2023-2024学年福建省福州重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，若，，则( )
A. B. C. D.
2.为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
3.若圆：与圆：内切，则( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，若曲线为常数过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，一条渐近线为，过点且与平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上为减函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图，将一个边长为的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小正三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小正三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基三角形设是第次挖去的小正三角形面积之和如是第次挖去的中间小正三角形面积，是第次挖去的三个小正三角形面积之和，则( )
A.
B. 是等差数列
C.
D. 前次挖去的所有小正三角形面积之和为
8.已知函数，直线：，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知：，则下述正确的是( )
A. 圆的半径 B. 点在圆的内部
C. 直线：与圆相切 D. 圆：与圆相交
10.已知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则是等差数列
B. 若，则是等比数列
C. 若是等差数列，则
D. 若是等比数列，则
11.已知，分别为椭圆和双曲线的公共左，右焦点，在第一象限为它们的一个交点，且，直线与双曲线交于另一点，若，则下列说法正确的是( )
A. 的周长为 B. 双曲线的离心率为
C. 椭圆的离心率为 D.
12.已知，且，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线：与直线：垂直，则实数的值为______．
14.设函数的导数为，且，则 ______．
15.已知双曲线：的上、下焦点分别为，点在轴上，线段交于点，的内切圆与直线相切于点，则线段的长为______．
16.若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”已知数列是数列的“均值数列”且，设数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
若函数，求的单调区间；
若有两个都小于的极值点，求实数的取值范围．
18.本小题分
在中，角、、的对边分别为，，，且满足．
求角的值；
若，，求的面积．
19.本小题分
如图，平面，平面，，，，．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为．
求椭圆的标准方程；
设为椭圆的上顶点，直线：与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程．
21.本小题分
已知数列满足，．
证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
若记为满足不等式的正整数的个数，数列的前项和为，求关于的不等式的最大正整数解．
22.本小题分
已知函数．
当时，求在处的切线方程；
当时，不等式恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：等差数列中，，，
所以，
则．
故选：．
由已知结合等差数列的通项公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：椭圆的右焦点坐标为，
抛物线的焦点坐标为，
抛物线的准线方程为．
故选：．
先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程．
本题考查了抛物线的标准方程及其性质，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由圆：的方程可得圆心，半径，
由圆：的方程可得圆心，半径，
所以圆心距，
因为两圆内切，所以，
即，解得，
故选：．
由圆的方程可得圆心坐标及半径，再由两圆外切可得圆心距等于两个半径之差，可得的值．
本题考查两圆内切的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：函数的导数为，
曲线在点处的切线斜率为，
由两直线平行可得
又点在曲线上，
，由解得，．
故选：．
由题意将点代入得，求导得，由题意将点代入得，联立即可得解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线的方程为，
因此直线的倾斜角的正切值为，即，
所以有，
设，，由双曲线定义可知：，，
由余弦定理可知：．
故选：．
根据双曲线的定义，结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：因为函数在上为减函数，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，令，
所以，
所以在上单调递减，所以，
故，所以的取值范围是．
故选：．
由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，求出取值范围即可．
本题考查导数的综合应用，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意知，原等边三角形的面积为，
所以，
，选项A错误；
由题意，可知：
每次都是在前一次的基础上挖去几个相同大小的三角形，
第一次挖去的三角形是原等边三角形的，第一次挖去个三角形；
第二次挖去的三角形是原等边三角形的，第二次挖去个三角形；
第三次挖去的三角形是原等边三角形的，第三次挖去个三角形；
所以第次挖去的三角形是原等边三角形的，第次只挖去个三角形；
所以，，且．
所以是等比数列，且，；选项B、C错误；
等比数列的前项和为，选项D正确．
故选：．
由题意分别计算等边三角形的面积，求出数列中的前几项、，归纳出通项公式，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了等比数列的定义与应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：点在直线上方，即，
因为，
所以有且仅有一个正整数解．
，
则，，单调递增；
，，单调递减，
所以．
又，；，；，，故可得图象如下图，
直线：过定点，
当，有无数个正整数解，不合题意，故，
又有且仅有一个正整数解，故是唯一的正整数解，即．
故选：．
由定义域得为正整数，由导数法研究的图象，直线过定点，由数形结合可判断的值，进而列不等式组确定参数范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：圆的方程即，则圆的半径为，选项A正确；
，则点在圆的外部，选项B错误；
圆心到直线的距离，则直线与圆相切，选项C正确；
与的圆心距，由于，故两圆相交，选项D正确．
故选：．
