2023-2024学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知幂函数的图象经过点，则( )
A. 为偶函数且在区间上单调递增 B. 为偶函数且在区间上单调递减
C. 为奇函数且在区间上单调递增 D. 为奇函数且在区间上单调递减
4.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为( )
A. B. C. D.
5.设，，都是正数，且，记，，则( )
A. B.
C. D. 与的大小与的取值有关
6.“函数在区间上单调递增”的充要条件是( )
A. B. C. D.
7.将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的倍得到曲线的若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，若存在，，满足，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数其中且的图象过第一、三、四象限，则( )
A. B. C. D.
10.下列不等式中，正确的有( )
A. B.
C. D.
11.若函数对于任意，，都有，则称具有性质下列函数中，具有性质的有( )
A. B. C. D.
12.已知函数其中，均为常数，且，恰能满足下列个条件中的个：
函数的最小正周期为；
函数的图象经过点；
函数的图象关于点对称；
函数的图象关于直线对称．
则这个条件的序号可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则 ______．
14.已知为第二象限角，且满足，则 ______．
15.已知在中，，，若的内接矩形的一边在边上，则该内接矩形的面积的最大值为______．
16.设，分别为定义在上的奇函数和偶函数，若，则曲线与曲线在区间上的公共点个数为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：；
已知，计算的值并证明．
18.本小题分
设集合，集合，集合．
求；
当时，求函数的值域．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点，且．
求的值；
求的值．
20.本小题分
已知函数，其中，．
当时，求在区间上的最值及取最值时的值；
若的最小值为，求．
21.本小题分
已知结论：设函数的定义域为，，，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数设函数．
判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心；
若不等式对恒成立，求实数的最大值．
22.本小题分
已知，，．
若为奇函数，求的值，并解方程；
解关于的不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解．
本题考查了诱导公式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，，
则．
故选：．
先求出集合，然后结合集合的基本运算即可求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设幂函数为，
幂函数的图象经过点，
则，解得，
故，
所以为偶函数且在区间上单调递减．
故选：．
根据已知条件，结合幂函数的定义和性质，即可求解．
本题主要考查幂函数的定义与性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：令扇形的半径为，
则，解得，
所以扇形的面积．
故选：．
由题意利用扇形的弧长公式以及面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的弧长公式以及面积公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，，，且，
可得，所以，项符合题意．
故选：．
根据题意通过作差比较大小，得出、的大小关系，从而判断出正确答案．
本题主要考查不等式的基本性质、利用作差比较两个实数的大小等知识，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
，
令，解得，
函数在上单调递减，在上单调递增．
“函数在区间上单调递增”的充要条件是．
故选：．
利用导数研究函数的单调性即可得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：将正弦曲线向左平移个单位得到曲线：的图象；
再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线：的图象；
最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的倍得到曲线的：的图象．
由于曲线恰好是函数的图象．
在区间上，，，．
故在区间上的值域是．
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：令在单调递减，所以的最小值为，可得，
且，
所以在单调递减，所以，
因为存在，，满足，
则，
所以，
由题意可得，
解得．
故选：．
由已知结合函数的单调性可求的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解．
本题主要考查了对数的运算性质及对数函数的性质在函数值域求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：函数的图象在第一、三、四象限，
根据图象的性质可得：，，
即，．
故选：．
根据图象的性质可得：，，即可求解．
本题考查了指数函数的性质，图象的运用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，幂函数在上单调递减，所以，故A错误；
