四个结论：①若a∈(A∪B)，则a∈A；②若a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，则a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B.其中正确的个数为(　　)
A．1 　　 B．2
C．3 D．4
[答案]　C
[解析]　①不正确，②③④正确，故选C.
2．已知集合M＝{x|－33}，则M∪N＝(　　)
A．{x|x>－3} B．{x|－3C．{x|3[答案]　A
[解析]　在数轴上表示集合M，N，如图所示，
则M∪N＝{x|x>－3}．
3．(2015·全国高考卷Ⅰ文科，1题)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
[答案]　D
[解析]　A∩B＝{8,14}，故选D.
4．(2015·浙江省期中试题)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝(　　)
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}
[答案]　D
[解析]　A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D.
5．若A∪B＝?，则(　　)
A．A＝?，B≠? B．A≠?，B＝?
C．A＝?，B＝? D．A≠?，B≠?
[答案]　C
6．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝?，则实数a的取值集合为(　　)
A．{a|a<2} B．{a|a≥－1}
C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}
[答案]　C
[解析]　如图．
要使A∩B＝?，应有a<－1.
二、填空题
7．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.
[答案]　0,1或－2
[解析]　由已知得B?A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知x≠2，∴x＝0,1或－2.
8．已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝________.
[答案]　6
[解析]　用数轴表示集合A、B如图所示．由于A∩B＝{x|5≤x≤6}，得m＝6.
三、解答题
9．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a的值．
[解析]　∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.
∵a2＋1≠－3，∴①若a－3＝－3，则a＝0，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，
但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，
∴a≠0.
②若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}．
综上可知a＝－1.
10．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)∵B＝{x|x≥2}，A＝{x|－1≤x＜3}，
∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．
(2)∵C＝{x|x＞－}，B∪C＝C?B?C，
∴－<2，∴a＞－4.
能力提升
一、选择题
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M且a≠b}，则M∪N＝(　　)
A．{0,1} B．{－1,0}
C．{－1,0,1} D．{－1,1}
[答案]　C
[解析]　由题意可知，集合N＝{－1,0}，所以M∪N＝M.
2．若集合M＝{(x，y)|x＋y＝0}，P＝{(x，y)|x－y＝2}，则M∩P等于(　　)
A．(1，－1) B．{x＝1或y＝－1}
C．{1，－1} D．{(1，－1)}
[答案]　D
[解析]　M∩P的元素是方程组的解
∴M∩P＝{(1，－1)}．
3．(2015·衡水高一检测)若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C之间的关系为(　　)
A．C?A B．A?C
C．C?A D．A?C
[答案]　D
[解析]　∵A∩B＝A，∴A?B，又B∪C＝C，∴B?C，∴A?C，故选D.
4．当x∈A时，若x－1?A，且x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′，则M′∪N′＝(　　)
A．{0,1,3,4} B．{1,4}
C．{1,3} D．{0,3}
[答案]　D
[解析]　由条件及孤星集的定义知，M′＝{3}，N′＝{0}，则M′∪N′＝{0,3}．
二、填空题
5．以下四个推理：①a∈(A∪B)?a∈A；②a∈(A∩B)?a∈(A∪B)；③A?A?A∪B＝B；④A∪B＝A?A∩B＝B.其中正确的为________．
[答案]　②③④
[解析]　①是错误的，a∈(A∪B)时可推出a∈A或a∈B，不一定推出a∈A.
6．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2－px－2q＝0}，且A∩B＝{－1}，则A∪B＝________.
[答案]　{－2，－1,4}
[解析]　因为A∩B＝{－1}，所以－1∈A，－1∈B，即－1是方程x2＋px＋q＝0和x2－px－2q＝0的解，
所以
解得
所以A＝{－1，－2}，B＝{－1,4}，
所以A∪B＝{－2，－1,4}．
三、解答题
7．已知A＝{x|2a＜x≤a＋8}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，A∪B＝R，求a的取值范围．
[解析]　∵B＝{x|x＜－1或x＞5}，A∪B＝R，
∴解得－3≤a＜－.
8．设A＝{x|x2＋8x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0}，其中a∈R.如果A∩B＝B，求实数a的取值范围．
[解析]　∵A＝{x}x2＋8x＝0}＝{0，－8}，A∩B＝B，∴B?A.
当B＝?时，方程x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0无解，
即Δ＝4(a＋2)2－4(a2－4)＜0，得a＜－2.
当B＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式
Δ＝4(a＋2)2－4(a2－4)＝0，得a＝－2.
将a＝－2代入方程，解得x＝0，∴B＝{0}满足．
当B＝{0，－8}时，可得a＝2.
综上可得a＝2或a≤－2.
[点评]　(1)当集合B?A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时，要考虑B＝?的情形，切不可漏掉．(2)利用集合运算性质化简集合，有利于准确了解集合之间的关系．
课件52张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.1　集合第一章1.1.3　集合的基本运算第一课时　并集和交集1．集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的__________元素都是集合B的元素．
2．若A?B，同时B?A，则A与B的关系是_______．
3．空集是任何非空集合的________．●知识衔接任何一个相等真子集4．已知集合A＝{高一·三班同学}，B＝{高一·三班二组成员}，则(　　)
A．A?B B．A?B
C．A?B D．B?A
[答案]　D
5．集合{a，b，c}的真子集有(　　)
A．8个 B．7个
C．6个 D．5个
[答案]　B6．下列各式中正确的是(　　)
A．{0}∈R B．{1}∈{1,2,3}
C．{0,1}≠{1,0} D．??{1}
[答案]　D1．并集和交集的定义●自主预习或A∪B且A∩Bx∈Ax∈B[名师点拨]　(1)简单地说，集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集；(2)当集合A，B无公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集合B的元素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同．2．并集和交集的性质AAA?1．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|x2－x－2＝0}，那么A∩B＝(　　)
A．{0} B．{1}
C．{－1} D．?
[答案]　C
[解析]　因为B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－1,0,1}，所以A∩B＝{3}．●预习自测2．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∪B＝(　　)
A．{x|－1＜x＜1} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x}－2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}
[答案]　C
[解析]　因为A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，所以A∪B＝{x|－2＜x＜2}．3．(2015·全国高考江苏卷，1题)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
[答案]　5
[解析]　A∪B＝{1,2,3,4,5}，故填5.
4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________.
[答案]　3
[解析]　因为A∩B＝{2,3}，所以3∈B.所以m＝3. (1)(2015·西宁高一检测)已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2＜x≤5}，则A∪B＝(　　)
A．{x|2＜x＜3} B．{x|－1≤x≤5}
C．{x|－1＜x＜5} D．{x|－1＜x≤5}
(2)(2015·重庆高一检测)设集合M＝{1,2}，则满足条件M∪N＝{1,2,3,4}的集合N的个数是(　　)
A．1 B．3
C．2 D．4并集的概念及其运算●互动探究(3)(2015·杭州高一检测)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
探究1.两个集合求并集的实质是什么？
探究2.题2中在已知M∪N及集合M的条件下，如何确定集合N?
探究3.当并集中的元素个数与构成并集的两个集合的元素个数和相等时，如何确定其中的参数？[解析]　(1)结合数轴分析可知，A∪B＝{x|－1≤x≤5}．
(2)∵M＝{1,2}，
M∪N＝{1,2,3,4}．
∴N＝{3,4}或{1,3,4}或{2,3,4}或{1,2,3,4}，即集合N有4个．
(3)∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴a＝4，a2＝16或a＝16，a2＝4，
解得a＝4.
[答案]　(1)B　(2)D　(3)D[规律总结]　求两个集合并集的两个方法
(1)若两个集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集．
(2)若两个集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得．[规律总结]　求集合的并集，若集合是用列举法表示的，则可直接利用并集定义求解；若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可借助数轴分析求解． (1)(2012湖南文科高考·1题)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}则M∩N＝(　　)
A．{－1,0,1}　　　 B．{0,1}
C．{1} D．{0}
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B等于(　　)
A．{x|x≤3或x>4} B．{x|－1C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}
(3)已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝________.交集的概念及其运算[答案]　(1)B　(2)D　(3){(1,2)}[规律总结]　求集合A∩B的方法与步骤
(1)步骤
①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；
②把所求并集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式；
③把化简后的集合A、B的所有元素都写出来即可(相同元素只写一个)．(2)方法
①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用虚点表示．(1)(2015·全国高考广东卷理科，1题)若综合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N＝(　　)
A．{1,4} B．{－1，－4}
C．{0} D．?
(2)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜5}，则A∩B＝(　　)
A．{2} B．{x|1＜x＜3}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|3＜x＜5}
(3)已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，则A∩B＝________.[答案]　(1)D　(2)C　(3){x|x是等腰直角三角形} (1)(2015·临沂高一检测)已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r＝________.
(2)设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，则a的值为________．
探究　(1)－2是不是方程x2－px－2＝0的根？怎样确定集合B?
(2)条件中的A∩B＝B应如何转化？集合交集、并集运算的性质及其简单综合[解析]　(1)∵A∩B＝{－2}，
∴－2∈A且－2∈B，
将x＝－2代入x2－px－2＝0，
得p＝－1，∴A＝{1，－2}，
∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，
∴B＝{－2,5}，
∴q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，∴p＋q＋r＝－14.已知集合M＝{x|2x－4＝0}，N＝{x|x2－3x＋m＝0}．
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
[解析]　由已知得M＝{2}，
(1)当m＝2时，N＝{1,2}，
所以M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．
(2)若M∩N＝M，则M?N，∴2∈N，
所以4－6＋m＝0，m＝2. 已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求适合下列条件的a值．
(1)9∈A∩B；
(2){9}＝A∩B.
探究　9∈A∩B与{9}＝A∩B意义不同，9∈A∩B说明9是A与B的一个公共元素，但A与B中允许有其他公共元素．
{9}＝A∩B，说明A与B的公共元素有且只有一个9.●探索延拓[解析]　(1)∵9∈A∩B，∴9∈A.
∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.
检验知：a＝5或a＝－3满足题意．
(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B，
∴a＝5或a＝±3.检验知：a＝5时，A∩B＝{－4,9}不合题意，∴a＝－3.[规律总结]　(1)中检验的是集合A、B中的元素是否是互异的，a＝3时，B中元素a－5与1－a相同，所以a＝3应舍去；(2)中进一步检验A与B有没有不是9的公共元素，a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，这时A∩B＝{－4,9}≠{9}，所以a＝5应舍去． 集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，A∩B＝B，求a的取值范围．易错点一　集合运算时忽略空集易错●误区警示[思路分析]　A∩B＝B，B可能为空集，千万不要忘记．设集合M＝{x|－2＜x＜5}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}，若M∩N＝N，则实数t的取值范围为________．
[答案]　t≤2 已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是(　　)
A．1或2 B．2或4
C．2 D．1
[错解]　A
∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.
[错因分析]　没有对当a＝1或2时的集合元素互异性进行检验．易错点二　含字母的集合运算时忽视了检验[思路分析]　M∩N＝{2,3}有两层含义，一是2,3是集合M，N的元素，另外集合M，N只有这两个公共元素，因此解出字母a后，要代入原集合进行检验．
[正解]　C
∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}符合题意．A＝{1,4}，B＝{x|(x－3)(x－a)＝0}求A∪B.
[解析]　当a＝3时，B＝{3}，A∪B＝{1,3,4}
当a＝1时，B＝{1,3}，A∪B＝{1,3,4}
当a＝4时，B＝{1,4}，A∪B＝{1,3,4}
当a≠1,3,4时，B＝{3，a}，A∪B＝{1,3,4，a}
综上当a＝1或3或4时，A∪B＝{1,3,4}
当a≠1,3,4时，A∪B＝{1,3,4，a}．1．(2015·全国高考广东卷文科，1题)若集合M＝{－1,1}，N＝{－2,1,0}，则M∩N＝(　　)
A．{0，－1} B．{0}
C．{1} D．{－1,1}
[答案]　C
[解析]　M∩N＝{1}，故选C.2．(2014·全国高考卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－1A．{x|－2C．{x|1[答案]　B3．已知集合A＝{0,1,2}，集合B＝{x|x＝2a－1，a∈A}，则A∩B＝(　　)
A．{0} B．{1,2}
C．{1} D．{2}
[答案]　C
[解析]　B＝{x|x＝2a－1，a∈A}＝{－1,1,3}，∴A∩B＝{1}．4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于(　　)
A．{1,2} B．{1,5}
C．{2,5} D．{1,2,5}
[答案]　D
[解析]　∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，
∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，
即A＝{1,2}，B＝{2,5}．
∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.5．设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x<0或x≥2}，则A∩B＝________，A∪B＝________.
[答案]　{x|2≤x≤3}　{x|x<0或x≥1}第一章　1.1　1.1.3　第二课时
基础巩固
一、选择题
1．(2015·重庆三峡名校联盟)设全集I＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,2}，则(?IB)∩A为(　　)
A．{2} B．{3,5}
C．{1,3,4,5} D．{3,4,5}
[答案]　B
[解析]　因为全集I＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{1,2}，则?IB＝{3,4,5}．所以(?IB)∩A为{3,5}．故选B.
[易错警示]　本小题的关键是先求出集合B的补集，再求交集．集合的运算是集合关系的基础知识，要理解清楚，可能渗透在一个大题中，不熟练会导致整体看不懂或理解错误．
2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则?UA的所有非空子集的个数为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案]　B
[解析]　∵?UA＝{2,4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B.
3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则(　　)
A．P?Q B．Q?P
C．(?RP)?Q D．Q??RP
[答案]　C
[解析]　∵P＝{x|x＜1}，∴?RP＝{x|x≥1}．又Q＝{x|x＞－1}，∴(?RP)?Q，故选C.
4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于(　　)
A．M∪N B．M∩N
C．(?UM)∪(?UM) D．(?UM)∩(?UN)
[答案]　D
[解析]　∵M∪N＝{1,2,3,4}，∴(?UM)∩(?UN)＝?U(M∪N)＝{5,6}，故选D.
5．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∪(?UB)等于(　　)
A．{x|－2≤x≤4}
B．{x|x≤3，或x≥4}
C．{x|－2≤x＜－1}
D．{x|－1≤x≤3}
[答案]　A
[解析]　由题意可得?UB＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∪(?UB)＝{x|－2≤x≤4}，故选A.
6．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜2}，且A∪(?RB)＝R，则a满足(　　)
A．a≥2 B．a＞2
C．a＜2 D．a≤2
[答案]　A
[解析]　?RB＝{x|x≥2}，则由A∪(?RB)＝R得a≥2，故选A.
二、填空题
7．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若?AB＝{5}，则实数m＝________.
[答案]　5
8．U＝R，A＝{x|－23}，B＝{x|x≥4}，则?UA＝________，?AB＝________.
[答案]　{x|x≤－2或1三、解答题
9．已知全集U＝{2,3，a2－2a－3}，A＝{2，|a－7|}，?UA＝{5}，求a的值．
[解析]　解法1：由|a－7|＝3，得a＝4或a＝10.
当a＝4时，a2－2a－3＝5，当a＝10时，a2－2a－3＝77?U，∴a＝4.
解法2：由A∪?UA＝U知，∴a＝4.
10．(2015·唐山一中月考试题)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2[分析]　利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出?UA及?UB，然后求解．
[解析]　如图所示，
∵A＝{x|－2∴?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
?UB＝{x|x<－3或2∴A∩B＝{x|－2(?UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(?UB)＝{x|2[点评]　(1)数轴与Venn图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行数集的交、并、补运算时，经常借助数轴求解．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
能力提升
一、选择题
1．如图，阴影部分用集合A、B、U表示为(　　)
A．(?UA)∩B B．(?UA)∪(?UB)
C．A∩(?UB) D．A∪(?UB)
[答案]　C
[解析]　阴影部分在A中，不在B中，故既在A中也在?UB中，因此是A与?UB的公共部分．
2．设S为全集，则下列说法中，错误的个数是(　　)
①若A∩B＝?，则(?SA)∪(?SB)＝S；
②若A∪B＝S，则(?SA)∩(?SB)＝?；
③若A∪B＝?，则A＝B.