将圆的方程化为标准方程，结合直线方程和圆的方程考查所给的选项是否正确即可．
本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项A，时，，
，，，，不是等差数列，故A错；
选项B，，时，，
，，，是等比数列，故B正确；
选项C，若是等差数列，则，故C正确；
选项D，若，则，，而，故D错误．
故选：．
由前项和求得后判断，根据等差数列、等比数列的性质判断．
本题主要考查了等差数列的定义，考查了等差数列的前项和公式，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：设，
则，，，
在中，由余弦定理，
得，
化简得，，D正确；
又，
所以，
又，
则的周长为，A错误；
中，，由余弦定理得，
所以，
因此双曲线的离心率为，B正确；
椭圆的离心率为，C正确，
故选：．
设，则，由双曲线定义得，，再由余弦定理得，然后由椭圆定义得，利用余弦定理求得，再求三角形周长，求出椭圆、双曲线的离心率，从而判断各选项．
本题考查椭圆以及双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及函数极小值、最小值的求解，需要学生较强的数学综合知识，属于较难题．
先用特殊值法，排除、选项，其次构造函数，判断其单调性，最后结合选项即可解答．
【解答】
解：取，，，，
满足，且，故A不一定成立，
取，，，，
满足，且，但，故D不一定成立；
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
，
，且，
，
当，，故B满足题意，
，，，
当，此时，则，故C满足题意，
故选：．
13.【答案】或
【解析】解：由两条直线垂直可得，解得或．
故答案为：或．
写出两条直线垂直的充要条件，解出的值．
本题考查两条直线垂直的性质的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，所以，
令，则，即，
解得，所以，
所以．
故答案为：．
根据题意，求导可得，令，即可得到，然后代入计算，即可得到结果．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设，，则，，
因为，，
故，
由双曲线的定义可知，即，
解得：．
故答案为：．
根据内切圆，可得切线长相等，根据双曲线定义，可列出式子即可求解．
本题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意，可知，
即，，
则当时，，
当时，，
当时，也符合上式，
，，
，
，
故不等式即为，
化简整理，可得，
，，
，
不等式对恒成立，
对恒成立，
即恒成立，
解得，
满足不等式对恒成立的实数的取值范围为．
故答案为：．
先根据题干已知条件推导出的表达式，再结合公式计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式并进行分母有理化，然后运用裂项相消法计算出前项和的表达式并代入不等式进行化简整理，然后根据及不等式的运算推导出关于的不等式，解出的取值范围，即可得到满足不等式对恒成立的实数的取值范围．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了分类讨论，整体思想，转化与化归思想，裂项相消法，分母有理化，不等式的运算，不等式的求解，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
17.【答案】解：，，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．
因为有个极值点且都小于，
所以有个不相等的负实数根，
所以，
解得，
所以实数的取值范围为．
【解析】根据题意可得，，求导可得，分析的符号，进而可得的单调性．
由有个极值点且都小于，则有个不相等的负实数根，进而可得，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
18.【答案】解：由，
根据正弦定理有，
所以，
所以，即，
因为，所以，所以，
因为，所以．
，
，
或舍，
．
【解析】先用正弦定理边化角，再逆用两角和的正弦公式进行化简即可求解；利用余弦定理求出边，然后代入三角形面积公式计算．
本题考查了正、余弦定理和三角形面积的计算，属于基础题．
19.【答案】解：证明：，面，面，
面，
又面，，、面，
面面，
又面面，面面，
．
以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，则，
设直线与平面所成角为，
则．
所以直线与平面所成角为．
【解析】运用线面平行判定定理、面面平行判定定理可证得面面，运用面面平行性质可证得．
建立空间直角坐标系，运用坐标法求线面角即可．
本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，向量法求解线面角问题，化归转化思想，属中档题．
20.【答案】解：由题意得，，，，
，，
椭圆的标准方程为．
依题意，知，设，
联立，消去，可得，
，即，，
且，．
，
．
，
，
整理得，
解得或舍去．
直线的方程为．
【解析】由条件写出关于，，的方程组，即可求椭圆方程；
首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求参数．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：由取倒数得，故，
又，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
则，所以；
当时，，
故，解得，
所以满足条件的整数的个数为，即，
所以，故数列递增，
所以，
则，
两式相减可得，
所以，
因为，所以，
因此，满足的最大正整数的值为．
【解析】两边取倒数得到，从而得到是首项为，公差为的等差数列，求出，求出通项公式；
在的基础上解不等式得到，从而得到，，数列递增，再利用错位相减法求和得到，结合，，得到答案．
本题考查了等差数列的判断与通项公式，错位相减法数列求和，属于中档题．
22.【答案】解：当时，，，
故切线的斜率，又，切点为，
切线方程为，化简得．
法：当时，恒成立，故，
也就是，即，
由得，令，
则，
令，则，
可知在单调递增，则，即在恒成立，
故在单调递增，所以，故在恒成立，
所以在单调递增，而，所以，故，
即实数的取值范围是．
法：因为当时，恒成立，故，
由，
令，得或，
当，即时，在上恒成立，在上单调递减，
，不合题意，合题意．
当，即时，
当时，当时，
故在上单调递增，在上单调递减，，
设，则恒成立，在上单调递减，
故，即，合题意．
综上，，即实数的取值范围是．
法：因为当时，恒成立，也就是，
即恒成立，令，，
令，，，，恒成立，
在上单调递增．．
当，即时，，在上单调递增，，合题意；
当，即时，，
因为，，
存在，使得，即，
在上单调递减，在上单调递增，
，不合题意．
综上，，即实数的取值范围是．
【解析】求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可求切线方程．
法：利用参变分离结合导数可求参数的取值范围；
法：利用分类讨论求出函数的最值，根据最值的性质讨论参数的取值范围；
法：将不等式转化为恒成立，令，，利用导数求出函数的最值，根据最值的性质讨论参数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
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