小专题(三) 构造全等三角形的方法技巧
方法一：利用补形构造全等三角形
1.已知：如图，在△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，AE平分∠BAC，BE⊥AE，求证：BE=AD.
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方法二：利用“截长补短”法构造全等三角形
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系,并说明理由.(想一想,你会几种方法)
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3.如图,在△ABC中,∠A=6 ( http: / / www.21cnjy.com )0°,BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD，CE交于点O,试判断BE,CD,BC的数量关系,并加以证明.
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4.如图,AD∥BC,DC⊥AD,AE平分∠BAD,E是DC的中点.问：AD,BC,AB之间有何关系？并说明理由.
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5.(德州中考)问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分别是BC，CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.
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(1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由.
方法三：利用“倍长中线法”构造全等三角形
6.已知,△ABC中,AB=4 cm,BC=6 cm,BD是AC边上的中线,求BD的取值范围.
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7.已知：如图,AD,AE分别是△ABC和△ABD的中线,且BA=BD.求证：AE=AC.
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如图，AB=AE,AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC,点M为BC的中点，求证：DE=2AM.
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参考答案
1.图略，延长AC、BE交于点F，∵∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB=90°,BE⊥AE,∴∠CAD+∠CDA=90°,∠EDB+∠EBD=90°.∵∠CDA=∠EDB,∴∠CAD=∠EBD，即∠CAD=∠CBF.在△ADC和△BFC中，∠CAD=∠CBF,AC=BC,
∠ACD=∠BCF,∴△ADC≌△BFC.∴AD=BF.在△AEF和△AEB中，∠FAE=∠BAE,AE=AE,
∠AEF=∠AEB,∴△AEF≌△AEB.∴BE=EF,即BE=BF.∴BE=AD.
2.AB=AC+CD.理由如下：方法1：在AB上截取AE=AC,连接DE.易证△AED≌△ACD(SAS),∴ED=CD,∠AED=∠C.∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠C=∠AED=∠B+∠EDB.又∵∠C=2∠B,∴∠B=∠EDB.∴BE=DE.∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD.方法2：延长AC到点F,使CF=CD,连接DF.∵CF=CD,∴∠CDF=∠F.∵∠ACB=∠CDF+∠F，∴∠ACB=2∠F.又∵∠ACB=2∠B,∴∠B=∠F.∴△ABD≌△AFD(AAS).∴AB=AF.∴AB=AF=AC+CF=AC+CD.
3.证明：在BC上截取BF=BE,连接OF.∵BD平分∠ABC,∴∠EBO=∠FBO.∴△EBO≌△FBO.∴∠EOB=∠FOB.∵∠A=60°,BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-∠ABC-∠ACB=180°-(180°-∠A)=120°.∴∠EOB=∠DOC=60°.∴∠BOF=60°,∠FOC=∠DOC=60°.∵CE平分∠DCB,∴∠DCO=∠FCO.∴△DCO≌△FCO.∴CD=CF.∴BC=BF+CF=BE+CD.
4.AB=AD+BC.理由：作EF⊥AB于F,连接BE.∵AE平分∠BAD,DC⊥AD,EF⊥AB,∴EF=DE.∵DE=CE,∴EC=EF.∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL).∴BF=BC.同理可证：AF=AD.∴AD+BC=AF+BF=AB,即AB=AD+BC.
5.(1)EF=BE+DF(2)E ( http: / / www.21cnjy.com )F=BE+DF仍然成立.证明：图略，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG.在△ABE和△ADG中，DG=BE,∠B=∠ADG,
AB=AD,∴△ABE≌△ADG(SAS).∴AE=AG，∠BAE=∠DAG.∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF.∴∠EAF=∠GAF.在△AEF和△GAF中，AE=AG,∠EAF=∠GAF,
AF=AF,∴△AEF≌△GAF(S ( http: / / www.21cnjy.com )AS).∴EF=FG.∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF.
6.图略,延长BD至E,使DE=BD.连接CE.∵BD是AC边上的中线,∴AD=CD.∵∠BDA=∠CDE,∴△BDA≌△EDC(SAS).∴CE=AB.在△CBE中,BC-CE7.证明：延长AE至F,使EF=AE，连接DF.∵AE是△ABD的中线,∴BE=DE.∵∠AEB=∠FED,∴△ABE≌△FDE.∴∠B=∠BDF,AB=DF.∵BA=BD,∴∠BAD=∠BDA,BD=DF.∵∠ADF=∠BDA+∠BDF，∠ADC=∠BAD+∠B，∴∠ADF=∠ADC.∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.∴DF=CD.∴△ADF≌△ADC(SAS).∴AC=AF=2AE,即AE=AC.
