6.1平面向量的概念 学案

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6.1平面向量的概念
班级 姓名
学习目标
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．
2．理解共线向量、相等向量的概念．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 1．向量与数量(1)向量：既有 又有 的量叫做向量．(2)数量：只有 没有 的量称为数量．2．向量的几何表示(1) 的线段叫做有向线段．它包含三个要素： 、 、 ．(2)向量可以用 来表示．向量的大小称为向量 的 (或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，.【即时训练1】给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．向量的有关概念零向量长度为 的向量，记作 单位向量长度等于 个单位长度的向量平行向量(共线向量)方向 的非零向量，向量a，b平行，记作 . 规定：零向量与任意向量平行相等向量长度 且方向 的向量，向量a与b相等，记作 注意：（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．（2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．（3）平行向量可以在同一条直线上，与平面几何中的直线平行不同．【即时训练2】下列说法中正确的有(　　)①单位向量的长度大于零向量的长度；②零向量与任一单位向量平行；③因为平行向量也叫作共线向量，所以平行向量所在的直线也一定共线；④因为相等向量的相等关系具有传递性，所以平行向量的平行关系也具有传递性；⑤因为相等向量一定是平行向量，所以平行向量也一定是相等向量．A．①②　　　　　B．①②④ C．①③⑤ D．①②③
例1、(1)(多选题)下列说法不正确的是(　　)A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行B．共线向量一定在同一直线上C．若|a|>|b|，则a>bD．单位向量的长度为1(2)(多选题)下列条件，能使a∥b成立的有(　　)A．a＝b B．|a|＝|b|C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0例2、(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①，使||＝4，点A在点O北偏东45°；②，使||＝4，点B在点A正东；③，使||＝6，点C在点B北偏东30°.例3、如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且＝a,＝b,＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
课后作业
一、基础训练题
1．(多选题)下列说法正确的选项为（ ）
A．零向量没有方向；
B．向量的模一定是正数；
C．与非零向量共线的单位向量不唯一
D．长度为0的向量都是零向量；
2．(多选题)下列说法不正确的是（ ）
A．向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上
B．向量 与平行，则与的方向相同或相反
C．向量与向量是平行向量
D．单位向量都相等
3．下面几个命题：①若a＝b，则|a|＝|b|；②若|a|＝0，则a＝0；③若|a|＝|b|，则a＝b；
④若向量a，b满足则a＝b. 其中正确命题的个数是(　　)
A．0 　B．1　　　　 C．2　　　　 D．3
4．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是(　　)
A．单位圆 B．一段弧 C．线段 D．直线
5．如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有(　　) ．
A．12个 B．18个
C．24个 D．36个
6．如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是(　　)
A．与 B．与
C．与 D．与
7．(多选题)四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系一定成立的是(　　)
A．||＝|| B．与共线
C．与共线 D．与共线
8．将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当与是平行向量，且||＝2||＝2时，||＝________.
9．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：
①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正确的是________(填序号)．
10．如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
(1)有两个向量的模相等，这两个向量是____________，
它们的模都等于_____________．
(2)存在着共线向量，这些共线的向量是____________，
它们的模的和等于___________．
11．已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．画图表示向量，，，并指出向量的模和方向．
二、综合训练题
12．(多选题)已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中正确的是 (　　)
A．C A B．A∩B＝{a}
C．C B D．(A∩B) {a}
13．(多选题)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是(　　)
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰好为的模的倍
D.与不共线
三、能力提升题
14．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有________个元素．
6.1平面向量的概念
参考答案
1、【答案】CD
【解析】零向量的方向是任意的，故A错；向量的模是非负数，故B错；
与非零向量共线的单位向量不唯一，分别是，故C正确.由定义知D正确
2、【答案】ABD
【解析】对于选项A,有向线段共线要求线段必须在同一直线上，而向量共线时，表示向量的有向线段可以在平行直线上，不一定在同一直线上，故A错误.
对于选项B,由于零向量与任一向量平行，因此，若，中有一个为零向量时，其方向是不确定的.故B错误.
对于选项C,由于向量与向量方向相反，所以二者是平行向量，故C正确.
对于选项D,单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同.故D错误.
3、【答案】B　
【解析】①正确．②错误．|a|＝0，则a＝0.③错误．a与b的方向不一定相同．④错误．a与b的方向有可能相反．
4、【答案】A　
【解析】平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．
5、【答案】C　
【解析】每个正方形的边长为1，则对角线长为，每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量，一共有12个正方形，故共有24个所求向量．
6、【答案】B　
【解析】向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量．
7、【答案】ABD　
【解析】∵三个四边形都是菱形，∴||＝||，AB∥CD∥FH，故与共线．又三点D，C，E共线，∴与共线，故A，B，D都正确．故选ABD．
8、【答案】3或1　
【解析】当与同向时，||＝||＋||＝3；当与反向时，||＝||－||＝1.]
9、【答案】③　
【解析】①错误，|a|＝时，|a|＜|b|；②错误，a与b的方向关系无法确定；③正确；④错误，|b|＝1.
10、【答案】(1)，　　(2)，　5
【解析】结合图形可知，(1)||＝||＝.
(2)与共线，||＝2，||＝3，故||＋||＝5.
11、[解]　以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．
据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量，，如图所示，
由已知可得，
△ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km.
又∠ACD＝45°，CD＝1 000 km，
所以△ADC为等腰直角三角形，
所以AD＝1 000 km，∠CAD＝45°.
故向量的模为1 000 km，方向为东南方向.
12、【答案】ACD　
【解析】因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，所以B中的关系错误．
13、【答案】ABC　
【解析】与相等的向量只有，A正确；由已知条件可得||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||，B正确；
如图，过点B作DA的垂线交DA的延长线于E，因为∠DAB＝120°，四边形ABCD为菱形，所以∠BDE＝∠ABE＝30°，在Rt△BED中，||＝，在Rt△AEB中，||＝||＝||，所以||＝＝||，C正确；
与方向相同，大小相等，故＝，与共线，D错误．
14．【答案】12　
【解析】根据题意知，由点O，A，B，C，D可以构成20个向量．但它们有12个向量各不相等，由元素的互异性知T中有12个元素．
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