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　A
[解析]　借助文氏图可知，①②正确，对于③于由A∪B＝?，∴A＝?，B＝?，∴A＝B，故选A.
3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，(?US)∩T＝{4}，(?US)∩(?UT)＝{1,5}则有(　　)
A．3∈S,3∈T B．3∈S,3∈?UT
C．3∈?US,3∈T D．3∈?US,3∈?UT
[答案]　B
[解析]　若3∈S,3∈T，则3∈S∩T，排除A；
若3∈?US，3∈T，则3∈(?US)∩T，排除C；
若3∈?US,3∈?UT，则3∈(?US)∩(?UT)，排除D，
∴选B，也可画图表示．
4．(2008·北京)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩(?UB)等于(　　)
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|－2≤x<－1} D．{x|－1≤x≤3}
[答案]　D
[解析]　?UB＝{x|－1≤x≤4}，A∩?UB＝{x|－1≤x≤3}，故选D.
二、填空题
5．已知全集为R，集合M＝{x∈R|－2＜x＜2}，P＝{x|x≥a}，并且M??RP，则a的取值范围是________．
[答案]　a≥2
[解析]　M＝{x|－2＜x＜2}，?RP＝{x|x＜a}．
∵M??RP，∴由数轴知a≥2.
6．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，?UA＝{x|x＜3或x＞4}，则ab＝________.
[答案]　12
[解析]　∵A∪(?UA)＝R，∴a＝3，b＝4，∴ab＝12.
三、解答题
7．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(?UA)∩B＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．
[提示]　由2∈B,4∈A，列方程组求解．
[解析]　∵(?UA)∩B＝{2}，∴2∈B，∴4－2a＋b＝0.①
又∵A∩(?UB)＝{4}，∴4∈A，∴16＋4a＋12b＝0.②
联立①②，得解得
经检验，符合题意：∴a＝，b＝－.
[点评]　由题目中所给的集合之间的关系，通过分析得出元素与集合之间的关系，是解决此类问题的关键．
8．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a[分析]　本题从条件B??RA分析可先求出?RA，再结合B??RA列出关于a的不等式组求a的取值范围．
[解析]　由题意得?RA＝{x|x≥－1}．
(1)若B＝?，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B??RA.
(2)若B≠?，则由B??RA，得2a≥－1且2a即－≤a<3.
综上可得a≥－.
课件48张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.1　集合第一章1.1.3　集合的基本运算第二课时　补集1．若A?B，则A∪B＝____，A∩B＝____.
2．若A∩B＝B则B____A，若A∪B＝B则A____B.
3．若A∪B＝A∩B，则A____B.
4．(2014·北京，理)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　　)
A．{0}　　　　　 B．{0,1}
C．{0,2} D．{0,1,2}
[答案]　C
[解析]　x2－2x＝0，得x＝0，x＝2，故A＝{0,2}，所以A∩B＝{0,2}，故选C.●知识衔接BA??＝5．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　D
[解析]　由{1,3}∪A＝{1,3,5}，知A?{1,3,5}，且A中至少有一个元素为5，从而A中其余元素可以是集合{1,3}的子集的元素．而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4.它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，故选D.1．全集●自主预习全集U2.补集不属于全集U?UA?[归纳总结]　(1)简单地说，?UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．
(2)性质：A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?，?U(?UA)＝A，?UU＝?，?U?＝U，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
(3)如图所示的深阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示．1．若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，则?MN＝(　　)
A．? B．{1,3,5}
C．{2,4} D．{1,2,3,4,5}
[答案]　B
[解析]　?MN＝{1,3,5}，选B.●预习自测2．已知集合A＝{x|x＜1}，则?RA＝(　　)
A．{x|x＞1} B．x≥1
C．{x|x≥1} D．?
[答案]　C
[解析]　结合补集的定义，借助数轴知?RA＝{x|x≥1}．
3．已知全集U＝{2,5,8}，且?UA＝{2}，则集合A的真子集有________个．
[答案]　3
[解析]　因为?UA＝{2}，所以A＝{5,8}，故A的真子集为{5}，{8}，?，共3个．4．已知全集U＝{x|x≥－2}，集合A＝{x|x＞1}，求?UA. (1)设全集U＝R，集合A＝{x|2＜x≤5}，则?UA＝________.
(2)已知U＝{x|－5≤x＜－2或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则?UA＝________，?UB＝________.
探究1.求补集时应明确什么？
探究2.求补集时常将集合用图示表示，经常使用的图示有哪些？补集的基本运算●互动探究[规律总结]　求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法．
(2)两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解．
②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．(1)(2014·浙江，理)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则?UA＝(　　)
A．? B．{2}
C．{5} D．{2,5}
(2)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若?UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.
[答案]　(1)B　(2)2 (1)(2012·辽宁高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(?UA)∩(?UB)＝(　　)
A．{5,8} B．{7,9}
C．{0,1,3} D．{2,4,6}
(2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)．
探究　(1)有限集利用文氏图求解；(2)无限集利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出?UA及?UB，再求解． 交集、并集、补集的综合运算[规律总结]　求集合交、并、补运算的方法(1)(2015·全国高考湖南卷文科，11题)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(CUB)＝________.
(2)设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(?UB)＝(　　)
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
[答案]　(1){1,2,3}　(2)B[解析]　(1)CUB＝{2}，A∪(CUB)＝{1,2,3}．
(2)∵U＝R，B＝{x|x＞1}，
∴?UB＝{x|x≤1}．
又A＝{x|x＞0}，∴A∩(?UB)＝{x|0＜x≤1}． 已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠?，求实数m的取值范围．
探究1.求A∩B≠?满足条件比较困难．
探究2.利用补集性质去求A∩B＝?的条件．
[解析]　先求A∩B＝?时m的取值范围．
(1)当A＝?时，
方程x2－4x＋2m＋6＝0无实根，
所以Δ＝(－4)2－4(2m＋6)<0，
解得m>－1.补集性质的应用综上，当A∩B＝?时，m的取值范围是{m|m≥－3}．
又因为U＝R，
所以当A∩B≠?时，m的取值范围是m<－3.
所以，A∩B≠?时，m的取值范围是{m|m<－3}．[规律总结]　“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.
补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，求实数a的取值范围．
[分析]　集合A中的元素可能有0个、1个或2个三种情况，题目要求“至多有1个元素”，即集合A中包含0个或1个元素．若采取分类讨论的策略，所分情况较多，求解比较麻烦，可考虑构造“补集”：求集合A中含有2个元素的情况，然后再求其补集(不论a取什么值，集合A都有意义，所以全集U＝R)． 已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1<9}，求?UA.
[错解]　由题意，得A＝{x|0≤x<4}，∴?UA＝{x|x<0，x>4}
[错因分析]　求A的补集时，端点的取舍出现错误．另外，x<0与x>4之间应该用“或”连接，没有“或”连接时就隐含了“x<0且x>4”的意思．易错点一　计算补集时忽视了边界●误区警示 [思路分析]　求集合的补集运算时一定要注意不等式在端点处是否带等号，以及两个不等式中间到底用“或”还是“且”连接．解题时，应养成严谨的习惯．
[正解]　由题意，得A＝{x|0≤x<4}，
∴?UA＝{x|x<0或x≥4}．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}，若A∪?RB＝R，求实数a的取值范围．
[分析]　与集合交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴分析法分析求解． 已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－5x＋q＝0}，A?U，求?UA及q的值．
[错解]　当q＝0时，x2－5x＋q＝0的根为x＝5，x＝0，5∈U，此时A＝{5}，?UA＝{1,2,3,4}．
当q≠0时，由韦达定理知方程x2－5x＋q＝0的根在1、2、3、4、5中取时，只可能是3或2,1或4，因此
q＝6时，A＝{2,3}，?UA＝{1,4,5}．
q＝4时，A＝{1,4}，?UA＝{2,3,5}．易错点二　忽视空集易出错 所以q＝0时，?UA＝{1,2,3,4}，
q＝4时，?UA＝{2,3,5}，
q＝6时，?UA＝{1,4,5}．
[错因分析]　错解中没有注意到A?U，当q＝0时，A＝{0,5}?U，另外，当A＝?时，?UA＝U，此时方程x2－5x＋q＝0无实数解．[点评]　本题易错点：(一)忽略A?U，求出q的值后不验证A?U是否成立；(二)不考察A＝?的情形．设U＝{－2,1,0}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，求?UA及m的值．
[解析]　方程x2＋mx＝0的解为x1＝0或x2＝－m，－m∈{－2,1,0}
当m＝0时，A＝{0}，?UA＝{－2,1}
当m＝－1时，A＝{0,1}，?UA＝{－2}
当m＝2时，A＝{0，－2}，?UA＝{1}．1．设全集U＝{x|x是平行四边形}，A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是矩形}，则下列关于集合的运算正确的是(　　)
A．A∪B＝U
B．A∩B＝{x|x是正方形}
C．?UA＝B
D．?UB＝A
[答案]　B2．已知集合U＝{x|x＞0}，?UA＝{x|0＜x＜2}，那么集合A＝(　　)
A．{x|x≤0或x≥2}
B．{x|x＜0或x＞2}
C．{x|x≥2}
D．{x|x＞2}
[答案]　C
[解析]　利用数轴分析，可知A＝{x|x≥2}．3．(2014·辽宁，理)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝(　　)
A．{x|x≥0} B{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}
[答案]　D
[解析]　∵A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴?U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．故选D.4．(2014·重庆，理)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(?UA)∩B＝________.
[答案]　{7,9}
[解析]　由题意，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故?UA＝{4,6,7,9,10}，所以(?UA)∩B＝{7,9}．5．已知全集U＝R，A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，(?UA)∩B.
[解析]　∵B＝{x|x≥3}，
?UA＝{x|x＜2或x≥4}，
∴A∪B＝{x|x≥2}，
(?UA)∩B＝{x|x≥4}．第一章　1.1　1.1.3　第三课时
基础巩固
一、选择题
1．(2015·全国高考卷Ⅱ文科，1题)已知集合A＝{x|－1A．{x|－1C．{x|0[答案]　A
[解析]　A∪B＝{x|－12．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(?UB)等于(　　)
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
[答案]　B
[解析]　画出数轴，如图所示，?UB＝{x|x≤1}，则A∩?UB＝{x|0＜x≤1}，故选B.
3．图中阴影部分所表示的集合是(　　)
A．B∩(?U(A∪C))
B．(A∪B)∪(B∪C)
C．(A∪C)∩(?UB)
D．[?U(A∩C)]∪B
[答案]　A
[解析]　阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(?U(A∪C))，故选A.
4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞4}，那么集合(?UA)∩(?UB)等于(　　)
A．{x|3＜x≤4} B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|3≤x＜4} D．{x|－1≤x≤3}
[答案]　A
[解析]　方法1：?UA＝{x|x＜－2或x＞3}，?UB＝{x|－2≤x≤4}
∴(?UA)∩(?UB)＝{x|3＜x≤4}，故选C.
方法2：A∪B＝{x|x≤3或x＞4}，(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{x|3＜x≤4}．故选A.
5．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|－1≤x≤a}，且(A∪B)?(A∩B)，则实数a＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　B
[解析]　∵(A∪B)?(A∩B)，∴(A∪B)＝(A∩B)，
∴A＝B，∴a＝1.
6．设U为全集，对集合X，Y定义运算“*”，X*Y＝?U(X∩Y)，对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝(　　)
A．(X∪Y)∩?UZ
B．(X∩Y)∪?UZ
C．(?UX∪?UY)∩Z
D．(?UX∩?UY)∪Z
[答案]　B
[解析]　X*Y＝?U(X∩Y)
(X*Y)*Z＝?U[?U(X∩Y)∩Z]＝?U(?U(X∩Y))∪?UZ＝(X∩Y)∪?UZ，故选B.
二、填空题
7．(河北孟村回民中学2014～2015学年高一九月份月考试题)U＝{1,2}，A＝{x|x2＋px＋q＝0}，?UA＝{1}，则p＋q＝________.
[答案]　0
[解析]　由?UA＝{1}，知A＝{2}即方程
x2＋px＋q＝0有两个相等根2，∴p＝－4，q＝4，
∴p＋q＝0.
8．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x－1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若m∈A，m∈B，则m为________．
[答案]　(4,7)
[解析]　由m∈A，m∈B知m∈(A∩B)，
由，得，∴A∩B＝{(4,7)}．
三、解答题
9．已知全集U＝R，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}，求：
(1)(?RA)∩(?RB) (2)?R(A∪B)
(3)(?RA)∪(?RB) (4)?R(A∩B)
[分析]　在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A、B，然后求出A∩B，A∪B，?RA，?RB，最后可逐一写出各小题的结果．
[解析]　如图所示，可得
A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}．
?RA＝{x|x<2或x≥5}，
?RB＝{x|x<3或x≥7}．
由此求得
(1)(?RA)∩(?RB)＝{x|x<2或x≥7}．
(2)?R(A∪B)＝{x|x<2或x≥7}．
(3)(?RA)∪(?RB)＝{x|x<2或x≥5}∪{x<3或x≥7}＝{x|x<3或x≥5}．
(4)?R(A∩B)＝{x|x<3或x≥5}．
[点评]　求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现．
10．已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(?UA)∩B＝{2}，(?UB)∩A＝{4}，求A∪B.
[分析]　先确定p和q的值，再明确A与B中的元素，最后求得A∪B.
[解析]　∵(?UA)∩B＝{2}，∴2∈B且2?A.
∵A∩(?UB)＝{4}，∴4∈A且4?B.
∴解得p＝－7，q＝6，
∴A＝{3,4}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{2,3,4}．
能力提升
一、选择题
1．设A、B、C为三个集合，(A∪B)＝(B∩C)，则一定有(　　)
A．A?C B．C?A
C．A≠C D．A＝?
[答案]　A
[解析]　∵A∪B＝(B∩C)?B，
又B?(A∪B)，∴A∪B＝B，∴A?B，
又B?(A∪B)＝B∩C，且(B∩C)?B，
∴(B∩C)＝B，∴B?C，∴A?C.
2．设P＝{3,4}，Q＝{5,6,7}，集合S＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则S中元素的个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案]　D
[解析]　S＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D.
3．(2015·陕西模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合?U(A∪B)中元素的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　B
[解析]　因为集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，所以?U(A∪B)＝{3,5}．
4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩(?UA)≠?，则(　　)
A．k＜0 B．k＜2
C．0＜k＜2 D．－1＜k＜2
[答案]　C
[解析]　∵U＝R，A＝{x|x≤1或x≥3}，
∴?UA＝{x|1＜x＜3}．
∵B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，
∴当B∩(?UA)＝?时，有k＋1≤1或k≥3(不合题意，舍去)，如图所示，
∴k≤0，
∴当B∩(?UA)≠?时，0＜k＜2，故选C.
二、填空题
5．(2014·福建，理)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：
①a＝1；②b≠1；③c＝2，④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．
[答案]　6
[解析]　根据题意可分四种情况：
(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组有0个；
(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)；
(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；
(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，(3,1,4,2)．
所以共有6个．故答案为6.
6．设数集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．
[答案]　
[解析]　如图，设AB是一长度为1的线段，a是长度为的线段，b是长度为的线段，a，b可在线段AB上自由滑动，a，b重叠部分的长度即为M∩N的“长度”，显然，当a，b各自靠近线段AB两端时，重叠部分最短，其值为＋－1＝.