8.延长AM至N，使MN=AM，连接BN，易证△AMC≌△NMB(SAS),∴AC=BN,∠C=∠NBM，∠ABN=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD.再证△ABN≌△EAD(SAS).∴DE=NA.又AM=MN，∴DE=2AM.小专题(二) 与多边形的内角有关的计算技巧
技巧一：利用转化思想求不规则图形的内角和
类型1：利用外角与内角的关系进行“聚角”
1.如图，在五角星ABCDE中，试说明：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
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2.如图，求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
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类型2：利用“8”字形转化角
3.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
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4.如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
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技巧二：利用外角和的不变性计算
5.某社区有一个五边形的小公园，如图所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，张老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图形中的∠1=95°.张老师沿公园边由A点经过B→C→D→E一直到F时，他在行走过程中共转过的度数是( )
A.265° B.275° C.360° D.445°
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6.如图，小亮从A点出发，沿直线前进 ( http: / / www.21cnjy.com )10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，小亮第一次回到出发点A时，他一共走了______米.
技巧三：利用方程或不等式解决多边形的问题
7.一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2 570°，求：
(1)这个多边形的边数；
(2)除去的那个内角的度数.
8.若一个多边形的内角和与一个外角的和是1 350°，求这个外角的度数.
参考答案
1.∵∠AGF是△GCE的外角，∴∠A ( http: / / www.21cnjy.com )GF=∠C+∠E.同理∠AFG=∠B+∠D.在△AFG中，∠A+∠AFG+∠AGF=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
2.在四边形BEFG中，∵∠EBG=∠C+∠D,∠BGF=∠A+∠ABC,∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°.
3.连接BE.由对顶角相等及三角形内角和为180°，可得∠C+∠D=∠CBE+∠DEB.又∵∠A+∠ABE+∠AEB=180°,∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠AED=180°.
4.连接BE.在△COD与△BOE中，∠D+∠C+∠COD=180°,∠OBE+∠OEB+∠BOE=180°,∴∠D+∠C=180°-∠COD,∠OBE+∠OEB=180°-∠BOE.∵∠COD=∠BOE,∴∠D+∠C=∠OBE+∠OEB.∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=∠A+∠ABC+∠OBE+∠OEB+∠DEF+∠F=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°.
5.B
6.120
7.(1)设这个多边形的边数为n，则其内角和为(n-2)·180°.依题意，得2 570°<(n-2)·180°<2 570°+180°,解这个不等式组，得8.设这个多边形的边数为n，这个外角的度数为x°，则180(n-2)+x=1 350.∵1 350=180×7+90，n为正整数， 0模型1：两个内角平分线的夹角
1.如图，在△ABC中，P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，若∠A=50°，则∠P=______.
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2.如图，已知△ABC的三条内角平分线交于点I，AI的延长线与BC交于D点，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小.
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模型2：一个内角平分线和一个外角平分线
3.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠A=50°，则∠D=______.
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4.如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是x，y轴上的两个动点，∠BAO的角平分线与∠ABO的外角平分线相交于点C，在A，B的运动过程中，∠C的度数是一个定值，这个定值为______.
5.(达州中考改编)如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠ A2 014BC和∠A2 014CD的平分线交于点A2 015，求∠A2 015的度数.
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模型3：两个外角平分线
6.如图，在△ABC中，P点是∠BCE和∠CBF的角平分线的交点，若∠A=60°，则∠P=______.
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7.一个三角形的三条外角平分线围成的三角形一定是______三角形.(填“锐角”“钝角”或“直角”)
模型4：“8”字形图案的两条角平分线的夹角
8.已知，如图1，线段AB，CD相交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )O，连接AD，CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于M，N，如图2.试解答下列问题：
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(1)在图1中，直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系;
(2)在图2中，∠D与∠B为任意角，试探究∠P与∠D，∠B之间是否存在一定的数量关系，若存在，写出它们之间的关系并证明；若不存在，说明理由.
模型5：角平分线与高线的夹角
9.已知：如图，在△ABC中，∠C=70°，∠B=30°，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为E，则∠DAE=______.
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10.如图1，在△ABC中，AE平分∠BAC(∠C>∠B)，F为AE上的一点，且FD⊥BC于点D.
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(1)试推导∠EFD与∠B，∠C之间的数量关系.
