第3课时 整式的除法
1.掌握同底数幂的除法运算法则及应用，了解零指数幂的意义.
2.单项式除以单项式的运算法则及其应用.
3.多项式除以单项式的运算法则及其应用.
阅读教材P102及103“例7”，独立完成下列问题：
知识准备
根据同底数幂的乘法法则计算：
(28)·28=216；(52)·54=56；
(113)·116=119；(a4)·a2=a6.
同底数幂的乘法法则公式am·an=am+n.
(1)填空：216÷28=28；56÷54=52；
119÷116=113；a6÷a2=a4.
(2)从上述运算中归纳出同底数幂的除法法则：
am÷an=am-n(a≠0，n、m为正整数，且m>n)，即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
(3)∵am÷am=1，而am÷am=a(m-m)=a(0)，∴a0=1(a≠0).
此次a的取值范围是什么，为什么？
自学反馈
(1)a6÷a=a5；
(2)(-1)0=1；
(3)(-ab)5÷(-ab)3=a2b2.
第(1)小题中的a的指数为1，第(3)小题要将-ab看作一个整体.
阅读教材P161-162“思考及例2”，独立完成下列问题：
(1)2a·4a2=8a3；3xy·2x2=6x3y；
3ax2·4ax3=12a2x5.
(2)8a3÷2a=4a2；6x3y÷3xy=2x2；
12a2x5÷3ax2=4ax3.
(3)从上述运算中归纳出单项式除以单项式法则：单项式相除，把相同字母与系数分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
主要根据乘除互为逆运算得出结果，再总结运算的规律(指数的运算).
自学反馈
计算：(1)-8x4y5÷4x2y3; (2)3x4y2÷4x4y;
(3)（-a3b4c）÷（-ab2）.
解：(1)-2x2y2；(2)y；(3)a2b2c.
首先确定符号，再运算；第(2)小题x0=1，系数与系数相除.
阅读教材P162-163“探究及例3”，独立完成下列问题：
(1)m·(a+b)=ma+mb；a·(a+b)=a2+ab；2xy·(3x2+y)=6x3y+2xy2.
(2) (am+bm)÷m=a+b；(a2+ab)÷a=a+b；(6x3y+2xy2)÷2xy=3x2+y.
(3)从上述运算中归纳出多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的和相加.
主要根据乘除互为逆运算得出结果，再总结运算的规律(将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式).
自学反馈
计算：(1)(18a3-15a2+3a)÷(-3a);
(2)(a4b7-a2b6)÷(-ab3)2.
解：(1)-6a2+5a-1；(2)6a2b-1.
注意运算顺序和符号.
活动1 学生独立完成
例1 计算：(1)(-x)8÷(-x)5;
(2)（-a2b3c）÷(3ab)2；
(3)(x-y)5÷(y-x)3.
解：(1)原式=(-x)8-5=(-x)3=-x3;
(2)原式=(-a2b3c)÷9a2b2=-bc；
(3)原式=-(y-x)5÷(y-x)3=-(y-x)2=-(y2-2xy+x2)=-x2+2xy-y2.
第(1)小题直接利用同底数的除法法则求解，第(2)小题先确定运算顺序(先乘方后乘除)，第(3)小题要用到整体思想，将(x-y)看作一个整体，先化成同底数幂再运算.
例2 一种被污染的液体每升含有2.4×10 ( http: / / www.21cnjy.com )13个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死4×1010个此种细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少毫升 (注：15滴=1毫升)
解：依题意，得2.4×1013÷(4×1010)=600.
600÷15=40.
答：需要这种杀菌剂40毫升.
这类实际问题先列出算式，要把2.4×1013和4×1010看作单项式形式，其中2.4和4可当作系数.
例3 计算：［(3a+2b)(3a-2b)+b(4b-4a)］÷2a.
解：原式=(9a2-4b2+4b2-4ab)÷2a=(9a2-4ab)÷2a=a-2b.
注意运算顺序，先算括号里面的，再算多项式除以单项式.
活动2 跟踪训练
1.计算：(1)（-a5b6c2）÷（-ab3）；
(2)7x4y3÷【(-7x4y2)÷（-x3y）】；
(3)(-4a3b5c2)3÷(-ab2c2)3；
(4)(2a+b)3÷(2a+b)2.
解：(1) a4b3c2；(2)x3y2；(3)64a6b9；(4)a+b.
先确定运算顺序，先乘方后乘除，再加减，有括号先算括号里面的，同级运算按从左到右的运算依次进行计算.