三、解答题
7．已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，试探求a取何实数时，(A∩B)??与A∩C＝?同时成立．
[解析]　B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{2，－4}，由A∩B??与A∩C＝?同时成立可知，3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解，将3代入方程得a2－3a－10＝0，解得a＝5或a＝－2.
当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，此时A∩C＝{2}，与此题设A∩C＝?矛盾，故不适合．当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，此时(A∩B)??与A∩C＝?同时成立，则满足条件的实数a＝－2.
8．设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A，且x?B}．
(1)试举出两个数集，求它们的差集；
(2)差集A－B与B－A是否一定相等？说明理由；
(3)已知A＝{x|x>4}，B＝{x|－6[解析]　(1)如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，
则A－B＝{1}．
(2)不一定相等，
由(1)B－A＝{4}，而A－B＝{1}，
故A－B≠B－A.
又如，A＝B＝{1,2,3}时，
A－B＝?，B－A＝?，此时A－B＝B－A，
故A－B与B－A不一定相等．
(3)因为A－B＝{x|x≥6}，
B－A＝{x|－6A－(A－B)＝{x|4B－(B－A)＝{x|4课件38张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.1　集合第一章1.1.1　集合的含义与表示第三课时　习题课网络构建在处理与集合有关的题目时应注意：
1．集合的属性(点集、数集、图形集等)．
2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
3．集合A＝{a1，a2，a3，…，an}的子集的个数为2n.
4．空集优先的原则，如已知A?B，则首先要考虑A＝?.规律小结5．集合运算中的一些结论：
(1)若A∩B＝A则A?B；
(2)若A?B则A∩B＝A；
(3)若A∪B＝B，则A?B；
(4)若A?B则A∪B＝B；
(5)若A∩B＝A∪B，则A＝B；
(6)若A?B，则?UA??UB；
(7)(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)；
(8)(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)．
6．借助Venn图或数轴解题． 若集合A＝{1，x}，B＝{x2,0}，有没有x的值，使A＝B?
[分析]　两集合相等，则其元素完全相同，同一集合内的元素应互不相同．1．集合是一个不加定义的概念，只对其作了描述性的说明，把一些确定的对象集在一起就构成一个集合，应了解集合中的元素是确定的、互不相同的、没有顺序的．2．集合的表示方法有列举法、描述法、图示法，用列举法表示集合，应将元素一一列出，或将其规律体现出来；描述法是表示集合的重要方法，要对其中的元素有什么共同属性，代表元素是什么弄清楚；图示法常用于表达集合之间的关系和抽象集合．[分析]　本题关键点是求解描述法中，代表元素的性质，即a，b∈Q. 若集合A＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，集合B＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，则A与B间的关系是(　　)
A．A∈B　　　　　 B．A?B
C．A?B D．A＝B
[分析]　首先分清是集合与集合之间的关系，还是元素与集合之间的关系，再弄清集合中元素的属性，然后作出判断．3．元素与集合的关系和集合与集合的关系要加以区分，要正确运用“∈”，“?”，“?”，“?”等数学符号．准确理解集合之间的关系．[解析]　因为整数包括奇数与偶数，所以n＝2k或2k－1(k∈Z)．当n＝2k时，2n＋1＝4k＋1；当n＝2k－1时，2n＋1＝4k－1.故A＝B.
[答案]　D 已知集合U＝{x∈R|1＜x≤7}，
A＝{x∈R|2≤x<5}，B＝{x∈R|3≤x＜7}，求
(1)(?UA)∩(?UB)；
(2)?U(A∪B)；
(3)(?UA)∪(?UB)；
(4)?U(A∩B)．
(5)观察上述结果你能得出什么结论．4．熟练掌握集合的交、并、补运算，这是高考考查的重点．[分析]　利用数形结合的思想，将满足条件的集合在数轴上一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，既简单又直观，这是最基本最常用的方法．本题可先在数轴上画出集合U、A、B，然后求出A∩B，A∪B，?UA，?UB，就能逐一写出各小题的结果．A∪B＝{x∈R|2≤x＜7}，
?UA＝{x∈R|1＜x＜2或5≤x≤7}，?UB＝{x∈R|1＜x＜3或x＝7}．
从而可求得
(1)(?UA)∩(?UB)＝{x∈R|1＜x＜2或x＝7}．
(2)?U(A∪B)＝{x∈R|1＜x＜2或x＝7}．
(3)(?UA)∪(?UB)＝{x∈R|1(4)?U(A∩B)＝{x∈R|1(5)认真观察不难发现：
?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；
?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．[规律总结]　上述发现是偶然的呢？还是具有普遍的意义呢？如图．[分析]　可以把U，A∪B，A∩B，?UA，?UB的元素分别求出来，再进一步求出所要求的集合，也可以直接利用Venn图来直观地求解．
[解析]　∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∴?U(A∪B)＝{6,7,9}．
∵A∩B＝{5,8}，
∴?U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}
∵?UA＝{1,3,6,7,9}，?UB＝{2,4,6,7,9}．
∴(?UA)∩(?UB)＝{6,7,9}，(?UA)∪(?UB)＝{1,2,3,4,6,7,9}．作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．
[点评]　可用Venn图研究(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)与(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决这一类集合问题． (河南安阳一中分校2014～2015学年第一学期阶段性测试)设全集U＝{x|x≤8，x∈N＋}，若A?U，B?U，B∩(?UA)＝{2,6}，A∩(?UB)＝{1,8}，(?UA)∩(?UB)＝{4,7}，，则(　　)
A．A＝{1,8}，B＝{2,6}
B．A＝{1,3,5,8}，B＝{2,3,5,6}
C．A＝{1,8}，B＝{2,3,5,6}
D．A＝{1,3,8}，B＝{2,5,6}
[分析]　可将集合用Venn图表示出来进行观察，也可直接分析每个元素所具有的性质．5．利用文氏图巧解集合题[规律总结]　从本例解法中可以很清楚地看出Venn图在解集合题中的价值．在此题中，我们也可以发现?UB＝?UB∩(A∪?UA)＝(A∩?UB)∪[?UB)∩(?UA)]． 已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－a－1}，B＝{x|x＞a＋2}，C＝{x|x＜0或x≥4}都是U的子集．
若?U(A∪B)?C，问这样的实数a是否存在？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．6．含参数问题7．解答信息迁移题时，先要准确理解所给条件提供的信息，进行必要的提炼加工，转化为所学知识，利用已掌握方法，加以解答．[解析]　(1)C×D＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．
(2)∵A×B＝{(1,2)，(2,2)}，∴A＝{1,2}，B＝{2}．
(3)集合A中的任意一个元素与B中的一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素应为(m×n)个．
故若A中有3个元素，B中有4个元素，
则A×B中有3×4＝12个元素．
[规律总结]　新定义、信息迁移类型的题目往往比较新颖，通过读题，一定要弄懂运算的规律．1．(2015·全国高考安徽卷文科，2题)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(CUB)＝(　　)
A．{1,2,5,6} B．{1}
C．{2} D．{1,2,3,4}
[答案]　B
[解析]　CUB＝{1,5,6}，A∩(CUB)＝{1}，故选B.2．已知集合A＝{1,2}，集合B＝{(x，y)|x＋y＝3}，则A∩B＝(　　)
A．{1} B．{2}
C．{(1,2)} D．?
[答案]　D
[解析]　集合A表示的是数集，而集合B表示的是点集，所以A∩B＝?.4．已知集合M＝{1,2,3，…，100}，A是集合M的非空子集，把集合A中的各元素之和记作S(A)．满足S(A)＝8的集合A的个数为________．
[答案]　6
[解析]　若S(A)＝8，则A＝{8}，A＝{1,7}，A＝{2,6}，A＝{3,5}，A＝{1,2,5}和A＝{1,3,4}，共6种可能．5．已知集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}．
(1)若A∩B＝?，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)因为A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x＜m}，
且A∩B＝?，所以m≤－2.
(2)由A∩B＝A，得A?B.
因为A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x＜m}，所以m≥4.第一章　1.2　1.2.1
基础巩固
一、选择题
1．下列四种说法中，不正确的是(　　)
A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
[答案]　B
2．f(x)＝＋的定义域是(　　)
A．[－1，＋∞)　　　　 B．(－∞，－1]
C．R D．[－1,1)∪(1，＋∞)
[答案]　D
[解析]　解得故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.
3．各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是(　　)
[答案]　A
[解析]　因为垂直x轴的直线与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点，故选A.
4．(2015·曲阜二中月考试题)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是(　　)
A．f?x→y＝x　　　　 B．f?x→y＝x
C．f?x→y＝x D．f?x→y＝
[答案]　C
[解析]　对于选项C，当x＝4时，y＝＞2不合题意．故选C.
5．下列各组函数相同的是(　　)
A．f(x)＝与g(x)＝x＋1
B．f(x)＝与g(x)＝x·
C．f(x)＝2x＋1与g(x)＝
D．f(x)＝|x2－1|与g(t)＝
[答案]　D
[解析]　对于A.f(x)的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g(x)的定义域是R，定义域不同，故不是相同函数；
对于B.f(x)＝|x|·，g(x)＝x·的对应法则不同；对于C，f(x)的定义域为R与g(x)的定义域是{x|x≠0}，定义域不同，故不是相同函数；
对于D.f(x)＝|x2－1|，g(t)＝|t2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.
6．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数有(　　)
A．必有一个 B．一个或两个
C．至多一个 D．可能两个以上
[答案]　C
[解析]　当a在f(x)定义域内时，有一个交点，否则无交点．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝，又知f(t)＝6，则t＝________.
[答案]　－
[解析]　f(t)＝＝6.∴t＝－
8．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2＜x≤4}＝________；
(3){x|x＞－1且x≠2}＝________.
[答案]　(1)[1，＋∞)　(2)(2,4]　(3)(－1,2)∪(2，＋∞)
三、解答题
9．求下列函数的定义域，并用区间表示：
(1)y＝－；
(2)y＝.
[分析]　??
[解析]　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，
解得x≤5，且x≠±3，
即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．
[规律总结]　定义域的求法：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．
(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．
函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．
10．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f()的值；
(3)当a＞0时，求f(a)，f(a－1)的值．
[解析]　(1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}，
所以这个函数的定义域是{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3，且x≠－2}．
(2)f(－3)＝＋＝－1；
f()＝＋＝＋＝＋.
(3)因为a＞0，故f(a)，f(a－1)有意义．
f(a)＝＋；
f(a－1)＝＋＝＋.
能力提升
一、选择题
1．给出下列从A到B的对应：
①A＝N，B＝{0,1}，对应关系是：A中的元素除以2所得的余数
②A＝{0,1,2}，B＝{4,1,0}，对应关系是f：x→y＝x2
③A＝{0,1,2}，B＝{0,1，}，对应关系是f：x→y＝
其中表示从集合A到集合B的函数有(　　)个．(　　)
A．1　　 　 B．2
C．3　　 　 D．0
[答案]　B
[解析]　由于③中，0这个元素在B中无对应元素，故不是函数，因此选B.
2．(2012·高考安徽卷)下列函数中，不满足：f(2x)＝2f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
[答案]　C
[解析]　f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足：f(2x)＝2f(x)得：A，B，D满足条件．
3．(2014～2015惠安中学月考试题)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(　　)
[答案]　B
[解析]　A、C、D的值域都不是[1,2]，故选B.
4．(2015·盘锦高一检测)函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝(　　)
A．[－1，＋∞) B．[－1，)
C．(－1，) D．(－∞，)
[答案]　B
二、填空题
5．若函数f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3,4a]，则a的取值范围是________．
[答案]　(1,2)
[解析]　由区间的定义知?1＜a＜2.
6．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．
[答案]　[－3,0]∪[2,3]　[1,2)∪(4,5]
[解析]　观察函数图象可知
f(x)的定义域是[－3,0]∪[2,3]；
只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5]．
三、解答题
7．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝－＋.
[解析]　(1)要使函数有意义，需??x≤1且x≠0，所以函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
(2)由得∴x＜0且x≠－1，
∴原函数的定义域为{x|x＜0且x≠－1}．
(3)要使函数有意义，需
解得－≤x＜2且x≠0，所以函数y＝－＋的定义域为[－，0)∪(0,2)．
[点评]　求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．
8．已知函数f(x)＝，
(1)求f(x)的定义域．
(2)若f(a)＝2，求a的值．
(3)求证：f＝－f(x)．
[解析]　(1)要使函数f(x)＝有意义，只需1－x2≠0，解得x≠±1，
所以函数的定义域为{x|x≠±1}．
(2)因为f(x)＝，且f(a)＝2，
所以f(a)＝＝2，即a2＝，解得a＝±.
