2023-2024学年陕西省商洛市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省商洛市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若正数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.要在半径厘米的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧的长为厘米，则圆心角( )
A. B. C. D.
5.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件
6.函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过取：( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若的终边经过点，则( )
A. 是第四象限角 B. C. D.
10.下列命题是真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.已知函数在上单调递增，则的取值可能为( )
A. B. C. D.
12.已知函数且，下列结论正确的是( )
A. 是偶函数
B. 的图象与直线一定没有交点
C. 若的图象与直线有个交点，则的取值范围是
D. 若的图象与直线交于，两点，则线段长度的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域为______．
14.已知函数是偶函数，则 ______．
15.函数的图象经过定点，则点的坐标为______．
16.已知偶函数，则不等式的解集是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知幂函数．
求的解析式；
判断函数的奇偶性，并说明理由．
18.本小题分
求下列各式的值：
；
．
19.本小题分
已知角的终边经过点．
求的值；
求的值．
20.本小题分
某企业制定了一个关于销售人员的提成方案，如下表：
销售人员个人每月销售额万元 销售额的提成比例
不超过万元的部分
超过万元的部分
记销售人员每月的提成为单位：万元，每月的销售总额为单位：万元．
注：表格中的表示销售额超过万元的部分另附参考公式：销售额销售额的提成比例提成金额．
试写出提成关于销售总额的关系式；
若某销售人员某月的提成不低于万元，试问该销售人员当月的销售总额至少为多少万元？
21.本小题分
已知指数函数．
若在上的最大值为，求的值；
当时，若对恒成立，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数．
求的值域；
若关于的不等式有解，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
故．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为正数，满足，
所以，当且仅当时，等号成立，
故的最小值是．
故选：．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：函数，
则，．
故选：．
根据已知条件，结合函数解析式，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设扇形弧长为，圆心角为，半径为，则，，
，解得．
故选：．
根据弧长的计算公式即可求出圆心角的值．
本题考查了扇形弧长的计算公式，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：当时，；
当时，可能为．
故“”可以推出“”，“”不能推出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
将“”与“”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件．
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为函数与在上都是单调递增，所以在上单调递增．
又因为，，所以，根据零点存在定理，得的零点所在区间为．
故选：．
利用函数的单调性，结合零点判断定理，求解即可．
本题考查了函数的单调性，考查了函数的零点问题，是一道基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
则，
，
综上所述，．
故选：．
根据已知条件，结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解．
本题主要考查指数函数、对数函数的单调性，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：的物块经过后的温度，
的物块经过后的温度．
要使得两块物体的温度之差不超过，则，
即，
解得．
故选：．
根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数不等式的解法，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为点在第四象限，所以是第四象限角，A正确；
，B正确；
，C错误；
，D正确．
故选：．
根据三角函数的定义即可得出正确的选项．
本题考查了三角函数的定义，象限角的定义，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A，当时，显然错误；
对于选项B，由糖水不等式可得B正确；
对于选项C，因为，所以，，则，C正确；
对于选项D，因为，
所以，，所以，D正确．
故选：．
举出反例检验选项A，结合不等式的性质检验选项B，，即可判断．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：函数在上单调递增，
在上大于零且单调递增，，求得．
则的取值可以为或，
故选：．
由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，求得的取值范围，从而得出结论．
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：定义域为，，所以是偶函数，A正确；
当时，在上单调递减，在上单调递增，，此时的图象与直线没有交点．
当时，在上单调递增，在上单调递减，，此时的图象与直线没有交点，故的图象与直线一定没有交点，B正确．
令，则，即若的图象与直线有个交点，则，解得，
所以的取值范围是，C正确．
由，解得，
所以，D错误．
故选：．
由已知结合函数的奇偶性及单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了函数的单调性在函数零点个数判断中的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，解得，
故函数的定义域为．
故答案为：．
根据已知条件，推得，即可求解．
本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：是偶函数，
，
，不恒为，
，解得．
故答案为：．
依题意，可求得，从而可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：令，得，此时，
所以点的坐标为．
故答案为：．
由已知结合对数函数的性质即可求解．
本题主要考查了函数图象的变换及对数函数的性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，
当时，单调递增，
又为偶函数，
不等式，
解得．
故答案为：．
依题意，知偶函数在上单调递增，原不等式可等价转化为，解之可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查等价转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：为幂函数，
，
解得，
．
为奇函数．
理由如下：
的定义域为，关于原点对称，
且满足，
为奇函数．
【解析】由幂函数的定义可知，求得，可得答案；
为奇函数，利用奇函数的定义可判断．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于中档题．
18.【答案】解：原式
．
原式
．
【解析】由已知结合指数及对数的运算性质即可分别求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
19.【答案】解：根据三角函数的定义，可得；
．
【解析】根据三角函数定义求值；
根据诱导公式，同角函数关系即可．
本题考查三角函数定义，诱导公式，同角函数关系，属于基础题．
20.【答案】解：根据题意知，当时，，
当时，；
所以提成关于销售总额的函数关系式为；
当时，，
则该销售人员当月的销售总额必定超过万元，
令，得，解得，
所以该销售人员当月的销售总额至少为万元．
【解析】根据题意，利用分段函数写出函数解析式；
时，，列不等式求解即可．
本题考查了分段函数应用问题，是中档题．
21.【答案】解：当时．在上单调递增，
可得，解得；
当时，在上单调递减，
可得，解得．
综上可得，实数的值为或．
方法一：由函数在上单调递减，
当时，在上单调递增，且，
所以，即，
又因为，所以，所以实数的取值范围是．
方法二：由题意得，不等式对恒成立，
即对恒成立，
令，，
因为，所以为增函数，所以，所以，
又因为，解得，所以实数的取值范围是．
【解析】根据题意，结合指数函数的性质，分类讨论，即可求解；
方法一：由在上单调递减，转化为，即可求解；
方法二：根据题意，转化为对恒成立，令，，结合函数的单调性，得到，即可求解．
本题主要考查函数恒成立问题，函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为，，所以，，
所以的值域为．
因为，是增函数．所以是减函数．
因为是增函数，所以是减函数．
令函数，则是减函数．
不等式，即，
则，所以，化简得，
因为关于的不等式有解，所以，解得或，
所以的取值范围是．
【解析】化简函数表达式，分离常数，判断函数的单调性，进而求函数值域；
构造函数，明确函数单调性，把函数不等式转化为代数不等式，求参数的取值范围．
本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
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