2.先化简再求值：(a2b-2ab2-b3)÷b-(a+b)(a-b)，其中a=，b=-1.
解：原式＝-2ab＝1.
3.一个多项式除以(2x2+1)，商式为x-1，余式为5x，求这个多项式.
解：2x3-2x2+6x-1.
被除式=除式×商式+余式.
4.已知xm=4,xn=9,求x3m-2n的值.
解：x3m-2n=x3m÷x2n=(xm)3÷(xn)2=43÷92=64÷81=.
需要互用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则.
活动3 课堂小结
学生尝试总结：这节课你学到了什么？
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法
1.掌握同底数幂的乘法的概念及其运算性质，并能运用其熟练地进行运算.
2.能利用同底数幂的乘法法则解决简单的实际问题.
阅读教材P95-96“探究及例1”，独立完成下列问题：
知识准备
同底数幂的概念：把下列式子化成同底数幂.
(-a)2=a2；(-a)3=-a3;(x-y)2=(y-x)2;(x-y)3=-(y-x)3.
乘方的意义：an的意义是n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫做底数，n是指数.
思考：根据幂的意义解答
52×53=5×5×5×5×5=5(5)；
32×34=3×3×3×3×3×3=3(6)；
a3·a4=(a·a·a)·(a·a·a·a)=a(7)；
am·an=am+n(m，n都是正整数)；
am·an·ap=am+n+p(m，n，p都是正整数)；
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
自学反馈
计算：(1)103·102·104;(2)x5+m·x2n+1;
(3)(-x)2·(-x)3;(4)(a+2)2(a+2)3.
解：(1)109；(2)xm+2n+6；(3)-x5；(4)(a+2)5.
公式中的底数a具有广泛性，也可代表一个式子，如(a+2)就可以看作一个整体.
活动1 学生独立完成
例1 计算：(1)(-x)6·x10;(2)-x6·(-x)10;
(3)10000×10m×10m+3;(4)(x-y)3·(y-x)5.
解：(1)原式=x6·x10=x16;
(2)原式=-x6·x10=-x16;
(3)原式=104·10m·10m+3=102m+7;
(4)原式=-(x-y)3(x-y)5=-(x-y)8.
应运用化归思想将之化为同底数的幂相乘，运算时要先确定符号.
例2 已知ax=2，ay=3(x，y为整数)，求ax+y的值.
解：ax+y=ax·ay=2×3=6.
ax+y=ax·ay，一般逆用公式有时可使计算简便.
活动2 跟踪训练
1.计算:
(1)a·a3·a5; (2)x·x2+x2·x;
(3)(-p)5·(-p)4+(-p)6·p3; (4)(x+y)2m(x+y)m+1;
(5)(x-y)3(x-y)2(y-x); (6)(-x)6x7·(-x)8.
解：(1)a9；(2)2x3；(3)0；(4)(x+y)3m+1；(5)-(x-y)6；(6)x21.
注意符号和运算顺序，第1小题中a的指数1千万别漏掉了.
2.已知xm+n·xm-n＝x9，求m的值.
解：4.5.
左边进行同底数幂的运算后再对比右边指数.
3.已知am=3，am+n=9，求an的值.
解：an=3.
联想上题的解题思想，这题在以上基础上要用到一个整体思想，把an看作一个整体.
活动3 课堂小结
1.化归思想方法(也叫转化思想方法)是人们学习、生活、生产中的常用方法.当我们遇到新问题时，就应该想方设法地把新问题转化为原来熟知的问题，例如(-x)6·x10转化为x6·x10.
2.联想思维方法:联想能力是五大思维能力之一，例如看到am+n就要联想到am·an，它是公式的逆用.
3.a·a3·a5的计算中，不要把“a”的指数1给漏掉了.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.第2课时 完全平方公式
1.会判断完全平方式.
2.能直接利用完全平方式因式分解.
3.掌握利用完全平方公式因式分解的步骤.
阅读教材P117-118“思考及例5、例6”，独立完成下列问题：
知识准备
因式分解：2a2b-4ab2=2ab(a-2b)；-3a3b+12ab3=-3ab(a+2b)(a-2b).
(1)填空：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.
(2)根据上面的式子填空：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2.
(3)形如a2+2ab+b2与a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.
完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.
语言叙述：两个数的平方和加上(减去)这两个数积的二倍，等于这两个数的和(差)的平方.
自学反馈
(1)判断下列多项式是否为完全平方式，如果是运用完全平方公式将其因式分解.
①b2+b+1;②a2-ab+b2;③1+4a2;④a2-a+.
解：④(a-)2.