(3)由已知得f＝＝，－f(x)＝－＝，
∴f＝－f(x)．
课件58张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.2　函数及其表示第一章1.2.1　函数的概念●知识衔接1．函数的概念
设A，B是非空的______，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的__________数x，在集合B中都有___________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做_________，x的取值范围A叫做函数y＝f(x)的_________；与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数y＝f(x)的______，则值域是集合B的______．●自主预习数集任意一个唯一确定自变量定义域函数值值域子集[名师点拨]　(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应，这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数．2．常见函数的定义域和值域x≠0R定义域对应关系对应关系一定相同定义域不同(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．4．区间与无穷大
(1)区间的概念．
设a，b是两个实数，且a＜b.[a，b](a，b)[a，b)(a，b][知识拓展]　并不是所有的数集都能用区间来表示．例如，数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示．(2)无穷大．
“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”，满足x≥a，x＞a，x≤a，x＜a的实数x的集合可用区间表示，如下表.[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)[答案]　C
2．已知f(x)＝2x＋1，则f(5)＝(　　)
A．3 B．7
C．11 D．25
[答案]　C●预习自测3．集合{x|x≥1}用区间表示为(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案]　D
4．区间[5,8)表示的集合是(　　)
A．{x|x≤5，或x＞8} B．{x|5＜x≤8}
C．{x|5≤x＜8} D．{x|5≤x≤8}
[答案]　C函数概念的理解●互动探究探究1.如何利用函数定义．对于集合A中的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应进行判断．
探究2.当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系．[答案]　(1)B　(2)C[规律总结]　判断一个对应关系是否是函数关系的方法，从以下三个方面判断：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A中任一实数在B中必须有实数和它对应；(3)A中任一实数在B中和它对应的实数是唯一的．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．[答案]　(1)①③不是　②④是　(2)①⑤
[解析]　(1)①A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
②对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数；
③A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数；④对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数．
(2)根据函数的定义，一个函数图象与垂直于x轴的直线最多有一个交点，这是通过图象判断其是否构成函数的基本方法．探究1.求函数定义域的实质是什么？
探究2.在实际问题中，求函数定义域应注意什么？求函数的定义域[规律总结]　求函数的定义域：
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2．已知矩形的周长为1，它的面积S与矩形的一条边长x之间的函数关系为________，其定义域为________． 试用区间表示下列实数集：
(1){x|5≤x<6}；
(2){x|x≥9}；
(3){x|x<－9}∪{x|9(4){x|x≤－1}∩{x|－5≤x<2}；
探究1.注意区间的开与闭，能取端点值时为闭，不能取端点值时为开．
探究2.若用到两个或两个以上区间时，用“∪”表示．区间[解析]　(1){x|5≤x<6}＝[5,6)．
(2){x|x≥9}＝[9，＋∞)．
(3){x|x<－9}∪{x|9(4){x|x≤－1}∩{x|－5≤x<2}＝{x|－5≤x≤－1}＝[－5，－1]．[规律总结]　对于区间的理解应注意：
(1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a称之为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a}．
(2)注意开区间(a，b)与点(a，b)在具体情景中的区别. 若表示点(a，b)的集合，应为{(a，b)}．
(3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心圈的区别．(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示．
(5)区间是实数集的另一种表示方法，要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆．(1)用区间表示数集{x|x≤－2或x＞3}为________．
(2)已知全集U＝R，A＝{x|1＜x≤5}，则?UA用区间表示为________．
[答案]　(1)(－∞，－2]∪(3，＋∞)　(2)(－∞，－1]∪(5，＋∞)
[解析]　(1){x|x≤－2或x＞3}＝(－∞，－2]∪(3，＋∞)
(2)?UA＝{x|x≤－1或x＞5}＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)．探究　解决此类问题，要充分理解相等函数的概念，准确求出函数的定义域，认准对应关系，按判断相等函数的步骤求解．相等函数的判断●探索延拓[答案]　②④[规律总结]　从函数的概念可知，函数有定义域、值域、对应法则三要素，其中，定义域是前提，对应法则是核心，值域是由定义域和对应法则确定的．因此，
(1)当两个函数的定义域不同或对应法则不同，它们就不是同一个函数．只有当定义域和对应法则都相同时它们才是相等函数．
(2)对应法则f是函数关系的本质特征，要深刻理解，准确把握，它的核心是“法则”．通俗地说，就是给出了一个自变量后的一种“算法”，至于这个自变量是用x还是用t或者别的符号表示，那不是“法则”的本质，因此，对应法则与自变量所用的符号无关．(3)从本题我们也得到这样的启示：在对函数关系变形或化简时，一定要注意使函数的定义域保持不变，否则，就变成了不同的函数．这也正说明了函数的定义域是函数不可忽视的一个重要组成部分．例如f(x)＝x2－x　(x≥1)，f(3)＝32－3＝6，但f(－1)是无意义的，不能得出f(－1)＝(－1)2－(－1)＝2，因为只有当x取定义域[1，＋∞)内的值时，才能按这个法则x2－x进行计算．求函数值[规律总结]　此类求值问题，一般要求的式子较多，不能逐个求解，求解时，注意观察所要求的式子，发掘它们之间的关联，进而去验证，从而得到问题的解决方法．[答案]　－9[错解]　由区间的定义，可知B＝A，即两集合表示的是同一意义．
[错因分析]　该解法中忽视了区间[a，b]中的隐含条件am－1，即m>－1这个隐含条件；而集合B＝{x|m－1≤x≤2m}中的m没有这个隐含条件．易错点　忽视区间中的隐含条件●误区警示[思路分析]　用区间表示含字母的集合时，字母就有了隐含条件，但用集合表示时，却没有这个限制．因此在面对B＝{x|m－1≤x≤2m}这样的集合时，就要注意讨论m的范围，B可能为空集或只有一个元素的集合．
[正解]　当m>－1时，A＝B，但m≤－1时集合B不能用区间A表示．已知区间[－2a,3a＋5]，则a的取值范围为________．
[答案]　(－1，＋∞)
[解析]　由题意可知3a＋5＞－2a，解之得a＞－1.故a的取值范围是(－1，＋∞)．[答案]　D
[解析]　判断y是否为x的函数，主要是看是否满足函数的定义，即一对一或多对一，不能一个自变量对应多个y值，故③错，①②④正确，故选D.2．下列图形中表示函数图象的是(　　)
[答案]　C
[解析]　作x轴的垂线，只有图象C与直线最多有一个交点，即为函数图象，故选C.[答案]　{x|x＞1且x≠5}第一章　1.2　1.2.2　第一课时
基础巩固
一、选择题
1．已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　)
A．y＝ B．y＝－
C．y＝ D．y＝－
[答案]　C
[解析]　设y＝，由1＝得，k＝2，因此，y关于x的函数关系式为y＝.
2．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　　)
A．y＝20－2x B．y＝20－2x(0＜x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10)
[答案]　D
[解析]　由题意得y＋2x＝20，∴y＝20－2x.
又∵2x＞y，∴2x＞20－2x，即x＞5.由y＞0，即20－2x＞0得x＜10，∴5＜x＜10.故选D.
3．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的解析式是(　　)
A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1
C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7
[答案]　B
[解析]　∵g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3，∴令x＋2＝t，则x＝t－2，g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1.
∴g(x)＝2x－1.
4．(2015·安丘一中月考)某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：
考试次数x
1
2
3
4
5
成绩y(分)
90
102
106
105
106
则下列说法正确的是(　　)
A．成绩y不是考试次数x的函数
B．成绩y是考试次数x的函数
C．考试次数x是成绩y的函数
D．成绩y不一定是考试次数x的函数
[答案]　B
5．如果二次函数的二次项系数为1，图象开口向上，且关于直线x＝1对称，并过点(0,0)，则此二次函数的解析式为(　　)
A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1
[答案]　D
6．(2015·武安中学周测题)若f(x)满足关系式f(x)＋2f()＝3x，则f(2)的值为(　　)
A．1 B．－1
C．－ D.
[答案]　B
[解析]　
①－②×2得－3f(2)＝3，
∴f(2)＝－1，选B.
二、填空题
7．某班连续进行了4次数学测验，其中元芳同学的成绩如下表所示，则在这个函数中，定义域是________，值域是________.
次序
1
2
3
4
成绩
145
140
136
141
[答案]　{1,2,3,4}　{145,140,136,141}
8．已知f＝x2＋，则函数值f(3)＝________.
[答案]　11
[解析]　∵f＝x2＋＝2＋2，
∴f(x)＝x2＋2，∴f(3)＝32＋2＝11.
三、解答题
9．已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域；
(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应．
[解析]　(1)由图知定义域为[－3,0]∪[1,4]．
(2)由图知值域为[－2,2]．
(3)由图知：p∈(0,2]时，只有唯一的值与之对应．
10．(2015·济宁高一检测)已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．求函数f(x)的解析式．
[解析]　∵f(x)＝ax2＋bx，且方程f(x)＝x有两个相等的实数根，
∴Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1，
又∵f(2)＝0，∴4a＋2＝0，
∴a＝－，
∴f(x)＝－x2＋x.
能力提升
一、选择题
1．(2015·福建泉州一中期中)已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝x2＋2x－1 D．f(x)＝x2＋2x＋1
[答案]　D
[解析]　令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，即f(x)＝x2＋2x＋1.
2．(2015·河北衡水中学期末)已知g(x)＝1－2x，f(g(x))＝(x≠0)，则f()等于(　　)
A．1 B．3
C．15 D．30
[答案]　C
[解析]　令g(x)＝1－2x＝，∴x＝，
∴f(g(x))＝＝＝15，选C.
3．(2015·山东青岛二中期末)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)等于(　　)
A．12 B．6
C．3 D．2
[答案]　B
[解析]　令x＝1，y＝1，则f(2)＝f(1)＋f(1)＋2＝6，令x＝2，y＝1，则f(3)＝f(2)＋f(1)＋4＝12，令x＝0，y＝0，则f(0)＝0，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)－2x2，
∴f(－x)＝f(0)－f(x)＋2x2，∴f(－3)＝f(0)－f(3)＋2×32＝0－12＋18＝6，选B.
4．(2015·安徽望江期末)观察下表：
x
－3
－2
－1
1
2
3
f(x)
4
1
－1
－3
3
5
g(x)
1
4
2
3
－2
－4
则f[g(3)－f(－1)]＝(　　)
A．3 B．4
C．－3 D．5
[答案]　B
[解析]　由题表知，g(3)－f(－1)＝－4－(－1)＝－3，
∴f[g(3)－f(－1)]＝f(－3)＝4.
二、填空题
5．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
[答案]　1　2
[解析]　∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.
x
1
2
3
f(g(x))
1
3
1
g(f(x))
3
1
3
∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2.
6．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F()＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________．
[答案]　F(x)＝3x＋
[解析]　设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0)，则F(x)＝kx＋.由F()＝16，F(1)＝8，得，解得，所以F(x)＝3x＋.
三、解答题
7．设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，对于x∈R恒成立，且f(x)＝0的两个实数根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．
[解析]　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(x)图象过(0,3)点，
∴f(0)＝3，即c＝3.
又f(2＋x)＝f(2－x)，
∴a(2＋x)2＋b(2＋x)＋3＝a(2－x)2＋b(2－x)＋3，
整理解得：(4a＋b)x＝0，∴4a＋b＝0即b＝－4a，
∴f(x)＝ax2－4ax＋3.
∵ax2－4ax＋3＝0的两个实数根的平方和为10，
∴10＝x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，
∴a＝1，∴f(x)＝x2－4x＋3.
8．(2015·山海关一中测试)若函数y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下面图中画出此函数的图象．
[解析]　本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．
课件54张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.2　函数及其表示第一章1.2.2　函数的表示法第一课时　函数的表示方法1．设A，B是非空的________，如果 按照某种确定的___________f，使对于集合A的________一个数x，在集合B中都有________确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．
2．函数的三要素是________、___________、________．
3．一次函数y＝ax＋b(a≠0)的定义域是____，值域是____.●知识衔接数集对应关系任意唯一定义域对应关系值域RR{x|x≠0}{y|y≠0}函数的表示法●自主预习数学表达式图象表格[归纳总结]　三种表示法的优缺点如下表：[知识拓展]　画函数f(x)图象的基本方法
(1)若函数f(x)是正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等基本初等函数，则依据各种函数的图象特点，由关键点(与坐标轴交点，最高最低点)，直接画出f(x)的图象．
(2)若函数f(x)不是基本初等函数，则用描点法画出f(x)的图象，其步骤是：列表、描点、连线．
(3)图象变换法，利用基本图象进行平移、伸移、对称变换得到需要的函数图象．[答案]　B
[解析]　因为π2∈R，所以f(π2)＝π.●预习自测2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是(　　)
A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－1,0)
[答案]　C
[解析]　由图象，知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．3．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(f(3))的值等于________．
[答案]　2
[解析]　据图象，知f(3)＝1，所以f(f(3))＝f(1)＝2.4．下列都是生活中的实例，判断它们是否表示函数．若是，是怎样表示这种函数关系的？
①一辆汽车以60km/h的速度行驶，其行驶路程S(km)与时间t(h)的关系为S＝60t(t≥0)．
②下表是我国1990～2000年的国内生产总值表.③下图是我国人口出生率变化曲线．
[解析]　它们都表示函数，其中①是用解析法，②是用列表法，③是用图象法表示函数关系的． 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
探究　函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000，6 000,9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示．分析题意得到表达y与x关系的解析式，注意定义域．函数的三种表示方法●互动探究[解析]　(1)列表法：
图象法，如图所示：
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．[易错警示]　本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应标明定义域．
[规律总结]　列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在应用三种方法表示函数时要注意：
(1)解析法：必须注明函数的定义域；
(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
(3)图象法：是否连线．(1)如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一动点M，沿折线BCD由点B向点D移动，设点M移动的路程为x，△ABM的周长为y，求函数y＝f(x)的表达式．
(2)某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：百公斤)如表所示.则零售量是否为月份的函数？为什么？(3)下列图形能否确定y是x的函数？(2)是函数，因为对于集合{1,2，…，12}中任一个值，由表可知y都有唯一确定的值与它对应，所以由它可确定为y是t的函数．
(3)①不能确定为y是x的函数．因为当x>0或x<－1时，由上图①可知，y有两个值与它对应．
②能确定y是x的函数．因为当x在{x|x＜－1或x＞1}中任取一个值时，由上图②可确定唯一的y值与它对应．
③能确定y是x的函数．因为当x在{－3，－2，－1，0,1,2,3,4}中任取一个值时，由图③可确定y有唯一的值与它对应．[规律总结]　(1)对于有些函数，它的对应关系是客观存在的，但却不能用解析法来表示．如本例(2)中的函数，表中所给出的就是一个对应关系，但却无法用解析法来表示．
(2)判断一个在直角坐标系下的图形能否确定y是x的函数的方法是：任作垂直于x轴的直线，当直线与图形至多只有一个交点时，则该图形能确定y是x的函数；否则就不能确定y是x的函数．探究1.画函数的图象时首先要注意的是什么？
探究2.所给三个函数的大致图象分别是什么形式的？与函数图象有关的问题(2)作函数图象时应注意以下几点：
①在定义域内作图；
②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．[点评]　(1)①A，B中图象没有扣除什么特殊点，定义域是R.②D中图象函数值取不到－2，也不符合题意．
[规律总结]　1.函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
2．画函数的图象时需注意函数的定义域．
3．一般用描点法画函数的图象，作图时要先找出关键“点”，再连线．求解析式这类问题抽象性较强，解题关键在于抓住函数对应法则f的本质．由函数f(x)的含义可知，在函数的定义域和对应法则f不变的条件下，自变量换字母，对函数本身并无影响，利用这一特征便可解决此类相关问题，常用的方法有
(1)代入法：如已知f(x)＝x2－1，求f(x＋x2)；
(2)待定系数法：已知f(x)的函数类型，要求f(x)的解析式时，可根据函数类型设其解析式，从而确定其系数即可．求函数的解析式●探索延拓2．求二次函数解析式时，
(1)若已知对称轴或顶点坐标，常设配方式f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(2)若已知f(x)过三点，常设一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(3)若已知f(x)与x轴两交点横坐标为x1、x2，常设分解式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．已知二次函数f(x)的图象过点A(0，－5)，B(5,0)，其对称轴为x＝2，求其解析式．(1)换元法与配凑法：
已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法：
①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解式，即为所求的解析式；
②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．
利用这两种方法求解时，一定要注意g(x)的取值范围的限定．换元法、配凑法求解析式探究1.如何拼凑出括号里的代数式．
探究2.如何形成方程组．[答案]　(1)x2－2x(x≠1)　(2)3x－2易错点　换元求解析式时忽略自变量范围的变化●误区警示[点评]　利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围．[答案]　C3．已知函数f(x)＝2x＋1，则函数f(2x－1)的表达式为________．
[答案]　f(2x－1)＝4x－1
4．一个面积为100 m2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为________．5．已知函数f(x)＝ax＋b，且f(－1)＝－4，f(2)＝5，
求：(1)a，b的值；(2)f(0)的值．第一章　1.2　1.2.2　第二课时
基础巩固
一、选择题
1．下列从集合A到集合B的对应中为映射的是(　　)
A．A＝B＝N＋，对应关系f：x→y＝|x－3|
B．A＝R，B＝{0,1}，对应关系f：x→y＝
C．A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝±
D．A＝Z，B＝Q，对应关系f：x→y＝
[答案]　B
[解析]　对A选项，当x＝3时，y＝0?B，排除A选项；对于C选项，对x的每一个值y有两个值与之对应，排除C选项；对于D选项，当x＝0时，在B中没有元素与之对应，排除D选项；只有B选项符合映射的概念，故选B.
2．下列给出的函数是分段函数的是(　　)
①f(x)＝
②f(x)＝
③f(x)＝
④f(x)＝
A．①② B．①④
C．②④ D．③④
[答案]　B
[解析]　对于②取x＝2，f(2)＝3或4，对于③取x＝1，f(1)＝5或1，所以②、③都不合题意．
3．已知f(x)＝则f＋f等于(　　)
A．－2　　 B．4　　　　
C．2　　　　 D．－4
[答案]　B
[解析]　f＝，
f＝f＝f＝.
∴f＋f＝4.
4．已知集合A中元素(x，y)在映射f下对应B中元素(x＋y，x－y)，则B中元素(4，－2)在A中对应的元素为(　　)
A．(1,3) B．(1,6)
C．(2,4) D．(2,6)
[答案]　A
[解析]　由题意知解得
5．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地前往B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(小时)的函数表达式是(　　)
A．x＝60t
B．x＝60t＋50
C．x＝
D．x＝
[答案]　D
[解析]　由于在B地停留1小时期间，距离x不变，始终为150千米，故选D.
6．集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数是(　　)
A．2 B．3
C．5 D．8
[答案]　B
[解析]　由f(a)＝0，f(b)＝0得f(a)＋f(b)＝0；f(a)＝1，f(b)＝－1得f(a)＋f(b)＝0；由f(a)＝－1，f(b)＝1得f(a)＋f(b)＝0，共3个，故选B.
