2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高三（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.双曲线的焦点到渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知贵州某果园中刺梨单果的质量单位：服从正态分布，且，若从该果园的刺梨中随机选取个单果，则质量在的单果的个数的期望为( )
A. B. C. D.
6.等比数列的前项和为，，则“”是“对，”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7.如图，正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数的定义域为，且满足，在处取极值，则下列说法中正确的是( )
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 在处取极小值 D. 的最大值为
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列为等差数列，为其前项和，已知，，则( )
A. B. C. D.
10.已知，是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
11.对数的发明是数学史上的重大事件我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值如下表，下列结论正确的是( )
真数
近似值
真数
近似值
A. 在区间内
B. 是位数
C. 若，则
D. 若是一个位正整数，则
12.如图，有一组圆都内切于点，圆：，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是( )
A. 圆的圆心都在直线上
B. 圆的方程为
C. 若圆与轴有交点，则
D. 设直线与圆在第二象限的交点为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数其中是虚数单位，则 ______．
14.中，，，则的面积为______．
15.在二项式的展开式中，的系数是______．
16.如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽，杯深，称为抛物线酒杯．在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为______单位：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且，．
求的值；
若的面积，求的值．
18.本小题分
已知为数列的前项和，且满足
求数列的通项公式；
记，求数列的前项和．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，，底面．
求证：平面平面；
若，，是的中点，求与平面所成角的正切值．
20.本小题分
如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为，，，其中号箱装有个黑球和个白球，号箱装有个黑球和个白球，号箱装有个黑球，这些球除颜色外完全相同小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件表示“球取自第号箱”，事件表示“取得黑球”．
求的值；
若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．
21.本小题分
设动圆与圆：外切，与圆：内切．
Ⅰ求点的轨迹的方程；
Ⅱ过点且不与轴垂直的直线交轨迹于，两点，点关于轴的对称点为，为的外心，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22.本小题分
已知函数．
证明：有唯一的极值点；
若，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：解，得：，
所以，
又因为，
所以．
故选：．
解不等式求出集合，根据集合的交集运算，即可得答案．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，则．
故选：．
直接利用诱导公式化简求解即可．
本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．
4.【答案】
【解析】解：由题得：其焦点坐标为渐近线方程为
所以焦点到其渐近线的距离．
故选：．
先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．
本题给出双曲线的方程，求它的焦点到渐近线的距离．着重考查了点到直线的距离公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为单位服从正态分布，且，
所以，
若从该果园的刺梨中随机选取个单果，则质量在的单果的个数，
所以．
故选：．
由正态分布对称性及已知得，又质量在的单果的个数，应用二项分布的期望公式求期望．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了二项分布的期望公式，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：等比数列的前项和为，，
当时，即公比，则数列为各项均为正数的递增数列，
则有，成立；
当时，则也是各项均为正数的等比数列，此时，
则“”是“对，”成立的充分不必要条件．
故选：．
根据，讨论即可得．
本题考查充分必要条件的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：以为空间的一组基底，
设，则，，
，，
所以
，
由勾股定理知，，，
所以，，
因为异面直线夹角的取值范围为，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
以为空间的一组基底，结合向量的线性运算和数量积的运算法则求出的值，由勾股定理计算和，再由向量的夹角公式，即可得解．
本题考查异面直线夹角的求法，熟练掌握向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：对于，，
，，
，，
在处取极值，，解得，
，
且，
不是奇函数也不是偶函数，故AB错误；
对于，由知，，
令，解得或，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值，故C正确；
对于，令，则，
，，
，故D错误．
故选：．
由已知可得，由此得到，根据求出的值，进而确定，的关系，根据奇函数和偶函数定义判断；根据的正负可确定单调性，由极小值定义判断；利用换元法，结合二次函数的性质求出最大值判断．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数的奇偶性和最值，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：由，可得：
，
解得，，故A正确，B错误，
，C正确，
，D错误．
故选：．
由可得，进一步解得，从而即可对选项进行逐一判断．