完全平方式其中有两项能写成两个数或两个式子的平方的形式，且符号相同，另一项为这两个数或两个式子积的2倍或2倍的相反数.
(2)分解因式：①x2+12x+36;②-2xy-x2-y2;
③ax2+2a2x+a3.
解：①(x+6)2；②-(x+y)2；③a(x+a)2.
第②小题先提取“-”再判断是否能运用完全平方公式，第③小题先提公因式，关键找准a、b.
活动1 学生独立完成
例1 分解因式：
(1)a2+ab+b2;
(2)-2x3y+4x2y-2xy;
(3)(a-b)2-6(b-a)+9;
(4)(x2-2x)2+2(x2-2x)+1.
解：(1)原式=(a+b)2；
(2)原式=-2xy(x2-2x+1)=-2xy(x-1)2；
(3)原式=(a-b)2+6(a-b)+9=(a-b+3)2；
(4)原式=(x2-2x+1)2=［(x-1)2］2=(x-1)4.
先找准两个完全平方式，确定a、b，再判断是否符合完全平方式结构；第(4)小题先要把括号里的式子看作一个整体，分解后要继续分解到不能分解为止.
例2 已知x+=4，求：
(1)x2+的值；
(2)（x-）2的值.
解：(1)x2+=(x+)2-2=42-2=14；
(2)（x-）2=(x+)2-4=42-4=12.
这里需要活用公式，如x2+=(x+)2-2，（x-）2=(x+)2-4，将两个完全平方公式进行互相转化.
例3 已知|b-4|+a2-a+=0，求ab的值.
解：依题意，得|b-4|+(a-)2=0.
∴∴
∴ab=()4=.
先分解因式得到两个非负数的和，再根据绝对值和完全平方数的非负性求出a， b.
活动2 跟踪训练
1.因式分解：
(1)(a2-4a)2+8(a2-4a)+16;
(2)2x2-12x+18;
(3)x2+xy+y2;
(4)abx2+2abxy+aby2.
解：(1)(a-2)4； (2) 2(x-3)2； (3)(x+y)2； (4)ab(x+y)2.
2.利用因式分解计算：2022+202×196+982.
解：90000.
3.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值是±6.
要注意完全平方式有两个.
活动3 课堂小结
1.用完全平方式分解因式，关键在于观察各项之间的关系，配凑a、b.
2.分解因式的步骤是：先排列，使首项系数不为负；提取公因式；然后运用公式法；检查各因式是否能再分解.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.第2课时 多项式乘多项式
1.了解多项式与多项式相乘的法则.
2.运用多项式与多项式相乘的法则进行计算.
阅读教材P100-101“例6”，理解多项式乘以多项式的法则，独立完成下列问题：
知识准备
(1)(-3ab)·(-4b2)=12ab3;
(2)-6x(x-3y)=-6x2+18xy;
(3)(2x2y)3·(-4xy2)=- 32x7y5;
(4)-5x(2x2-3x+1)=-10x3+15x2-5x.
(1)看图填空：
( http: / / www.21cnjy.com )
大长方形的长是a+b，宽是m+n，面积等于(a+b)(m+n).
图中四个小长方形的面积分别是am,bm,an,bn，由上述可得(a+b) (m+n)=am+bm+an+bn.
(2)总结法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
以数形结合的方法解决数学问题更直观.
自学反馈
计算：(1)(a-4)(a+10)=a·a+a·10+-4·a+-4·10=a2+6a-40;
(2)(3x-1)(2x+1);
(3)(x-3y)(x+7y);
(4)（-3x+）（2x-）.
解：(2)6x2+x-1；(3)x2+4xy-21y2；(4)-6x2+2x-.
一般用第一个多项式的项去和另一个多项式的每一项相乘，以免漏乘或重复.
活动1 学生独立完成
例1 (1)(x+1)(x2-x+1);
(2)(a-b)(a2+ab+b2).
解：(1)原式=x3-x2+x+x2-x+1=x3+1;
(2)原式=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3.
项数太多，就必须按照一定顺序坚定不移地进行下去.
例2 计算下列各式，然后回答问题：
(1)(a+2)(a+3)=a2+5a+6;
(2)(a+2)(a-3)=a2-a-6;
(3)(a-2)(a+3)=a2+a-6;
(4)(a-2)(a-3)=a2-5a+6.
从上面的计算中，你能总结出什么规律？
解：(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn.
这种找规律的问题要依照整体到部分的顺序，看哪些没变，哪些变了，是如何变的，从而找出规律.