对于，指数函数在上单调递减，，故B正确；
对于，对数函数在上单调递减，，故C正确；
对于，余弦函数在上单调递减，，故D正确．
故选：．
利用幂函数、指数函数、对数函数、余弦函数的单调性逐项判断即可．
本题考查函数的单调性的运用，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，若函数对于任意，，都有，
则函数的图象在上为直线或向上凸，
和的图象不符合该特点，而和的图象符合该特点．
故选：．
根据题意，分析满足的函数的图象特点，由此分析选项可得答案．
本题考查函数的图象，注意分析满足条件“”的函数图象的特点，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：若满足，则，可得，即函数的解析式为，
若满足，则，，可得或，
若正确时，
则代入可得，所以函数不关于对称，
或者，此时关于点对称，
代入因为，所以关于直线对称，
或者，所以不关于对称，
此时时，符合；
时，符合；
不能同时成立；
若满足正确时，则，，可得，则正确，不正确，所以符合条件；
若满足正确时，则，，，可得，此时正确，不正确，符合条件；
不能同时成立；
综上所述：或符合条件
故选：．
同时满足正确时，再判断是否正确，可得或符合条件，不能同时成立，故选出答案．
本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：函数，
则．
故答案为：．
将的值依次代入解析式，即可求解．
本题主要考查函数的值，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
两边平方，可得，
，
，
为第二象限角，
，
，，
．
故答案为：．
利用同角三角函数的平方关系，结合为第二象限角，可得，从而可求，的值，利用商数关系，即可得出结论．
本题考查同角三角函数的平方关系，商数关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设矩形与、分别交于点、，与交于点、，且，
那么，
根据题意，得，
矩形的面积为，
当时，取得最大值．
故答案为：．
结合三角形的内接矩形的性质，以及二次函数的最值问题．
本题主要考查了二次函数的性质在最值求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，所以，
又因为，分别为定义在上的奇函数和偶函数，
所以，，
故，
由可知，，，
为奇函数，图象关于原点对称，
当，，且，最大值为，如图，
曲线与曲线在区间上的公共点个数为个．
故答案为：．
根据函数的奇偶性确定的解析式，根据其对称性，图象变化特点可判断．
本题考查函数的图象交点个数问题，属于中档题．
17.【答案】解：
；
因为，
所以，，
，
因为，
所以，，，，
所以，即，
【解析】结合指数幂的运算性质即可求解；
结合指数与对数的转化及对数的换底公式可求，然后结合基本不等式即可求证．
本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：因为或，集合，
所以或，
故I；
当时，
所以，
故函数的值域为．
【解析】先求出集合，，然后结合集合的补集及交集运算即可求解；
由已知结合函数单调性即可求解．
本题主要考查了集合的交集及补集运算，还考查了对数函数单调性在函数值域求解中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：因为角的始边为轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点，
所以，
即，且，
解得；
，
因为，
所以，
所以原式．
【解析】利用角的始边为轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点，得出，求解即可；
利用诱导公式转化为，即可求值．
本题考查任意角三角函数的定义以及诱导公式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：当时，，
令，，则，
的图象对称轴为，开口向上，
当即，时，取得最小值，最小值为；
当即时，取得最大值，最大值为，
在区间上的最小值为，此时；最大值为，此时．
的最小值为，
，
又，
．
【解析】利用二次函数的性质即可求解；
利用二次函数的性质即可求解．
本题考查了二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：在上单调递减，证明如下：
任取，则，
所以，即，
所以在上单调递减；
，
所以的图象关于对称；
令，
则的图象关于对称，即为奇函数且在上单调递减，
若对恒成立，
即，即，
所以，即在时恒成立，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，即的最大值为．
【解析】任取，然后比较与的大小即可判断函数的单调性；
由已知直接求解即可求解，进而可求函数图象的对称中心；
结合函数的单调性及奇偶性及不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及单调性的判断，还考查了不等式恒成立与最值关系的转化，属于中档题．
22.【答案】解：的定义域为，
若为奇函数，
则，
解得，故，
又与在上均为增函数，
故奇函数在上均为增函数，
所以在上为增函数，
又，
所以，解得；
因为，为奇函数，，
所以关于的不等式可转化为，．
即，
当时，；
当时，或；
当时，或；
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为或．
【解析】由，可求得；解方程，结合的单调性及正切函数的性质可得答案；
原不等式可转化为，再对分类讨论，利用余弦函数的性质可求得答案．
本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的性质的综合应用，属于中档题．
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