二、填空题
7．已知a，b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值为________．
[答案]　1
[解析]　由题意知∴∴a＋b＝1.
8．已知函数f(x)＝若f(f(x))＝2，则x的取值范围是________．
[答案]　{2}∪[－1,1]
[解析]　设f(x)＝t，∴f(t)＝2，当t∈[－1,1]时，满足f(t)＝2，此时－1≤f(x)≤1，无解，当t＝2时，满足f(t)＝2，此时f(x)＝2即－1≤x≤1或x＝2.
三、解答题
9．如下图，函数f(x)的图象是由两条射线y1＝k1x＋b1(x≤1)，y2＝k2x＋b2(x≥3)及抛物线y3＝a(x－2)2＋2(1＜x＜3)的一部分组成，求函数f(x)的解析式．
[解析]　由图知解得所以左侧射线的解析式为y1＝－x＋2(x≤1)，
同理x≥3时，右侧射线的解析式为：y2＝x－2(x≥3)．
再设抛物线对应的二次函数的解析式为：
y3＝a(x－2)2＋2(1＜x＜3，a＜0)，所以a＋2＝1，a＝－1，
所以抛物线的解析式为y3＝－x2＋4x－2(1＜x＜3)．
综上所述，函数解析式为y＝
10．(2015·湖北黄冈期末)f(x)＝
(1)求f(f(－2))的值；
(2)求f(a2＋1)(a∈R)的值；
(3)当－4≤x＜3时，求f(x)的值域．
[解析]　(1)∵f(－2)＝1－2×(－2)＝5，
∴f(f(－2))＝f(5)＝4－52＝－21.
(2)当a∈R时，a2＋1≥1＞0，
∴f(a2＋1)＝4－(a2＋1)2
＝－a4－2a2＋3(a∈R)．
(3)①当－4≤x＜0时，f(x)＝1－2x，
∴1＜f(x)≤9；
②当x＝0时，f(x)＝2；
③当0＜x＜3时，f(x)＝4－x2，
∴－5＜f(x)＜4.故当－4≤x＜3时，函数f(x)的值域是(－5,9]．
能力提升
一、选择题
1．(2015·安庆高一检测)设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成A到B的映射的是(　　)
A．f：x→y＝x2 B．f：x→y＝3x－2
C．f：x→y＝－x＋4 D．f：x→y＝4－x2
[答案]　D
[解析]　对于D，当x＝2时，由对应关系y＝4－x2，得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成A到B的映射．
2．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为下列图中的(　　)
[答案]　B
[解析]　由已知得y＝＝.故选B.
3．(2015·海兴中学高一第一次考试)已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应为f：x→y＝x2－2x＋2，若对实数k∈B，在集合中没有元素对应，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案]　B
[解析]　设k＝x2－2x＋2即x2－2x＋2－k＝0，k没有元素对应即上述方程无解Δ＜0，(－2)2－4(2－k)＜0，∴k＜1故选B.
4．若函数f(x)＝φ(x)＝则当x＜0时，f[φ(x)]为(　　)
A．－x B．－x2
C．x D．x2
[答案]　B
[解析]　x＜0时，φ(x)＝－x2＜0，∴f(φ(x))＝－x2.
二、填空题
5．已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．
[答案]　{x|x≤1}
[解析]　当x≥0时，f(x)＝1，由xf(x)＋x≤2，知x≤1，∴0≤x≤1；
当x＜0时，f(x)＝0，∴x＜0.
综上，不等式的解集为{x|x≤1}．
6．设函数f(x)＝若f(4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是________．
[答案]　3
[解析]　由f(4)＝f(0)?(－4)2＋b×(－4)＋c＝c，
f(－2)＝－2?(－2)2＋b×(－2)＋c＝－2，
则f(x)＝
由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x?x2＋3x＋2＝0?x＝－2或x＝－1，即当x≤0时，有两个实数解；当x＞0时，有一个实数解x＝2.综上，f(x)＝x有3个实数解．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝1＋(－2＜x≤2)．
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出该函数的图象；
(3)写出该函数的值域．
[解析]　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1；
当－2＜x＜0时，f(x)＝1＋＝1－x，
∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示：
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
8．如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左向右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左侧部分的面积y关于x的函数解析式．
[解析]　如图所示，过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，
底角为45°，AB＝2cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
当点F在BG上时，即x∈(0,2]时，y＝x2；
当点F在GH上时，即x∈(2,5]时，
y＝×2×2＋2(x－2)＝2x－2；
当点F在HC上时，即x∈(5,7]时，
y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2＝－(x－7)2＋10.
综上，y＝
课件46张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.2　函数及其表示第一章1.2.2　函数的表示法第二课时　分段函数与映射●知识衔接列表描点连线－a　(a<0)54．已知g(x＋2)＝2x＋3，则g(3)等于(　　)
A．2　　 B．3　　　　
C．4　　　　 D．5
[答案]　D
5．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为(　　)
A．f(x)＝x2－1 　　　 B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1
[答案]　D1．分段函数
所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的__________的函数．
[名师点拨]　分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．●自主预习对应关系2．映射
(1)定义：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_________元素x，在集合B中都有_________的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合________到集合________的一个映射．
[归纳总结]　满足下列条件的对应f：A→B为映射：
(1)A，B为非空集合；
(2)有对应法则f；
(3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一元素与之对应．任意一个唯一确定AB(2)映射与函数的关系：函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为__________时，从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．
[归纳总结]　函数新概念，记准三要素；定义域值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见；函数变映射，只是数集变；不再是数集，任何集不限．非空数集1．下列对应不是映射的是(　　)
[答案]　D
[解析]　结合映射的定义可知A，B，C均满足M中任意一个数x，在N中有唯一确定的y与之对应，而D中元素1在N中有a，b两个元素与之对应，故不是映射．●预习自测2．函数y＝|x|的图象是(　　)
[答案]　B[答案]　(－∞，0)∪(0，＋∞)
[解析]　每段函数自变量的取值范围的并集是分段函数的定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)．[答案]　－1分段函数及其应用●互动探究探究1.形如f(f(x))的求值问题，应如何解决？
探究2.在已知分段函数值的情况下，如何确定其对应的自变量的值？(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．当－2所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.
(3)∵m≥2，∴f(m)＝2m－1，
即2m－1＞3m－5，
解得m＜4，
又m≥2，∴m的取值范围为[2,4)．映射的概念探究1.从集合A到B的映射中元素是怎样对应的？
探究2.怎样判断一个对应是映射？ 如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)画出y＝f(x)的图象；
(3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．
探究1.点P位置不同△ABP的形状一样吗？
探究2.注意该函数的定义域． 分段函数的实际应用●探索延拓[点评]　(3)可以作直线y＝2与函数y＝f(x)的图象交于点A(1,2)，B(11,2)，要使y≥2，应有1≤x≤11.
[规律总结]　利用分段函数求解实际应用题的策略
(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言．
(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型．
(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．某市出租车的计价标准是：4 km以内10元，超过4 km且不超过18 km的部分1.2元/km，超过18 km的部分1.8元/km.
(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；
(2)如果某人乘车行驶了20 km，他要付多少车费？ 设集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，其中a，k∈N，映射f：A→B使B中的元素y＝3x＋1与A中的元素x对应，求a及k的值．易错点　映射概念的理解错误●误区警示[错因分析]　以上解法的错误之处在于误解了映射的定义．a4＝10或a2＋3a＝10都有可能，因而要分类讨论．
[思路分析]　对于A映射f：A→B，A中的元素x的象可能是B中的任意一个元素，故在解此类题时要将问题考虑全面．1．在如图的对应关系中，哪些对应不是集合A到集合B的映射(　　)A．①、② B．①、④
C．②、⑤ D．①、②、③
[答案]　D
[解析]　由图知①②中元素a1在B中对应元素不唯一，③中元素a2在B中无象，都不是映射，④⑤是映射，故选D.4．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.
[答案]　5
[解析]　f(2)＝2a－1＝3，
∴a＝2，∴f(x)＝2x－1，
∴f(3)＝5.5．判断下列对应是否构成映射．
(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；
(2)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1；
(3)A＝B＝{1,2,3}，f(x)＝2x－1；
(4)A＝B＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x＋1.
[分析]　判断一个对应f是否为从A到B的映射，主要从映射的定义入手，看集合A中的任意一个元素，在对应关系f下在集合B中是否有唯一的对应元素．[解析]　对于(1)，集合A中的元素在集合B中都有唯一的对应元素，因而能构成映射；对于(2)，集合A中的任一元素x在对应关系f下在B中都有唯一元素与之对应，因而能构成映射；对于(3)，由于当x＝3时，f(3)＝2×3－1＝5，在集合B中无对应元素，因而不满足映射的定义，从而不能构成映射；对于(4)，满足映射的定义，能构成映射．
[规律总结]　要判断两个集合能否构成映射，一般从映射的定义入手．若满足映射定义就能构成映射；若不满足映射定义，只要举一反例，即说明集合A中的某一元素在B中无对应元素即可．第一章　1.2　1.2.2　第二课时
基础巩固
一、选择题
1．下列所给的四个图象中，可以作为函数y＝f(x)的图象的有(　　)
A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4)
C．(1)(3)(4) D．(3)(4)
[答案]　D
[解析]　利用函数定义判断．
2．(2015·山东泗水一中高一月考试题)下列对应在f中，可以构成从集合M到集合N的映射的是(　　)
A．M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→|y|＝x2
B．M＝{－2,0,2}，N＝{4}，f：x→y＝x2
C．M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝
D．M＝{0,2}，N＝{0,1}，f：x→y＝
[答案]　D
[解析]　对于选项A.若x＝1则y＝±1；
对于选项B，若x＝0则y＝0?N；
对于选项C，若x＝0则y不存在．故选D.
3．从甲城市到乙城市的电话费由函数g(t)＝1.06(0.75[t]＋1)给出，其中t>0，[t]表示大于或等于t的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5 min的电话费为(　　)
A．5.04元 B．5.56元
C．5.83元 D．5.38元
[答案]　C
[解析]　[5.5]＝6，∴g(5.5)＝1.06(0.75×6＋1)＝5.83(元)．
4．(2015·晋江季延中学月考题)图中的图象所表示的函数的解析式为(　　)
A．y＝|x－1|　(0≤x≤2)
B．y＝－|x－1|　(0≤x≤2)
C．y＝－|x－1|　(0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1|　(0≤x≤2)
[答案]　B
[解析]　0≤x≤1，y＝x,15．(2015·日照高一检测)函数f(x)＝的值域为(　　)
A．(0,1) B．(0,1]
C．[0,1) D．[0,1]
[答案]　B
[解析]　x2≥0?1＋x2≥1?0＜≤1，即函数的值域为(0,1]．
6．对任意两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)，当且仅当a＝c，b＝d；运算“?”为(a，b)?(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“⊕”为(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)．设p、q∈R，若(1,2)?(p，q)＝(5,0)，则(1,2)⊕(p，q)＝(　　)
A．(0，－4) B．(0,2)
C．(4,0) D．(2,0)
[答案]　D
[解析]　∵(1,2)?(p，q)＝(p－2q,2p＋q)＝(5,0)，
∴解得
∴(1,2)⊕(p，q)＝(1＋p,2＋q)＝(2,0)，故选D.
二、填空题
7．(2015·冠县武训高中月考试题)若函数f(x)的定义域为[－1,2]则函数f(3－2x)的定义域为________．
[答案]　[，2]
[解析]　由－1≤3－2x≤2解得≤x≤2，故定义域为[，2]．
8．定义运算a*b＝则对x∈R，函数f(x)＝1]　　　　.
[答案]　
三、解答题
9．已知定义域为R的函数f(x)满足：
①f(x＋y)＝f(x)·f(y)对任何实数x，y都成立；
②存在实数x1，x2，使f(x1)≠f(x2)．
求证：(1)f(0)＝1；(2)f(x)>0.
[分析]　可通过令x＝y＝0来构造f(0)，可通过f(x)＝f(＋)＝[f()]2≥0向结论迈进．
[解析]　(1)令x＝y＝0，代入条件①得
f(0)＝[f(0)]2，
解之f(0)＝0或f(0)＝1.
若f(0)＝0，则f(x)＝f(x＋0)＝f(x)·f(0)＝0，这与条件②矛盾．
∴f(0)≠0，∴f(0)＝1.
(2)∵f(x)＝f(＋)＝[f()]2≥0，故只需证明f()≠0.
假设存在x0，使f()＝0，
则f(0)＝f(－)＝f()f(－)＝0，
这与f(0)≠0矛盾．
∴f()≠0，∴f(x)>0.
10．(教材改编题)《国务院关于修改〈中华人民共和国个人所得税法实施条例〉的决定》已于2008年3月1日起施行，个人所得税税率表如下：
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过500元的部分
5%
2
超过500至2 000元的部分
10%
3
超过2 000元至5 000元的部分
15%
…
…
…
9
超过100 000元的部分
45%
注：本表所示全月应纳税所得额为每月收入额减去2 000元后的余额．
(1)若某人2008年4月份的收入额为4 200元，求该人本月应纳税所得额和应纳的税费；
(2)设个人的月收入额为x元，应纳的税费为y元．当0[解析]　(1)本月应纳税所得额为4 200－2 000＝2 200元；应纳税费由表格得500×5%＋1 500×10%＋200×15%＝205元．
(2)y＝
能力提升
一、选择题
1．映射f：A→B，在f作用下A中元素(x，y)与B中元素(x－1,3－y)对应，则与B中元素(0,1)对应的A中元素是(　　)
A．(－1,2) B．(0,3)
C．(1,2) D．(－1,3)
[答案]　C
[解析]　由题意知解得所以与B中元素(0,1)对应的A中元素是(1,2)．
2．(2015·四川内江六中第二次月考)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)等于(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
[答案]　C
[解析]　令x＝y＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)＋0，即f(0)＝0；因为f(1)＝2，令x＝y＝1得f(2)＝f(1)＋f(1)＋2＝6；令x＝2，y＝1得f(3)＝f(2)＋f(1)＋4＝12；令x＝3，y＝－3得f(0)＝f(3)＋f(－3)－18，解得f(－3)＝6.
3．(2015·山东实验中学二诊)设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝(　　)
A．－3 B．3或－3
C．－1 D．1或－1
[答案]　D
[解析]　由f(x)＝得f(－1)＝1，因为f(a)＋f(－1)＝2，所以f(a)＝1，解得a＝1或－1，故选D.
4．(2015·福建四地六校联考)设集合A＝[0，)，B＝[，1]，函数f(x)＝若x0∈A，且f[f(x0)]∈A，则x0的取值范围是(　　)
A．(0，] B．[，)
C．(，) D．[0，]
[答案]　C
[解析]　∵0≤x0＜，f(x0)＝x0＋∈[，1)，
∴f[f(x0)]＝2[1－f(x0)]＝2[1－(x0＋)]＝2(－x0)．
∵f[f(x0)]∈A，∴0≤2(－x0)＜.
∴＜x0≤.
又∵0≤x0＜，∴＜x0＜.
二、填空题
5．设函数f(n)＝k(其中n∈N*)k是π的小数点后的第n位数字，π＝3.141 592 653 5…，则{f…f[f(10)]}＝________.
[答案]　1
[解析]　f(10)＝5，f[f(10)]＝f(5)＝9，f(9)＝3，f(3)＝1，f(1)＝1，…，原式的值为1.
6．(江苏高考)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
[答案]　－
[解析]　首先讨论1－a,1＋a与1的关系，当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.
因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2，
所以a＝－.
当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1，
所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.
因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以2－a＝－3a－1，
所以a＝－(舍去)．
综上，满足条件的a＝－.