活动2 跟踪训练
1.先化简，再求值：(x-2y)(x+3y)-(2x-y)(x-4y)，其中：x=-1，y=2.
解：-61.
第二个多项式乘以多项式的结果先用括号括起来，再去括号，这样避免出现符号问题，乘完要合并同类项.
2.计算：
(1)(x-1)(x-2); (2)(m-3)(m+5); (3)(x+2)(x-2).
解：(1)x2-3x+2；(2)m2+2m-15；(3)x2-4.
3.若(x+4)(x-6)=x2+ax+b，求a2+ab的值.
解：52.
应先将等式两边计算出来，再对比各项，得出结果.
活动3 课堂小结
在多项式的乘法运算中，必须做到不重不漏，并注意合并同类项.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.14.1.2 幂的乘方
1.理解幂的乘方法则.
2.运用幂的乘方法则计算.
阅读教材P96-97“探究及例2”，理解幂的乘方法则，独立完成下列问题：
知识准备
乘方的意义：52中，底数是5，指数是2，表示有2个5相乘；
(52)3的意义是：有3个52相乘.
(1)根据幂的意义解答：
(52)3=52×52×52(根据幂的意义)
=52+2+2(根据同底数幂的乘法法则)
=52×3
(am)2=am·am
=a2m(根据am·an=am+n)
(am)n=(幂的意义)
=(同底数幂相乘的法则)
=amn(乘法的意义)
(2)总结法则：(am)n=amn(m，n都是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘.
通常我们在解决新问题时可将之转化为已知的问题来解决.
自学反馈
计算：(1)(103)3; (2)(x2)3;
(3)-(xm)5; (4)(a2)3·a5.
解：(1)109；(2)x6；(3)-x5m；(4)a11.
遇到乘方与乘法的混算应先乘方再乘法.
活动1 学生独立完成
例1 计算：
(1)［(-x)3］4; (2)(-24)3; (3)(-23)4; (4)(-a5)2+(-a2)5.
解：(1)原式=(-x)12=x12;
(2)原式=-212;
(3)原式=212;
(4)原式=a10-a10=0.
弄清楚底数才能避免符号错误，混合运算时首先确定运算顺序.
例2 若92n=38，求n的值.
解：依题意，得(32)2n=38，即34n=38.
∴4n=8.∴n=2.
可将等式两边化成底数或指数相同的数，再比较.
例3 已知ax=3，ay=4(x，y为整数)，求a3x+2y的值.
解：a3x+2y=a3x·a2y=(ax)3·(ay)2=33×42=27×16=432.
利用amn=(am)n=(an)m，可对式子进行灵活变形，从而使问题得到解决.
活动2 跟踪训练
1.计算：(1)(-x3)5; (2)a6·(a2)3·(a4)2; (3)［(x-y)3］2; (4)x2x4+(x2)3.
解：(1)-x15；(2)a20；(3)(x-y)6；(4)2x6.
第(3)小题要将(x-y)看作一个整体，在计算中先确定运算顺序再计算.
2.填空：108=(104)2;b27=(b3)9;
(ym)3=(y3)m;p2n+2=(pn+1)2.
3.若xmx2m=3，求x9m的值.
解：27.
要将x3m看作一个整体.
活动3 课堂小结
1.审题时，要注意整体与部分之间的关系.
2.公式(am)n=amn的逆用：amn=(am)n=(an)m.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.14.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
1.理解完全平方公式，掌握两个公式的结构特征.
2.熟练运用公式进行计算.
阅读教材P109-110“探究、思考及例3、例4”，掌握完全平方公式，独立完成下列问题：
知识准备
根据条件列式：
a、b两数和的平方可以表示为(a+b)2；
a、b两数平方的和可以表示为a2+b2.
审题要仔细，特别注意类似“的”、“比”、“占”等这些关键字的位置.
(1)计算下列各式：
(a+1)2=(a+1)(a+1)=a2+2a+1；
(a-1)2=(a-1)(a-1)=a2-2a+1；
(m-3)2=(m-3)(m-3)=m2-6m+9.
(2)公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；
(a-b)2=a2-2ab+b2.
语言叙述：两数的和(差)的平方等于这两个数的平方和加上(减去)这两个数乘积的两倍.
(3)用图中的字母表示出图中白色和黑色部分面积的和.
( http: / / www.21cnjy.com )
(a+b)2=a2+2ab+b2.
自学反馈
(1)计算：①(4m+n)2;②(y-)2;③(b-a)2.
解：①16m2+8mn+n2；②y2-y+；③b2-2ab+a2.
分清a、b，选择适当的完全平方公式进行计算.