(2)如图2，当点F在AE的延长线上时，其余的条件都不变，判断在(1)中推导出的结论是否还成立？
参考答案
1.115° 2.∵AI、BI、CI为△ABC的三条内角平分线，∴∠BAD=∠BAC，∠ABI=∠ABC，∠HCI=∠ACB.∴∠BAD＋∠ABI+∠HCI=∠BAC+∠ABC+∠ACB＝(∠BAC+∠ABC+∠ACB)＝×180°＝90°.∴∠BAD＋∠ABI＝90°-∠HCI.又∵∠BAD＋∠ABI＝∠BID，90°-∠HCI＝∠CIH，∴∠BID＝∠CIH.∴∠BID和∠CIH是相等的关系.
3.25° 4.45° 5.∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…∴∠A2 015=∠A=. 6.60° 7.锐角 8.(1)∠A+∠D=∠B+∠C.(2)∠D+∠B=2∠P.由(1)得：∠D+∠1=∠P+∠3,∠B+∠4=∠P+∠2.∴∠D+∠1+∠B+∠4=∠P+∠3+∠P+∠2,又∵AP,CP是∠DAB和∠BCD的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠D+∠B=2∠P.
9.20° 10.(1)过点A作BC边上的高AG，则∠EAG=(∠C-∠B).∵FD⊥BC，∴FD∥AG.∴∠EFD=∠EAG=(∠C-∠B).(2)(1)中结论仍然成立，方法同(1).小专题(四) 数学思想方法在等腰三角形中的渗透
类型一：分类思想
1.(呼和浩特中考)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求等腰三角形的底角的度数.
2.已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，求△ABC底角的度数.
3.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长.
类型二：方程思想
4.如图所示,点D在AC上,点E在AB上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE,求∠A的度数.
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5.如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
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(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间.
类型三：面积法
6.如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，CO，求证：OC平分∠AOE.
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7.(1)如图1，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，则r1，r2与h之间的数量关系为.
(2)如图2，△ABC为等边三角形，P ( http: / / www.21cnjy.com )为三角形内部的任意一点，P点到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明：r1+r2+r3=h.
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参考答案
1.在三角形ABC中，设AB=AC，BD ( http: / / www.21cnjy.com )⊥AC于D.①若三角形是锐角三角形，如图1，顶角∠A=90°-36°=54°，则底角∠C=(180°-54°)÷2=63°；图略
②若三角形是钝角三角形，如图2，顶角∠BAC ( http: / / www.21cnjy.com )=36°+90°=126°，则底角∠C=(180°-126°)÷2=27°.综上所述，等腰三角形底角的度数是63°或27°.
2.如图1：AB=AC，∵AD⊥BC，∴BD=CD=BC，∠ADB=90°.∵AD=BC，∴AD=BD.∴∠B=45°，即此时△ABC底角的度数为45°；图略
如图2，AC=BC，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°.∵AD=BC，∴AD=AC，∴∠C=30°.∴∠CAB=75°，此时△ABC底角的度数为75°.综上，△ABC底角的度数为45°或75°.
3.在△ABC中，AB=AC，且AD=CD，设AB=x，BC=y.①当AB+AD=15，DC+BC=12时，有+x=15,
+y=12. 解得x=10,y=7;②当AB+AD=12，BC+CD=15时，有+x=12,+y=15. 解得x=8,
y=11;且这两种情况三角形的三边都符合三角形的三边关系，故得这个三角形的三边长为10，10，7或8，8，11.
4.设∠A=x°,∵AD=DE=BE,∴∠DEA=∠A=x°,∠EBD=∠EDB=x°.∴∠BDC=∠A+∠ABD=x°.∵AB=AC,BC=BD,∴∠BDC=∠C=∠ABC=x°.在△ABC中,x+x+x=180.解得x=45.即∠A=45°.
5.(1)设点M、N运动x秒后，M、 ( http: / / www.21cnjy.com )N两点重合，则x×1+12=2x.解得x=12.(2)图1设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12-2t.解得t=4.∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN.(3)图2当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由(1)知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图2，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM.∴∠AMN=∠ANM.∴∠AMC=∠ANB.∵AB=BC=AC，∴∠C=∠B.在△ACM和△ABN中，AC=AB,∠C=∠B,
∠AMC=∠ANB,∴△ACM≌△ABN.∴CM=BN.设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y-12，NB=36-2y，CM=NB.∴y-12=36-2y.解得y=16.故假设成立.∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒.
6.证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE.∴∠ACD=∠BCE.∴△ACD≌△BCE.∴AD=BE，S△ACD=S△BCE∴点C到AD，BE的距离相等.(全等三角形对应边上的高相等)∴OC平分∠AOE.
7.(1)r1+r2=h(2)证明：连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△ACP+S△BCP=S△ABC,即：BC·r1+AC·r2+AB·r3=BC·h.∵AB=AC=BC,∴r1+r2+r3=h(定值).