三、解答题
7．某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下表所示的关系.
x
…
30
40
45
50
…
y
…
60
30
15
0
…
(1)在所给的坐标系中，如图，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
[解析]　(1)由表作出点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)．它们近似地在一条直线上，设它们共线于直线y＝kx＋b，
∴解得
∴y＝－3x＋150，(x∈N)．
经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上．
∴所求函数解析式为y＝－3x＋150，(x∈N)；
(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300，
当x＝40时，P有最大值300，故销售价为40元时，才能获得最大利润．
8．某市营业区内住宅电话通话费用为前3分钟0.2元，以后每分钟0.10元(不足3分钟按3分钟计，以后不足1分钟按1分钟计)．
(1)在直角坐标系内，画出一次通话在6分钟内(包括6分钟)的话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数图象；
(2)如果一次通话t分钟(t＞0)，写出话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数关系式(可用[t]表示不小于t的最小整数)．
[解析]　(1)如答图．
(2)由(1)知，话费与时间t的关系是分段函数．当0＜t≤3时，话费为0.2元；当t＞3时，话费应为[0.2＋([t]－3)×0.1]元．所以y＝
课件43张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.2　函数及其表示第一章1.2.2　函数的表示法第三课时　习题课网络构建对于函数的概念及其表示要注意：
1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．
2．定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．
3．求抽象函数定义域的方法：
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f[g(x)]的定义域，就是求不等式a≤g(x)≤b的解集．
(2)已知f[g(x)]的定义域为[a，b]，求f(x)的定义域，就是求当x∈[a，b]时，g(x)的值域．规律小结4．求函数解析式的常用方法：
(1)凑配法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)方程法．
5．求函数值域的方法：
(1)配方法；(2)分离常数法；(3)换元法．
随着学习的深入，我们会有更多的求值域的方法．映射与函数的概念[分析]　解此题需要明确以下两点：
①集合A的元素是什么？
②什么是A到B的映射？[规律总结]　欲判断对应f：A→B是否是从A到B的映射，必须做两点工作：①明确集合A，B中的元素．②根据对应关系判断A中的每个元素是否在B中能找到唯一确定的对应元素．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出的4个图形，其中能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　)A．0个　　　　　 B．1个
C．2个 D．3个
[答案]　B
[解析]　图①中定义域为[0,1]与M不同，不是函数；图③中x＝2时，y＝3?N，不是函数；图④中x＝2时，y＝2或y＝0，不是函数；只有图②能表示函数图象．故选B.这三种函数，课本上虽然没有给出明确的定义，但要学习高中函数，必须理解它们，才能很好地解决函数问题．
抽象函数是一个难点，解决抽象函数问题，要全面应用所具有的性质展开解题思路，通常方法是赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数模型，帮助探求解题思路和方法．抽象函数、复合函数、分段函数已知函数y＝f(x)对一切实数都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(0)．
(2)求f(－x)＋f(x)的值．
(3)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
[解析]　(1)f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
(2)f(0)＝f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)＝0.
(3)f(12)＝f(9＋3)＝f(9)＋f(3)＝f(6＋3)＋f(3)＝f(6)＋2f(3)＝4f(3)．
又∵f(3)＋f(－3)＝0，∴f(3)＝－a.
∴f(12)＝－4a.[规律总结]　复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，解决这类问题的关键是从里往外，由内函数开始到外函数逐步解决问题．复合函数的定义域求函数的值域[规律总结]　求函数值域的原则及常用方法
(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算确定其值域．
(2)常用方法：
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．
②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．[规律总结]　(4)是一个无理函数，不能用公式法，也不能用图象法(不好画图象)．又解析式有两处出现x，故不能用不等式性质直接求解，而函数是否具有单调性，显然不好确定，故可选用换元法，把它化成二次函数解决．[答案]　D[答案]　D
[解析]　∵M＝{x|x＜2}，N＝{x|x≥－2}，∴M∩N＝{x|－2≤x＜2}，故选D.第一章　1.3　1.3.1　第一课时
基础巩固
一、选择题
1．下列命题正确的是(　　)
A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1、x2∈(a，b)，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数
B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1、x2∈(a，b)，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数
C．若函数f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在区间I1∪I2上一定是减函数
D．若函数f(x)是区间I上的增函数，且f(x1)＜f(x2)(x1、x2∈I)，则x1＜x2
[答案]　D
[解析]　A项中并不是对任意x1、x2都成立；B项中虽然有无穷多对，但也不能代表“所有”“任意”；C项中以f(x)＝为例，虽然在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为减函数，但在整个定义域上却不具有单调性，故选D.
2．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　)
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
[答案]　C
[解析]　若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．如0＜5，但f(0)＞f(5)，故选C.
3．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是(　　)
A．y＝－3x＋2 B．y＝
C．y＝x2－4x＋5 D．y＝3x2＋8x－10
[答案]　D
[解析]　显然A、B两项在(0,2)上为减函数，排除；对C项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在(－，＋∞)上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.
4．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是(　　)
A．[－，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－] D．(－∞，＋∞)
[答案]　C
[解析]　y＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，∴x≤－时单调递减．
5．(2015·黄中月考题)函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
[答案]　C
[解析]　因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3，故选C.
6．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则(　　)
A．f(－1)C．f(2)[答案]　B
[解析]　因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1)二、填空题
7．已知f(x)是定义在R上的增函数，下列结论中，①y＝[f(x)]2是增函数；②y＝是减函数；③y＝－f(x)是减函数；④y＝|f(x)|是增函数，其中错误的结论是________．
[答案]　①②④
8．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________．
[答案]　(－∞，40]∪[64，＋∞)
[解析]　对称轴为x＝，则≤5或≥8，得k≤40或k≥64.
三、解答题
9．(2015·安徽师大附中高一期中)已知函数f(x)＝，判断f(x)在(0，＋∞)上单调性并用定义证明．
[思路点拨]　→→→
[解析]　f(x)在(0，＋∞)上单增．
证明：任取x1＞x2＞0，f(x1)－f(x2)＝－＝，
由x1＞x2＞0知x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＞0，故f(x1)－f(x2)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上单增．
10．若函数f(x)＝在R上为增函数，求实数b的取值范围．
[分析]　→
[解析]　由题意得，解得1≤b≤2.①
[注释]　①本题在列不等式组时很容易忽略b－1≥f(0)，即只考虑到了分段函数在各自定义域上的单调性，忽略了f(x)在整个定义域上的单调性．
[方法探究]　解决此类问题，一般要从两个方面思考：一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面要考虑端点处的衔接情况，由此列出另一部分的式子．
能力提升
一、选择题
1．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　　)
A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
[答案]　D
2．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是(　　)
A．减函数且f(0)＜0 B．增函数且f(0)＜0
C．减函数且f(0)＞0 D．增函数且f(0)＞0
[答案]　A
[解析]　∵y＝ax和y＝－在(0，＋∞)都是减函数，∴a＜0，b＜0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a＜0，故选A.
3．下列有关函数单调性的说法，不正确的是(　　)
A．若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)＋g(x)为增函数
B．若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为减函数
C．若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为增函数
D．若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)－g(x)为减函数
[答案]　C
[解析]　∵若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)的增减性不确定．
例如f(x)＝x＋2为R上的增函数，当g(x)＝－x时，
则f(x)＋g(x)＝x＋2为增函数；当g(x)＝－3x，则f(x)＋g(x)＝－2x＋2在R上为减函数，∴不能确定．
4．如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](其中x1＜x2)，下列结论不正确的是(　　)
A.＞0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C．f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)
D．f(x2)－f(x1)＞0
[答案]　C
[解析]　∵x1∈[a，b]，x2∈[a，b]且x1＜x2，
∴a≤x1＜x2≤b又f(x)在[a，b]上为增函数
∴f(a)≤f(x)＜f(x2)≤f(b)，故C错，选C.
二、填空题
5．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为________．
[答案]　[0，]
[解析]　y＝－(x－3)|x|＝作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，]．
6．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f()的大小关系为________．
[答案]　f(a2－a＋1)≤f()
[解析]　∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥>0，又f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴f(a2－a＋1)≤f()．
三、解答题
7．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≥3.
[解析]　(1)f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1，
又f(4)＝5，∴f(2)＝3.
(2)f(m－2)≥f(2)
∴，∴2＜m≤4.
∴m的范围为(2,4]．
8．(能力拔高题)(1)写出函数y＝x2－2x的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？
(2)写出函数y＝|x|的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？
(3)定义在[－4,8]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，y＝f(x)的部分图象如图所示，请补全函数y＝f(x)的图象，并写出其单调区间，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？
(4)由以上你发现了什么结论？(不需要证明)
[解析]　(1)函数y＝x2－2x的单调递减区间是(－∞，1]，单调递增区间是[1，＋∞)；其图象的对称轴是直线x＝1；区间(－∞，1]和区间[1，＋∞)关于直线x＝1对称，函数y＝x2－2x在对称轴两侧的单调性相反．
(2)函数y＝|x|的单调减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)，图象关于直线x＝0对称，在其两侧单调性相反．.
(3)函数y＝f(x)，x∈[－4,8]的图象如图所示．
函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，[2,5]；单调递减区间是[5,8]，[－1,2]；区间[－4，－1]和区间[5,8]关于直线x＝2对称．区间[－1,2]和区间[2,5]关于直线x＝2对称，函数y＝f(x)在对称轴两侧的对称区间内的单调性相反．
(4)发现结论：如果函数y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称，那么函数y＝f(x)在直线x＝m两侧对称区间内的单调性相反．
课件53张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.3　函数的基本性质第一章1.3.1　单调性与最大(小)值第一课时　函数的单调性1．函数的三要素：______________________________．
2．函数的三种表示方法：______________________．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)顶点坐标为_________________ ，对称轴为_________________，a___0时开口向上，a___0时开口向下．
4．一次函数y＝x的图象特征是：自左向右，图象逐渐______，y随x的增大而________．●知识衔接定义域、值域、对应法则解析法、图象法、列表法＞＜上升增大5．二次函数y＝x2的图象特征是：自左向右，在(－∞，0]上，图象逐渐______，y随x的增大而______；在(0，＋∞)上，图象逐渐______，y随x的增大而______．下降减小上升增大下降减小下降减小1．增函数和减函数●自主预习任意＜＞上升下降2．单调性
(1)定义：如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的____________．
(2)图象特征：函数y＝f(x)在区间D上具有单调性，则函数y＝f(x)在区间D上的图象是上升的或下降的．增函数减函数单调区间 [归纳总结]　基本初等函数的单调区间如下表所示：1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2，则有(　　)
A．f(x1)C．f(x1)＝f(x2) D．以上都有可能
[答案]　B●预习自测2．[0,3]是函数f(x)定义域内的一个区间，若f(1)＜f(2)，则函数f(x)在区间[0,3]上(　　)
A．是增函数
B．是减函数
C．不是增函数就是减函数
D．增减性不能确定
[答案]　D
[解析]　虽然1,2∈[0,3]，1＜2，且f(1)＜f(2)，但是1和2是区间[0,3]内的两个特殊值，不是区间[0,3]内的任意值，所以f(x)在[0,3]上的增减性不能确定．3．函数f(x)的图象如图所示，则(　　)
A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数
B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数
C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数
D．函数f(x)在[2,4]上是增函数
[答案]　A 如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．利用图象求函数的单调区间●互动探究探究1.函数f(x)在D上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？
探究2.单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？
[解析]　函数的单调增区间为[－1.5,3)、[5,6)，单调减区间为[－4，－1.5)、[3,5)、[6,7]．据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．[解析]　由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．
由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]、[1，＋∞)，减区间为[－1,0)、(0,1]．探究1.利用定义证明一个函数在某一区间上是单调函数的关键步骤是什么？
探究2.当x1，x2∈(0,1)，且x1≠x2时，x1x2与1的大小关系如何？用定义证明函数的单调性[规律总结]　函数单调性的证明方法
证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：求函数的单调区间探究1.求解析式确定的二次函数的单调区间应把握的关键点是什么？
探究2.求函数解析式确定的单调区间应本着什么优先的原则？
探究3.求函数单调区间时，对于函数解析式中含有绝对值号的应如何处理？[规律总结]　求函数单调区间的两个方法及三个关注点
(1)两个方法
方法一：定义法，即先求定义域，再用定义法进行判断求解．
方示二：图象法，首先画出图象，根据函数图象求单调区间．(2)三个关注点：
关注一：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域．
关注二：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识，可以直接使用．
关注三：函数图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
[分析]　函数解析式中含有绝对值号，因而需先去掉绝对值号写成分段函数形式，然后，逐段画图．根据图象指出单调区间． 已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．
探究1.若一个函数在某区间上是增函数，且f(x1)＜f(x2)，则x1与x2的取值有什么限制，两者之间的大小关系是什么？
探究2.x－2与1－x在定义域内吗？函数单调性的应用●探索延拓[规律总结]　函数单调性应用的关注点
(1)函数单调性的定义具有“双向性”：利用函数单调性的定义可以判断，证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定函数中参数的范围．
(2)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．例如，若函数f(x)的解析式是未知的，欲求x的取值范围，我们可以根据函数单调性的定义(也就是函数单调性的性质)，将符号“f”脱掉，只要注意到函数的定义域，即可列出关于x的不等式(组)．
(3)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是减函数，且f(1－m)＞f(m)，求实数m的取值范围． 若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是________．
[错解]　函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3.
[错因分析]　错解中把单调区间误认为是在区间上单调．
[解析]　因为函数f(x)的单调递减区间为(－∞，4]，且函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.易错点　对单调区间和在区间上单调两个概念理解错误●误区警示 若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
[错解]　函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，因此1－a＝4，即a＝－3.
[错因分析]　错解中把在区间上单调误认为是单调区间．
[正解]　因为函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a≥4，即a≤－3.[规律总结]　单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义．(2015·安阳一中月考试题)已知函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈(－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)等于(　　)
A．－3　　　　　 B．13
C．7 D．由m决定的常数
[答案]　B1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是(　　)
A．[0,1] B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1] D．[－3,4]
[答案]　C
[解析]　结合图象分析可知，函数图象在区间[－3,1]是上升的，故其增区间是[－3,1]．3．已知函数f(x)＝8＋2x－x2，那么下列结论正确的是(　　)
A．f(x)在(－∞，1]上是减函数
B．f(x)在(－∞，1]上是增函数
C．f(x)在[－1，＋∞)上是减函数
D．f(x)在[－1，＋∞)上是增函数
[答案]　B
[解析]　由二次函数f(x)＝8＋2x－x2＝－(x－1)2＋9的图象知B对，故选B.5．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
[答案]　m≤－16第一章　1.3　1.3.1　第二课时
基础巩固
一、选择题
1．函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如下图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)
A．－2，f(2) B．2，f(2)
C．－2，f(5) D．2，f(5)
[答案]　C
[解析]　由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)，故选C.
2．函数f(x)＝的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　f(x)＝≤.
3．函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为(　　)
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
[答案]　A
[解析]　∵x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，
f(x)min＝2×1＋6＝8；x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，
∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.
4．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为(　　)
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
[答案]　C
[解析]　由题意知a≠0，当a＞0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a＜0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.
5．函数y＝x＋的最值的情况为(　　)
A．最小值为，无最大值
B．最大值为，无最小值
C．最小值为，最大值为2
D．无最大值，也无最小值
[答案]　A
[解析]　∵y＝x＋在定义域[，＋∞)上是增函数，∴函数最小值为，无最大值，故选A.
6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
[答案]　C
[解析]　f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，
∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，
∴f(x)在[0,1]上单调递增．
又∵f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
二、填空题
7．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为________．
[答案]　3
[解析]　f(x)＝图象为
故最小值为3.
8．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
[答案]　1＜a≤3
[解析]　画f(x)＝x2－6x＋8的图象，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1＜a≤3.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x＋＋2，其中x∈[1，＋∞)．(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．
[解析]　(1)函数f(x)＝x＋＋2，
设1≤x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(－)＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2)，
∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，
∴2x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0.