(2)(1-3x)2=1-6x+9x2.
完全平方公式的反用，关键要确定a、b.
阅读教材P110“思考”，独立完成下列问题：
填空：(-2)2=4;22=4;
(a)2=(-a)2.
互为相反数的两个数(式)的同偶次幂相等.
自学反馈
计算：(-a-b)2.
解：a2+2ab+b2.
(-a-b)2实质就是求(a+b)2.
活动1 学生独立完成
例1 若(x-5)2=x2+kx+25，则k取是多少？
解：依题意，得
x2-10x+25=x2+kx+25.
∴k=-10.
把左边的展开后对比各项.
例2 计算：(1)(a+b+c)2;
(2)(1-2x+y)(1+2x+y).
解：(1)原式=［(a+b)+c］2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
(2)原式=［(1+y)-2x］［(1+y)+2x］=(1+y)2-4x2=1+2y+y2-4x2.
运用整体思想将三项式转化为二项式，再用完全平方公式或平方差公式求解.如第(2)题中符号相同的项可以结合成一个整体.
例3 计算：9982.
解：原式=(1000-2)2=1000000-4000+4=996004.
可将该式变形为(1000-2)2，再运用完全平方公式可简便运算.
活动2 跟踪训练
1.运用完全平方公式计算：
(1)(x+6)2; (2)（x-y）2;
(3)(-2x+5)2; (4)(a+b-c)2.
解：(1)x2+12x+36；(2)x2-xy+y2；(3)25-20x+4x2；(4)a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc.
确定是用两数和的完全平方式还是两数差的完全平方式.
2.计算：(1)10012;(2)(-m-2n)2.
解：(1)1002001；(2)m2+4mn+4n2.
活动3 课堂小结
1.利用完全平方公式计算某些特殊多项式相乘，速度快，准确率高，但必须注意完全平方公式的结构特征.
2.利用完全平方公式，可得到a+b，ab，a-b，a2+b2有下列重要关系：
(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
(2)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.14.1.4 整式的乘法
第1课时 单项式乘单项式与单项式乘多项式
1.了解单项式与单项式，单项式与多项式的乘法法则.
2.运用单项式与单项式，单项式与多项式的乘法法则计算.
阅读教材P98-99“思考及例4”，理解单项式与单项式乘方的法则，独立完成下列问题：
知识准备
乘法的交换律和结合律：(ab)c=(ac)b.
aman=am+n(m，n都是正整数).
(am)n=amn(m，n都是正整数).
(ab)n=anbn(n是正整数).
a2-2a2=-a2，a2·2a2=2a4，(-2a2)2=4a4.
(1)填空：x2yz·4xy2=（×4）·x(3)y(3)z(1)=2x3y3z.
(2)总结法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式乘以单项式运用的乘法的交换律和结合律将数和同底数幂分别结合在一起.
自学反馈
计算： (1)3x2·5 ( http: / / www.21cnjy.com )x3; (2)4y·(-2xy2); (3)(3x2y)3·(-4x);(4)(-2a)3·(-3a)2.
解：(1)15x5；(2)-8xy3；(3)-108x7y3；(4)-72a5.
确定运算顺序，先乘方再乘法，注意确定符号.
阅读教材P100“例5”，理解单项式与多项式的乘方法则，独立完成下列问题：
知识准备
乘法的分配律：m(a+b+c)=am+bm+cm.
(1)填空：-2x(x2-3x+2)=-2x·(x2)+(-2x)·(-3x)+(-2x)·(2)=-2x3+6x2-4x.
(2)总结法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
自学反馈
计算：(1)-5x(2x3-x-3); (2)x（x3-3x+1）;
(3)(-2a2)(3ab2-5ab3); (4)-3x2·xy-y2-10x·(x2y-xy2).
解：(1)-10x4+5x2+15x；(2)x4-x2+x；(3)-6a3b2+10a3b3；(4)-11x3y+13x2y2.
第(4)小题注意符号问题，括号前是负号去括号里面各项都要变号.
活动1 学生独立完成
例1 计算：(1)(-2x2)(-3x2y2)2;
(2)-6x2y·(a-b)3·xy2·(b-a)2.
解：(1)原式=(-2x2)(9x4y4)=-18x6y4;
(2)原式=-6x2y·xy2·(a-b)3·(a-b)2=-2x3y3(a-b)5.
先乘方再算单项式与单项式的乘法，(a-b)看作一个整体，一般情况选择偶数次幂变形符号简单一些.
例2 解方程：8x(5-x)=19-2x(4x-3).