本题考查等差数列的通项公式与前项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A，若，，则或，选项A错误．
对于选项B，若，，则，又有，则，选项B正确．
对于选项C，若，，则，又有，则，选项C正确．
对于选项D，若，，则，
又有，由直线与平面平行的性质定理，可知存在使得，则，则选项D正确．
故选：．
结合直线与平面平行、垂直的判定定理与性质定理可以判断．
本题考查直线与平面平行、垂直的判定定理与性质定理等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，
，
，
在区间内，故A正确；
对于，，，
是位数，故B错误；
对于，，
，，，故C正确；
，
是一个位正整数，
，，
，
，故D正确．
故选：．
根据，分别求出各个选项中的常用对数的值，对照所给常用对数值判断．
本题考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：圆的圆心，直线的方程为，即，
由两圆内切连心线必过切点，得圆的圆心都在直线上，
即圆的圆心都在直线上，A正确；
显然，设点，
则，而，解得，，
因此圆的圆心，半径为，
圆的方程为，
则圆的方程为，B正确；
圆的圆心到轴距离为，若圆与轴有交点，
则，解得，而，因此，C错误；
在中，令，得点的纵坐标为，
因此，D正确．
故选：．
求出连心线所在直线方程判断；求出圆的方程判断；求出圆的圆心到轴的距离，结合直线与圆相交判断；求出点的纵坐标判断．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：依题意，所以．
故答案为：．
根据共轭复数、复数的模等知识求得正确答案．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：中，，，，则，
所以 ，
则三角形的面积，
故答案为：．
利用已知条件结合余弦定理，从而求出角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式，从而求出角的正弦值，进而利用三角形面积公式求出三角形的面积．
本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：的展开式的通项为
令得
故展开式中项的系数是
故答案为：
利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为求出展开式中项的系数．
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意酒杯、小球的轴截面是如图所示的抛物线、圆，
以为原点，如图建立平面直角坐标系，则，，
设抛物线的方程为，，
则，解得，
故抛物线的标准方程为；
再设圆的方程为，
联立解得，或，
要想满足题意，只需一根为，另一根也为零或负数即根为负数时不存在，
即，解得．
故答案为：
画出杯子、球的轴截面如图，问题即转化为抛物线与圆的位置关系问题，然后通过建立坐标系，求出抛物线、圆的方程，联立后得到关于的一元二次方程，该方程只有零根或负根即可，由此构造小球半径的不等式求解．
本题考查圆与抛物线的位置关系，以及方程思想在研究圆锥曲线问题时的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由已知，
得：，
，
，
，
由，
得，
，
，可得；
由及题设条件，
得，
，
由，
，
，
．
【解析】直接利用余弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．
利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用．三角形面积公式的应用．
18.【答案】解：由题意，当时，，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
即，
当时，也符合上式，
，．
由可得，
，
．
【解析】先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可得到数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19.【答案】解：证明：在三棱锥中，
底面，．
又，即，，
平面，
平面平面平面．
在平面内，过点作，连结，
平面平面，
平面，
是直线与平面所成的角．
在中，，，
为的中点，且，
又是的中点，在中，
平面，平面，，
在直角三角形中，．
【解析】证明，，推出平面，然后证明平面平面．
过点作，连结，说明是直线与平面所成的角，通过求解三角形得出结果即可．
本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
20.【答案】解：由已知得：，，
而，，．
由全概率公式可得：．
因“小明取出的球是黑球，该黑球来自号箱”可表示为：，
其概率为，
“小明取出的球是黑球，该黑球来自号箱”可表示为：，
其概率为，
“小明取出的球是黑球，该黑球来自号箱”可表示为：，
其概率为．
综上，最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自号箱的概率最大．
【解析】因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于号，号或者号箱，故事件属于全概率事件，分别计算出和，，，，代入全概率公式即得；
由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率，，，，根据条件概率公式分别计算再比较即得．
本题考查古典概型、全概率公式、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：Ⅰ设动圆半径为，由圆与圆外切得：，
又由圆与圆内切得：，故，
故点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，则，
点的轨迹的方程为：；
Ⅱ设：，，，
由
故，，的中点，
故AB的中垂线的方程为：，
因为的中垂线为轴，故AB的中垂线与轴的交点即为外心，
令得：，故，
又，
故定值．
【解析】Ⅰ利用椭圆的定义可得轨迹方程；Ⅱ直线与椭圆联立组成方程组，分别将，表示出来，即可求值．
本题考查椭圆的定义和方程，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
22.【答案】解：易知的定义域为，
且，
令，所以，所以在上单调递增，
又，取，且，
显然，因此存在唯一，使得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当时，取得极小值，无极大值，
所以有唯一极值点；
由知，，即，
依题意，，将代入整理得，
令，易知，
所以在上单调递减，又，则，解得，
因此，解得，
所以的取值范围是．
【解析】求出函数的导数，利用零点存在性定理及极值的意义推理即得；
利用中的极小值不小于，再探讨极小值点的取值范围即可求出的范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值情况，并根据不等式恒成立问题的解题思路求字母的范围，属于中档题．
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