即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
(2)从而当x＝1时，f(x)有最小值.
10．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[－1，]的最大值．
[解析]　f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．
(1)f(x)在(－∞，－]和[0，＋∞)上是增函数，在[－，0]上是减函数，
因此f(x)的单调区间为(－∞，－]，[－，0]，[0，＋∞)．
(2)∵f(－)＝，f()＝，∴f(x)在区间[－1，]的最大值为.
能力提升
一、选择题
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是(　　)
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
[答案]　A
[解析]　y＝＋2在[1,4]上为减函数，当x＝1时y最大值为3，故选A.
2．(2015·石家庄高一检测)若函数y＝2axb 在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0
[答案]　C
[解析]　当a>0时，最大值为4a－b，最小值为2a－b，差为2a，∴a＝1；当a≤0时，最大值为2a－b，最大值为4a－b，差为－2a，∴a＝－1.
3．若0A．－2 B.
C．2 D．0
[答案]　B
[解析]　y＝－t在(0，]上为减函数，当t＝时y有最小值，故选B.
4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
[答案]　D
[解析]　f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，
∴1≤m≤2，故选D.
二、填空题
5．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a，b，总有＞0成立，且f(－3)＝2，f(－1)＝4，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是________．
[答案]　4[解析]　由题意可知函数f(x)在R上为增函数，则其在[－3，－1]上最大值应为f(－1)＝4.
6．对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax＝－1叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2－4a＋6的下确界为________．
[答案]　2
[解析]　a2－4a＋6＝(a－2)2＋2≥2，则a2－4a＋6的下确界为2.
三、解答题
7．(2015·湖北孝感期中)设f(x)是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f(1－x)＝x2－3x＋3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－5x＋1在[m，m＋1]上的最小值为－2，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)令1－x＝t，
得f(t)＝(1－t)2－3(1－t)＋3，
化简得f(t)＝t2＋t＋1，
即f(x)＝x2＋x＋1，x∈R.
(2)由(1)知g(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2(m≤x≤m＋1)，
∵g(x)min＝－2，
∴m≤2≤m＋1，∴1≤m≤2.
8．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.
(1)求f(1)的值；
(2)判定f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
[解析]　(1)令x1＝x2，则f(1)＝f()＝f(x1)－f(x2)＝0.
(2)任取x1，x2满足0＜x1＜x2，则＞1，∴f()＜0.
∵f()＝f(x2)－f(x1)，
∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(3)∵f(3)＝f()＝f(9)－f(3)，∴f(9)＝2f(3)＝－2.
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)在[2,9]上是减函数．
∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)＝－2.
课件51张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.3　函数的基本性质第一章1.3.1　单调性与最大(小)值第二课时　函数的最值1．判断正误：
(1)若函数f(x)在区间(a，b)和(c，d)上均为减函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(c，d)上也是减函数．
(2)若函数f(x)和g(x)在各自的定义域上均为减函数，则f(x)＋g(x)在它们定义域的交集(非空)上是减函数．
[答案]　(1)×　(2)√●知识衔接2．填空：
(1)函数y＝|x|的单调增区间为___________．
(2)函数y＝ax＋b(a≠0)的单调区间为___________ ；函数y＝(a2－1)x不是单调函数，则a＝____.
(3)函数y＝－x2＋bx＋c在(－∞，2]上为增函数，则b的取值范围是___________．
3．从函数f(x)＝x2的图象上还可看出，当x＝0时，y＝0是所有函数值中___________．而对于f(x)＝－x2来说，x＝0时，y＝0是所有函数值中___________．[0，＋∞) (－∞，＋∞)±1[4，＋∞)最小值最大值1．最大值和最小值●自主预习≤≥f(x0)＝M高低[知识拓展]　(1)定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．2．最值最大值最小值最高点最低点1．在函数y＝f(x)的定义域中存在无数个实数满足f(x)≥M，则(　　)
A．函数y＝f(x)的最小值为M
B．函数y＝f(x)的最大值为M
C．函数y＝f(x)无最小值
D．不能确定M是函数y＝f(x)的最小值
[答案]　D
2．函数y＝2x－1在[－2,3]上的最小值为________，最大值为________．
[答案]　－5　5●预习自测4．函数y＝x2－2x－3在[－2,0]上的最小值为________，最大值为________；在[2,3]上的最小值为________，最大值为________；在[－1,2]上的最小值为________，最大值为________．
[答案]　－3　5　－3　0　－4　0探究1.利用图象法求函数的最值时，应写最高(低)点的纵坐标，还是横坐标？
探究2.如何将函数f(x)＝|x＋1|＋|2－x|的绝对值去掉？利用图象求函数的最值●互动探究[规律总结]　利用图象法求函数最值的方法
(1)利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对图象易作出的函数求最值较常用．
(2)图象法求最值的一般步骤是：(1)如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．
(2)作出函数y＝|x－2|(x＋1)的图象，说明函数的单调性，并判断是否存在最大值和最小值．[分析]　利用图象法求函数最值，要注意函数的定义域．函数的最大值、最小值分别是图象的最高点和最低点的纵坐标．
[解析]　(1)观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值即ymax＝3；当x＝－1.5时取得最小值即ymin＝－2.探究1.判断f(x)的单调性的一般步骤是什么？
探究2.如果f(x)是单调函数，那么f(x)在[a，b]上的最值在哪里取得？利用函数的单调性求最值[规律总结]　1.利用函数单调性求最值的一般步骤：
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值．
2．利用单调性求最值的三个常用结论
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．
(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．
(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．【互动探究】　本例中，若所给区间是[1,4]，则函数最值又是什么？
[解析]　按例题的证明方法，易证f(x)在区间[2,4]上是增函数，又函数在[1,2]上是减函数，所以函数f(x)的最小值是4.又f(1)＝f(4)＝5，所以函数的最大值是5. 某季节性商品当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设该商品开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平衡销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该商品已不再销售．
(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式；
(2)若此商品每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N*，试问该商品第几周每件销售利润最大？最大值是多少？(注：每件销售利润＝售价－进价)实际应用中的函数最值问题探究1.P与t间的关系用什么形式的函数来表示？
探究2.分段函数的最值如何求？(2)设每件销售利润为L，且L＝P－Q.
分三种情况计算销售利润的最大值：
当t∈[0,5]时，L＝10＋2t＋0125(t－8)2－12，t＝5时，Lmax＝9.125(元)；
当t∈(5,10]时，L＝20＋0.125(t－8)2－12，t＝6或10时，
Lmax＝8.5(元)；
当t∈(10,16]时，L＝40－2t＋0.125(t－8)2－12，t＝11时，
Lmax＝7.125(元)．
所以第五周每件销售利润最大，最大值为9.125元．[规律总结]　(1)解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题．要注意自变量的取值范围．
(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数的最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每张减少10元，直至每张降为450元为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．假设一个旅行团不能超过70人．
(1)写出每张飞机票的价格关于人数的函数关系式；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．
[分析]　此题为二次函数中区间固定对称轴移动的问题，此类问题应注意对称轴的变化对最值的影响．二次函数含参数的最值问题●探索延拓求二次函数f(x)＝x2－2x＋2在[t，t＋1]上的最小值．易错点　忽视端点值致误●误区警示[错因分析]　上述解法只考虑了分段函数在每一段的单调性，而忽视了接点处两段函数值的大小关系，从而导致答案错误．[点评]　在处理分段函数单调性时，易错在当每一段函数为单调递增时，误以为整个函数也是单调递增，还需要看分界点处函数值的大小关系．2．函数y＝－3x2＋2在区间[－1,2]上的最大值为(　　)
A．－1 B．2
C．0 D．4
[答案]　B
[解析]　y＝－3x2＋2的图象开口向下，对称轴为x＝0，因此在[－1,0]上递增在[0,2]上递减，在x＝0处取得最大值2，故选B.3．已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为________．
[答案]　[－4,3][答案]　2　15．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使函数f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
[解析]　(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]．所以当x＝1时，f(x)取最小值1；当x＝－5时，f(x)取最大值37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为x＝－a.
因为f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，
所以－a≤－5或－a≥5.
所以a的取值范围a≥5或a≤－5.第一章　1.3　1.3.2　第一课时
基础巩固
一、选择题
1．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有(　　)
A．f(x)－f(－x)＞0 B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)＞0
[答案]　C
[解析]　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2.
又f(0)＝0，∴－[f(x)]2≤0，故选C.
2．下列函数是偶函数的是(　　)
A．y＝2x2－3 B．y＝x3
C．y＝x2，x∈[0,1] D．y＝x
[答案]　A
[解析]　对A项：f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，B、D项都为奇函数，C项中定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故选A.
3．下列说法正确的是(　　)
A．偶函数的图象一定与y轴相交
B．奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0
C．奇函数y＝f(x)的图象一定过原点
D．图象过原点的奇函数必是单调函数
[答案]　B
[解析]　A项中若定义域不含0，则图象与y轴不相交，C项中定义域不含0，则图象不过原点，D项中奇函数不一定单调，故选B.
4．函数f(x)＝－x的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
[答案]　C
[解析]　∵f(x)＝－x(x≠0)，
∴f(－x)＝－＋x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－x的图象关于原点对称，故选C.
5．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　)
A. B.
C. D．1
[答案]　A
[解析]　方法一：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴＝－，
即(2x－1)(x＋a)＝(2x＋1)(x－a)恒成立，
整理得(2a－1)x＝0，
∴必须有2a－1＝0，∴a＝，故选A.
方法二：由于函数f(x)是奇函数，
所以必有f(－1)＝－f(1)，即＝－，
即1＋a＝3(1－a)，解得a＝，故选A.
6．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx(　　)
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既非奇函数又非偶函数
[答案]　A
[解析]　∵f(－x)＝f(x)，
∴a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c对x∈R恒成立．
∴b＝0.
∴g(x)＝ax3＋cx.
∴g(－x)＝－g(x)．
二、填空题
7．(2015·广东深圳期末)设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是________．
[答案]　4
[解析]　∵f(x)是奇函数，∴g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝4.
8．定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝，则常数m、n的值分别为________．
[答案]　0、0
[解析]　由题意知f(0)＝0，故得m＝0.由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，即＝－，
∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0.
三、解答题
9．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
[解析]　f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2
又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：
f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
10．已知f(x)是定义在R上的函数，对任意的x，y∈R都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.
(1)求证：f(0)＝1.
(2)判断函数的奇偶性．
[解析]　(1)令x＝y＝0,2f(0)＝2f(0)2，
因f(0)≠0，则f(0)＝1.
(2)令x＝0，有f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)，则f(－y)＝f(y)，
∴f(x)是偶函数．
能力提升
一、选择题
1．设f(x)是定义在R上的任意函数，则下列叙述正确的是(　　)
A．f(x)f(－x)是奇函数
B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数
D．f(x)＋f(－x)是偶函数
[答案]　D
[解析]　由函数奇、偶性的定义知D项正确．
2．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案]　C
[解析]　∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)，∴2(1－a)＝0，∴a＝1，故选C.
3．(2015·河北衡水中学期中)已知f(x)＝x5－2ax3＋3bx＋2，且f(－2)＝－3，则f(2)＝(　　)
A．3 B．5
C．7 D．－1
[答案]　C
[解析]　令g(x)＝x5－2ax3＋3bx，则g(x)为奇函数，∴f(x)＝g(x)＋2，f(－2)＝g(－2)＋2＝－g(2)＋2＝3，∴g(2)＝5，f(2)＝g(2)＋2＝7.
4．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是(　　)
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)＋1为奇函数
D．f(x)＋1为偶函数
[答案]　C
[解析]　令x1＝x2＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，
∴f(0)＝－1.
令x1＝x，x2＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＋1，
∴f(－x)＋1＝－f(x)－1，∴f(x)＋1为奇函数．
二、填空题
5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x中奇函数为________(填序号)．
[答案]　②④
[解析]　∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴①为偶函数；
∵f(－x)＝－f(x)，令g(x)＝－f(x)，则g(－x)＝－f(－x)＝f(x)＝－g(x)，∴②为奇函数；令F(x)＝xf(x)，则F(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝F(x)，故③是偶函数；令h(x)＝f(x)＋x，则h(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－h(x)，故④是奇函数．
6．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
[答案]　0
[解析]　∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称．若y轴右侧的两根为x1，x2，则y轴左侧的两根为－x1，－x2，∴四根和为0.
三、解答题
7．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．
[分析]　利用奇函数的性质：若在原点有定义，则f(0)＝0，以及已知条件f()＝，求得a、b的值，从而确定解析式．
[解析]　(1)根据题意得即
解得∴f(x)＝.
(2)证明：任取x1，x2∈(－1,1)，且令x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴x1－x2＜0,1＋x＞0,1＋x＞0,1－x1x2＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
[点拨]　(1)函数的奇偶性、单调性是函数的两个重要性质，在解答问题时，要善于应用函数的观点，挖掘函数的奇偶性和单调性，并注意两者的联系．
(2)函数的单调性、奇偶性常与其他性质结合在一起进行命题，此类考查形式是常考点，应引起足够的重视．
8．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)．
(1)求f(0)，f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性，并证明仍然的结论．
[解析]　(1)令a＝b＝0，则f(0×0)＝0×f(0)＋0×f(0)＝0，
∴f(0)＝0.
令a＝b＝1，则f(1×1)＝f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)是奇函数．
证明：∵f(1)＝f[(－1)2]＝－f(－1)－f(－1)＝0，
∴f(－1)＝0.
令a＝－1，b＝x，
则f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)．
故f(x)为奇函数．
课件51张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.3　函数的基本性质第一章1.3.2　奇偶性第一课时　函数的奇偶性1．轴对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一条________的对称点仍是这个图形上的点，就称该图形关于该直线成轴对称图形，这条直线称作该轴对称图形的________．
2．中心对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一________的对称点仍是这个图形上的点，就称该图形关于该点成中心对称图形，这个点称作该中心对称图形的________．
3．点P(a、b)关于y轴的对称点为P′________，关于原点的对称点P″________．●知识衔接直线对称轴点对称中心(－a，b)(－a，－b)＝＝1．偶函数和奇函数●自主预习任意f(x)－f(x)y轴原点2．奇偶性奇偶性[归纳总结]　基本初等函数的奇偶性如下：1．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a＞－1)是奇函数，则a等于(　　)
A．－1 　 B．0
C．1 D．无法确定
[答案]　C●预习自测2．下列条件，可以说明函数y＝f(x)是偶函数的是(　　)
A．在定义域内存在x使得f(－x)＝f(x)
B．在定义域内存在x使得f(－x)＝－f(x)
C．对定义域内任意x，都有f(－x)＝－f(x)
D．对定义域内任意x，都有f(－x)＝f(x)
[答案]　D3．函数y＝x是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
[答案]　A
4．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝________.
[答案]　0函数奇偶性的判断●互动探究探究1.函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？
探究2.判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？
[领悟整合]　分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判断函数的奇偶性，否则该分段函数既不是奇函数又不是偶函数．[规律总结]　函数奇偶性判断的方法
(1)定义法：
(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择填空题中．[分析]　根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条件．(3)显然函数f(x)的定义域关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(4)由于f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，
∴f(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．(5)函数y＝2x＋1的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝－2x＋1，－f(x)＝－2x－1，
∴f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，
∴y＝2x＋1既不是奇函数，又不是偶函数．
(6)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性． 已知偶函数f(x)(图(1))和奇函数g(x)(图(2))在y轴右边的一部分图象，试根据偶函数和奇函数的性质，分别作出它们在y轴左边的图象．奇(偶)函数图象的对称性探究1.奇、偶函数的图象有什么对称性？
探究2.画对称图象时关键点是哪些点？
[解析]　(1)根据偶函数图象关于y轴对称的性质，画出函数在y轴左边的图象，如图(1)．
(2)根据奇函数的图象关于原点对称的性质，画出函数在y轴左边的图象，如图(2)．(1)如图①是奇函数y＝f(x)的部分图象，则f(－4)·f(－2)＝________.