解：40x-8x2=19-8x2+6x,34x=19,x=.
解方程的过程中注意移项要变号.
活动2 跟踪训练
1.计算:(1)3x2y(-2xy3); (2)3ab2c(2a2b)(-abc2)3.
解：(1)-6x3y4；(2)-6a6b6c7.
注意确定符号，再计算.
2.解方程：2x(7-2x)+5x(8-x)=3x(5-3x)-39.
解：x=-1.
3.先化简，再求值：x2(3-x)+x(x2-2x)+1，其中x=3.
解：x2+1，4.
所谓的化简即去括号合并同类项.
活动3 课堂小结
1.单项式与单项式相乘：积的系数等于各系数相乘，这部分为数的计算，应该先确定符号，再确定绝对值；积的字母部分等于相同字母不变，指数相加；单个的字母及其指数写下来；单项式与单项式相乘，积仍是单项式；单项式与单项式乘法法则的理论依据是乘法的交换律和结合律.
2.单项式与多项式相乘：理论依据是乘法的分配律；单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；计算时都要注意符号问题，多项式中每一项都包括它的符号，同时要注意单项式的符号.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
1.明确提公因式法分解因式与单项式乘多项式的关系.
2.能正确找出多项式的公因式，熟练用提公因式法分解简单的多项式.
阅读教材P114“探究”，独立完成下列问题：
知识准备
试判断下面两个式子的关系：
(1)(a-b)2=(b-a)2；
(2)(a-b)3=-(b-a)3.
(1)把下列多项式写成整式的积的形式：
x2+x=x(x+1)；x2-1=(x+1)(x-1)；
ma+mb+mc=m(a+b+c).
(2)把一个多项式化成几个单项式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式).
(3)多项式与因式分解的关系：
整式的乘法与因式分解是两种互逆的变形，整式乘法的结果是和，因式分解的结果是积.
自学反馈
下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(D)
A.a2+1=a（a+）
B.(x+1)(x-1)=x2-1
C.a2+a-5=(a-2)(a+3)+1
D.x2y+xy2=xy(x+y)
因式分解的结果应该是整式的积.
阅读教材P114-115“例1和例2”，独立完成下列问题：
(1)找出下列多项式的公因式：
多项式2x2+6x3中各项的公因式是2x2；
多项式x(a-3)+y(a-3)2中各项的公因式是a-3.
(2)公因式：各项都含有的相同的因式.
(3)公因式的确定方法：对于数字取各项系数的最大公约数；对于字母(含字母的多项式)，取各项都含有的字母(含字母的多项式)，相同的字母(含字母的多项式)的指数，取次数最低的.
(4)提取公因式：把一个多项式分解成两个因式积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式的商.
在将多项式分解因式的时候首先提取公因式，分解要彻底.
自学反馈
分解因式：(1)8a3b2-12ab3c； (2)-3x2+6xy-3x； (3)x(x-y)-y(x-y).
解：(1)4ab2(2a2-3bc)；(2)-3x(x-2y+1)；(3)(x-y)2.
先找准公因式，分解时注意不要出现符号问题.
活动1 学生独立完成
例1 计算：(1)4x2y3+8x2y2z-12xy2z;
(2)-a2b3c+2ab2c3-ab2c;
(3)5x(x-2y)3-20y(2y-x)3.
解：(1)原式=4xy2(xy+2xz-3z);
(2)原式=-ab2c(ab-2c2+1);
(3)原式=5x(x-2y)3+20y(x-2y)3=5(x-2y)3(x+4y).
第(3)小题先将(x-3y)3和(2y-x)3化成同底数幂，变形时注意符号.
例2 已知2x-y=，xy=2，求2x4y3-x3y4的值.
解：2x4y3-x3y4=x3y3(2x-y)=(xy)3(2x-y)=23×=.
先分解因式，再代值计算.
活动2 跟踪训练
1.计算：(1)m(3-m)+2(m-3);
(2)a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b+c-a).
解：(1)(m-2)(3-m)；(2)(b+c-a)2.
2.利用分解因式计算：7.6×200.3+4.3×200.3-1.9×200.3.
解：2003.
因式分解的实质就是乘法分配律的反用.
活动3 课堂小结
1.提公因式法分解因式，关键在于找到公因式，用恒等变形的方法创设公因式.
2.提公因式法分解因式的步骤是：先排列；找出公因式并写出来作为一个因式；另一个因式为原式与公因式的商.
3.因为因式分解是恒等变形，所以，把分解的结果乘出来看是否得到原式，就可以辨别分解的正确与错误.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.14.3.2 公式法
第1课时 平方差公式
1.能直接利用平方差公式因式分解.
2.掌握利用平方差公式因式分解的步骤.
阅读教材P116-117“思考及例3、例4”，独立完成下列问题：
知识准备
(1)填空：4a2=(±2a)2； b2=(±b)2； 0.16a4=(±0.4a2)2； a2b2=(±ab)2.
(2)因式分解：2a2-4a=2a(a-2)；
(x+y)2-3(x+y)=(x+y)(x+y-3).
(1)计算填空：(x+2)(x-2)=x2-4;(y+5)(y-5)=y2-25.
(2)根据上述等式填空：x2-4=(x+2)(x-2);y2-25=(y+5)(y-5).
(3)公式：a2-b2=(a+b)(a-b).
语言叙述：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.
自学反馈
(1)下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
①x2+y2;②x2-y2;③-x2+y2;④-x2-y2.
解：①不能，不符合平方差公式；
②能，符合平方差公式；
③能，符合平方差公式；
④不能，不符合平方差公式.
判断是否符合平方差公式结构.
(2)分解因式：①a2-b2; ②9a2-4b2; ③-a4+16.
解：①(a+b)(a-b)； ②(3a+2b)(3a-2b)； ③(4+a2)(2+a)(2-a).
活动1 学生独立完成
例1 分解因式：
(1)x2y-4y; (2)(a+1)2-1; (3)x4-1;
(4)-2(x-y)2+32; (5)(x+y+z)2-(x-y+z)2.
解：(1)原式=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)；
(2)原式=(a+1+1)(a+1-1) =a(a+2)；
(3)原式=(x2+1)(x2-1)=(x2+1)(x+1)(x-1)；
(4)原式=-2［(x-y)2-16］=-2(x-y+4)(x-y-4)；
(5)原式=［(x+y+z)+(x-y+z)］［(x+y+z)-(x-y+z)］
=(x+y+z+x-y+z)(x+y+z-x+y-z)
=2y(2x+2z)=4y(x+z).
有公因式的先提公因式，然后再运用平方差公式；一直要分解到不能分解为止.
例2 求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.
证明：依题意，得(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n.
∵8n是8的n倍，
∴当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.
先用含n的代数式表示出两个连续奇数，列出式子后分解因式.
例3 已知x-y=2，x2-y2=6，求x，y的值.
解：依题意，得
(x+y) (x-y)=6.∴x+y=3.
∴∴
先将x2-y2分解因式后求出x+y的值，再与x-y组成方程组求x，y的值.
活动2 跟踪训练
1.因式分解：
(1)- 1+0.09x2； (2)x2(x-y)+y2(y-x)； (3)a5-a； (4) (a+2b)2-4(a-b)2.
解：(1)(0.3x-1)(0.3x+1)； (2)(x+y)(x-y)2； (3)a(a2+1)(a+1)(a-1)； (4)3a(4b-a).
2.计算：
（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）.
解：.
先分解因式后计算出来，再约分.
活动3 课堂小结
1.分解因式的步骤是：先排列，首系数不为负；然后提取公因式；再运用公式分解，最后检查各因式是否能再分解.
2.不能直接用平方差公式分解的，应考虑能否通过变形，创造应用平方差公式的条件.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.第2课时 添括号
1.掌握添括号法则.
2.综合运用乘法公式进行计算.
阅读教材P111“例5”，掌握添括号法则，独立完成下列问题：
知识准备
根据条件列式：(1)(a+b)(a-b)=a2-b2；
(2)(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；
(3)a-2b-c一共有3项，各项分别是a，-2b，-c.
多项式的项要连同符号一起看作一个整体.
(1)去括号法则：a+(b+c)=(a+b)+c；a-(b+c)=a-b-c.
(2)反过来，就得到添括号法则：a+b+c=a+(b+c)；a-b-c=a-(b+c).
(3)法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变符号.
自学反馈
(1)下列等式中，不成立的是(C)
A.a-b+c=-(-a+b-c)
B.a-b+c=a-(b-c)
C.a-b+c=-(-a+b) -c
D.a-b+c=a+(-b+c)
(2)填空：3mn-2n2+1=2mn-(-mn+2n2-1)；
a+b+c-d=a+(b+c-d)；
a-b+c-d=a-(b-c+d)；
x+2y-3z=2y-(-x+3z).
添括号与去括号法则类似.
活动1 学生独立完成
例1 按要求将2x2+3x-6：
(1)写成一个单项式与一个二项式的和；
(2)写成一个单项式与一个二项式的差.