(2)如图②是偶函数y＝f(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小的结果为________．
[答案]　(1)2　(2)f(3)>f(1)[解析]　(1)∵奇函数的图象关于原点对称，且奇函数f(x)图象过点(2,1)和(4,2)，
∴必过点(－2，－1)和(－4，－2)，
∴f(－4)·f(－2)＝(－2)×(－1)＝2.
(2)∵偶函数f(x)满足f(－3)>f(－1)，
∴f(3)>f(1)．
[点评]　(1)可由奇函数的性质，先去掉函数记号“f”内的负号，f(－4)·f(－2)＝－f(4)·[－f(2)]＝f(4)·f(2)＝2×1＝2. 已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．
探究1.如何把(－∞，0)上的未知解析式转移到(0，＋∞)上的已知解析式？
探究2.奇函数f(x)在x＝0处的函数值是多少？
[分析]　由函数图象关于原点对称可知y＝f(x)是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式．利用函数的奇偶性求解析式先画出函数在y轴右边的图象，再根据对称性画出y轴左边的图象．如下图．
由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]、[1，＋∞)，单调递减区间是[－1,0)、(0,1]．[规律总结]　利用函数奇偶性求函数解析式
利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
[答案]　－x＋1
[解析]　x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1. 已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于(　　)
A．－26 B．－18
C．－10 D．10
探究1.无法直接求出a，b如何求f(2)?
探究2.如何考察函数的结构特征？
探究3.如何借助函数的奇偶性求f(2)．利用函数奇偶性求值或参数●探索延拓(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
(2)设函数f(x)是奇函数，若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝________.
(3)若f(x)＝(m－2)x2－3mx＋1为偶函数，则它的单调递增区间是________．(2)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)，所以－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3.
即2(f(1)＋f(2))＝－6，f(1)＋f(2)＝－3.
(3)因为f(x)＝(m－2)x2－3mx＋1为偶函数，所以－3m＝0，解得m＝0，所以f(x)＝－2x2＋1，它的单调递增区间是(－∞，0]．易错点　忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误●误区警示[错因分析]　要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)．有时还需要在定义域制约条件下将f(x)进行变形，以利于判定其奇偶性．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b是定义在区间[－2b,3b－1]上的偶函数，求函数f(x)的值域．
[错解]　∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即a＝0.
∴f(x)＝x2＋b，从而得到函数的值域为[b,4b2＋b]或[b，(3b－1)2＋b]．
[错因分析]　错解忽略了函数的定义域关于原点对称这一条件，即－2b＋3b－1＝0. [正解]　∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即a＝0.
又定义域为[－2b,3b－1]，∴－2b＋3b－1＝0，∴b＝1，
∴f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，
∴函数f(x)的值域为[1,5]．1．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，下列式子一定成立的是(　　)
A．f(x)－f(－x)＝0 B．f(x)＋f(－x)＝0
C．f(x)f(－x)＝0 D．f(0)≠0
[答案]　B2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　)
[答案]　B4．若函数y＝f(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是(　　)
A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(－a))
C．(－a，f(a)) D．(－a，－f(a))
[答案]　D
[解析]　∵－f(a)＝f(－a)，∴点(－a，－f(a))在y＝f(x)的图象上，故选D.5．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
[解析]　(1)因为f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．
(2)观察图象，知f(3)＜f(1)．第一章　1.3　1.3.2　第二课时
基础巩固
一、选择题
1．(2014·全国高考卷Ⅰ)设函数f(x)、g(x)定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)·g(x)|是奇函数
[答案]　C
[解析]　设h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，故A错，同理可知B、D错，C正确．
2．下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是(　　)
A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝x2－
C．f(x)＝ D．f(x)＝x3
[答案]　D
[解析]　∵对于A，f(－x)＝(－x)＋＝－(x＋)＝－f(x)；对于D，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
∴A、D选项都是奇函数．易知f(x)＝x3在(0,1)上递增．
3．若f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则下列各式成立的是(　　)
A．f(－2)＞f(0)＞f(1)
B．f(－2)＞f(1)＞f(0)
C．f(1)＞f(0)＞f(－2)
D．f(0)＞f(－2)＞f(1)
[答案]　B
[解析]　因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)．又因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＜f(1)＜f(2)，即f(－2)＞f(1)＞f(0)．故选B.
4．已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为(　　)
A．－5 B．－1
C．－3 D．5
[答案]　B
[解析]　解法一：令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，
则F(x)为奇函数．
∵x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5，
∴x∈(0，＋∞)时，F(x)＝h(x)－2≤3.
又x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴F(－x)≤3?－F(x)≤3
?F(x)≥－3.
∴h(x)≥－3＋2＝－1，选B.
5．函数y＝f(x)对于任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x＞0时，f(x)＞1，且f(3)＝4，则(　　)
A．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3
B．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3
C．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2
D．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝2
[答案]　D
[解析]　设任意x1，x2∈R，x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1.
∵x2－x1＞0，又已知当x＞0时，f(x)＞1，
∴f(x2－x1)＞1.
∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在R上是增函数．
∵f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)－1＝f(1)＋[f(1)＋f(1)－1]－1＝3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2.
6．(2015·胶州三中高一模块测试)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞)　 B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
[答案]　D
[解析]　奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，＝<0.
由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)．
二、填空题
7．(2015·上海大学附中高一期末考试)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
[答案]　－1
[解析]　f(x)＝(x＋1)(x＋a)为奇函数
?g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，
故g(－1)＝g(1)，∴a＝－1.
8．偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，若x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，则f(x1)与f(x2)的大小关系是______．
[答案]　f(x1)>f(x2)
[解析]　∵x1<0，∴－x1>0，
又|x1|>|x2|，x2>0，∴－x1>x2>0，
∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)>f(x2)，
又∵f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2)．
此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．
[分析]　(1)题需分情况讨论．(2)题用定义证明即可．
[解析]　(1)当a＝0时，f(x)＝x2，
对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)设2≤x1∵x1－x2<0，x1x2>4，
∴只需使a又∵x1＋x2>4，
∴x1x2(x1＋x2)>16，
故a的取值范围是(－∞，16]．
10．已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，当x>1时，f(x)>0，且f(x·y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(1)；
(2)证明f(x)在定义域上是增函数；
(3)如果f()＝－1，求满足不等式f(x)－f(x－2)≥2的x的取值范围．
[分析]　(1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f(x·y)＝f(x)＋f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为f [g(x)]≥f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解．
[解析]　(1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.
(2)证明：令y＝，得f(1)＝f(x)＋f()＝0，故f()＝－f(x)．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f()＝f()．
由于>1，故f()>0，从而f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由于f()＝－1，而f()＝－f(3)，故f(3)＝1.
在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得
f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.
故所给不等式可化为f(x)－f(x－2)≥f(9)，
∴f(x)≥f[9(x－2)]，∴x≤，
又，∴2∴x的取值范围是(2，]．
[规律总结]　本题中的函数是抽象函数，涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解．在本题的求解中，一个典型的方法技巧是根据所给式子f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当的赋值或配凑．这时该式及由该式推出的f()＝－f(x)实际上已处于公式的地位，在求解中必须依此为依据．
能力提升
一、选择题
1．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋b，则f(－1)等于(　　)
A．0 B．2
C．－2 D．1
[答案]　C
[解析]　∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，即b＝0，∴当x≥0时，f(x)＝2x，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2，故选C.
2．已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[3a－2,2a＋]上的偶函数，则5a＋3b＝(　　)
A. B.
C．0 D．－
[答案]　A
[解析]　∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)即ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0，又f(x)定义域为[3a－2,2a＋]，∴3a－2＋2a＋＝0，∴a＝.故5a＋3b＝.
3．已知函数f(x)是定义在(－6,6)上的偶函数，f(x)在[0,6)上是单调函数，且f(－2)＜f(1)，则下列不等式成立的是(　　)
A．f(－1)＜f(1)＜f(3)
B．f(2)＜f(3)＜f(－4)
C．f(－2)＜f(0)＜f(1)
D．f(5)＜f(－3)＜f(－1)
[答案]　D
[解析]　∵f(－2)＝f(2)＜f(1)，∴f(x)在[0,6]上为减函数，在[－6,0]上为增函数，f(－5)＝f(5)，
∴f(－5)＜f(－3)＜f(－1)，故选D.
4．(2015·哈师大附中期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
[答案]　B
[解析]　∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，又f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(6)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0.
二、填空题
5．已知偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则f(x)≥0的x的取值范围是________．
[答案]　[－2,2]∪{－5,5}
[解析]　∵f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，
∴由f(x)在[0,5]上的图象
作出f(x)在[－5,0]上的图象，从而得到f(x)在[－5,5]上的图象(如图)．
根据图象可知：使f(x)≥0的x的取值范围为[－2,2]∪{－5,5}．
6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，若f(1－a)＋f(－2a)＜0，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(，＋∞)
[解析]　∵y＝f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)为增函数，∴f(x)在R上为增函数．
又f(1－a)＋f(－2a)＜0，
∴f(1－a)＜－f(－2a)＝f(2a－)．
∴1－a＜2a－，即a＞.
∴实数a的取值范围为(，＋∞)．
三、解答题
7．(2015·山东日照期末)已知函数f(x)＝1－.
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
[解析]　(1)由已知得g(x)＝1－a－，
∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，即1－a－＝－(1－a－)，解得a＝1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝1－－(1－)＝.
∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0，从而＜0，即f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．
8．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0.
(1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)∵a＞b，∴a－b＞0，
由题意得＞0，
∴f(a)＋f(－b)＞0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，
∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
∴1＋m≥2m－3，∴m≤4.
∴实数m的取值范围为(－∞，4]．
课件39张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.3　函数的基本性质第一章1.3.2　奇偶性第二课时　习题课网络构建(1)判断函数单调性的步骤：
①任取x1，x2∈R，且x1②作差：f(x1)－f(x2)；
③变形(通分、配方、因式分解)；
④判断差的符号，下结论．
(2)求函数单调性要先确定函数的定义域．
(3)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数．
(4)复合函数y＝f(g(x))的单调性遵循“同增异减”的原则．规律小结(5)奇函数的性质：
①图象关于原点对称；
②在关于原点对称的区间上单调性相同；
③若在x＝0处有定义，则有f(0)＝0.
(6)偶函数的性质：
①图象关于y轴对称；
②在关于原点对称的区间上单调性相反；
③f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
(7)若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则在区间[－b，－a]上有最小值－M；若偶函数f(x)在[a，b]上有最大值m，则在区间[－b，－a]上也有最大值m.探究1.如果分段函数为定义域上的减函数，那么在每个分段区间内的单调性是怎样的？
探究2.要保证分段函数在整个定义域内单调递减，需要满足什么条件？函数单调性的应用[解析]　由x≥1时，f(x)＝－x2＋2ax－2a是减函数，得a≤1；由x＜1时，函数f(x)＝ax＋1是减函数，得a＜0.
分段点x＝1处的值应满足－12＋2a×1－2a≤1×a＋1，
解得a≥－2.所以－2≤a＜0.
[答案]　B
[规律总结]　在应用分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时，不仅要保证分段函数的每一段上的函数是单调的，而且还要求函数的特殊点——分段点处的值，也要结合函数的单调性比较大小，如本例中的分段点x＝1，即需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．[分析]　利用偶函数的对称性，先求a＞0时，a值再求a＜0时a值．奇偶性的应用(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
[答案]　0
[分析]　逆用偶函数的定义求a.
[解析]　显然x∈R，由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|，又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，
即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|，即|x＋a|＝|x－a|，
又x∈R，所以a＝0. 已知b＞a＞0，偶函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上是增函数，问函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数还是减函数？
探究1.若本例中的偶函数改为奇函数单调性如何？你会证明吗？
[分析]　由函数的奇偶性进行转化．奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上的单调性 [解析]　设a≤x1＜x2≤b，则－b≤－x2＜－x1≤－a.∵f(x)在[－b，－a]上是增函数．∴f(－x2)＜f(－x1)
又f(x)是偶函数，∴f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)
于是　f(x2)＜f(x1)，故f(x)在[a，b]上是减函数．
[点评]　由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的．[规律总结]　函数的单调性与奇偶性的关系
(1)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致；若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反．
(2)奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数；偶函数在对称区间上的最值相等．(1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f(－5)与f(3)的大小．
(2)如果奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f(x)在[－6，－1]上是增函数还是减函数？求f(x)在[－6，－1]上的最大值和最小值．[解析]　(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－5)＝f(5)，
∵f(x)在[2,6]上是减函数，
∴f(5)(2)设－6≤x1∵f(x)在[1,6]上是增函数且最大值为10，最小值为4，∴4＝f(1)≤f(－x2)又∵f(x)为奇函数，∴4≤－f(x2)<－f(x1)≤10，
∴－10≤f(x1)即f(x)在[－6，－1]上是增函数，且最小值为－10，最大值为－4. (2015·河南淇县一中月考试题)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，2)
B．(－2,2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)函数性质的综合应用 函数f(x)的定义域为R，且对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.
(1)证明f(x)是奇函数；
(2)证明f(x)在R上是减函数；
(3)求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．
[分析]　给出函数关系而未给出解析式，要证明函数的奇偶性与单调性，关键是紧紧扣住条件f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，对其中的x，y不断赋值．[解析]　(1)令y＝－x，得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＋f(－x)＝f(0)．
又∵f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．(2)任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]
＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]
＝－f(x2－x1)．
∵x10，
又∵当x>0时，f(x)<0，
∴f(x2－x1)<0，
∴－f(x2－x1)>0，即f(x1)>f(x2)，
从而f(x)在R上是减函数．(3)∵f(x)在R上是减函数．
∴f(x)在[－3,3]上的最大值是f(－3)，最小值是f(3)．
f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×(－2)＝－6，
∴f(－3)＝－f(3)＝6.
从而f(x)在区间[－3,3]上的最大值是6，最小值是－6.
[规律总结]　对抽象函数的奇偶性与单调性的证明，围绕证明奇偶性与单调性所需要的关系式，对所给的函数关系式赋值．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明；
(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
[解析]　(1)令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.1．如果偶函数在[－2，－1]上有最大值，那么该函数在[1,2]上(　　)
A．有最大值 B．有最小值
C．没有最大值 D．没有最小值
[答案]　A
[解析]　偶函数图象关于y轴对称，如果在[－2，－1]上有最大值，那么该函数在[1,2]上也有最大值．2．函数f(x)在区间(－4,7)上是增函数，则使得y＝f(x－3)为增函数的区间为(　　)
A．(－2,3) B．(－1,7)
C．(－1,10) D．(－10，－4)
[答案]　C
[解析]　y＝f(x－3)的图象可以由f(x)的图象向右平移8个单位得到，故其在(－1,10)上一定为增函数．4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，给出下列命题：
①f(0)＝0；
②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0)上有最大值1；
③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；
④若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.
其中正确结论的序号是：________.
[答案]　①②④
[解析]　根据奇函数的定义与性质一一验证即可．5．(2015·河南淇县一中月考试题)已知函数f(x)＝x2＋4x＋3.
(1)若g(x)＝f(x)＋bx为偶函数，求b；
(2)求函数f(x)在[－3,3]上的最大值．
[解析]　(1)g(x)＝f(x)＋bx＝x2＋(b＋4)x＋3，
g(－x)＝x2－(b＋4)x＋3，∵g(x)＝g(－x)，
∴b＋4＝0，∴b＝－4.
(2)f(x)＝x2＋4x＋3关于直线x＝－2对称，
因此f(x)在x＝－2取得最小值－1，在x＝3取得最大值24.