解：略.
每一题的答案不唯一，要分清每一项及其符号，第(1)题是添括号，括号前是正号；第(2)题括号前是负号.
例2 计算：(1)(a-m+2n)2；
(2)(x-y-m+n)(x-y+m-n)；
(3)(2x-y-3)(2x-y+3)；
(4)(x-2y-z)2.
解：(1)原式=［(a-m)+2n］2
=(a-m)2+4n(a-m)+4n2
=a2-2am+m2+4an-4mn+4n2；
(2)原式=［(x-y)-(m-n)］［(x-y)+(m-n)］
=(x-y)2-(m-n)2
=x2-2xy+y2-(m2-2mn+n2)
=x2-2xy+y2-m2+2mn-n2；
(3)原式=［(2x-y)-3］［(2x-y)+3］
=(2x-y)2-9
=4x2-4xy+y2-9；
(4)原式=［(x-2y)-z］2
=(x-2y)2-2z(x-2y)+z2
=x2-4xy+4y2-2xz+4yz+z2.
此式需添括号变形成公式结构，再运用公式使计算简便.
活动2 跟踪训练
1.在下列( )里填上适当的项，使其符合(a+b)(a-b)的形式.
(1)(a+b-c)(a-b+c)=［a+(b-c)］［a-(b-c)］;
(2)(2a-b-c)(-2a-b+c)=［(-b)+(2a-c)］［(-b)-(2a-c)］.
添括号可用在将多项式变形中，主要是将多项式变成乘法公式的结构.
2.计算：(1)(x+y+2)(x+y-2)；(2)(a-2b-3c)2.
解：(1)x2+y2+2xy-4;
(2)a2-4ab+4b2-6ac+12bc+9c2.
3.已知a+b=5，ab=-6，求下列各式的值：
(1)a2+b2；
(2)(a-b)2.
解：(1)37;(2)49.
根据a2+b2=(a+b)2-2ab，(a-b)2=(a+b)2-4ab,和(差)的平方是可以互相转化的.
活动3 课堂小结
学生试着总结：这节课你学到了些什么
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.了解西门豹为民除害的故事，懂得解决问题必须调查研究，摸清情况才能有的放矢地办好事情的道理。14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
1.掌握平方差公式.
2.会用平方差公式简化并计算解决简单的实际问题.
阅读教材P107-108“探究、思考与例1”，掌握平方差公式，独立完成下列问题：
知识准备
根据条件列式：
a、b两数的平方差可以表示为a2-b2；
a、b两数差的平方可以表示为(a-b)2.
审题要仔细，特别注意类似“的”、“比”、“占”等这些关键字的位置.
(1)计算下列各式：(x+2)(x-2)=x2-4；
(1+3a)(1-3a)=1-9a2；(x+5y)(x-5y)=x2-25y2.
观察以上算式及其运算结果填空：上面三个算式中的每个因式都是二项式；等式的左边都是两个数的和与两个数的差的积，等式的右边是这两个数的平方差.
(2)公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
语言叙述：两数的和乘以这两数的差等于这两个数的平方差.
自学反馈
(1)计算：①(-a+b)(a+b);
②（-x-y）（x-y）.
解：①b2-a2；②y2-x2.
(2)(3a-2b)(3a+2b)=9a2-4b2.
首先判断是否符合平方差公式的结构，确定式子中的“a、b”，a是公式中相同的数，b是其中符号相反的数.
活动1 学生独立完成
例1 计算：(1)( a-b)(a+b)(a2+b2);
(2)（xy-3m）(-3m-0.5xy).
解：(1)原式=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4;
(2)原式=-(xy-3m)(3m+xy)=-(x2y2-9m2)=9m2-x2y2.
在多个因式相乘时可将符合平方差结构的因式交换结合进行计算.
例2 计算：100×99.
解：原式=(100+)(100-)=10000-=9999.
可将两个因数写成相同的两个数的和与差，构成平方差公式结构.
活动2 跟踪训练
1.(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
解：216-1.
可添加式子(2-1)构成平方差公式使计算简便.
2.(3x-y)(3x+y)-(x-y)(x+y).
解：8x2.
运用平方差公式计算后合并同类项.
3.计算：(1)103×97;(2)59.8×60.2.
解：(1)9991；(2)3599.96.
活动3 课堂小结
1.利用平方差公式来计算某些特殊多项式相乘，速度快、准确率高，但必须注意平方差公式的结构特征.
2.一般地，把“数”上升到“式”后，思维要宽广得多，同学们要引起重视.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
