2023-2024学年陕西省西安重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )
A. B. C. D.
2.已知数列是等差数列，记数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
3.下列命题：，则；，则；，则；，则，其中正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，若点在上，为的中点，，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知点，，若点到直线的距离为，点到直线的距离为，则满足条件的有条( )
A. B. C. D.
6.如图是函数的大致图象，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知定义在上的函数，其导函数满足：对任意都有，则下列各式恒成立的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
8.定义域为的函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则称函数为“函数”，现给出如下函数：
；
；
；
．
其中为“函数”的有( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线：和直线：以下说法正确的有( )
A. 直线一定过定点 B. 若，则
C. 的充要条件是 D. 点到直线的距离的最大值为
10.如图，直三棱柱中，，，是棱的中点，则( )
A. 直线与所成角为
B. 三棱锥的体积为
C. 二面角的大小为
D. 直三棱柱外接球的表面积为
11.函数在区间上存在极值点，则整数的值为( )
A. B. C. D.
12.已知是数列的前项和，下列结论正确的是( )
A. 若是等差数列，则 B. 若是等比数列，则
C. 若是等差数列，则公差 D. 若是等比数列，则公比是或
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线的一个法向量 ______．
14.已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在抛物线上，直线与抛物线交于另一点，设直线，的斜率分别为，，则的值为 ．
15.设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则 ______．
16.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，，，，为圆上的点，、、、分别是以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起、、、，使得，，，重合，得到一个三棱锥，当正方形的边长为______时，三棱锥体积最大．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知动点与两个定点，的距离的比是．
求动点的轨迹的方程；
直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程．
18.本小题分
已知曲线，
求曲线在点处的切线方程；
曲线过点的切线方程；
曲线平行于直线的切线方程．
19.本小题分
如图，是的直径，，点是上的一个动点，过点作垂直所在的平面，且．
当三棱锥体积最大时，求直线与平面所成角的大小；
当点是上靠近点的三等分点时，求二面角的正弦值．
20.本小题分
已知椭圆：的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ已知直线与椭圆相交于、两点，且与轴，轴交于、两点．
若，求的值；
若点的坐标为，求证：为定值．
21.本小题分
各项都为整数的数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列．
求数列的通项公式；
求出所有的正整数，使得．
22.本小题分
已知函数，其中．
判断函数的单调性；
若，且当时，，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：双曲线的一个焦点坐标是，一条渐近线为，
此焦点到渐近线的距离．
故选：．
根据题意得到焦点坐标是，一条渐近线为，利用点到直线的距离公式，即可求解．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：数列是等差数列，记数列的前项和为，，
．
故选：．
利用等差数列前项和公式和等差数列通项公式能求出的值．
本题考查等差数列的前项和的求法，考查等差数列前项和公式和等差数列通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
则，故错误；
，则，故错误；
，则，故错误；
，
则，故正确．
故选：．
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意椭圆：的左顶点为，右焦点为，若点在上，为的中点，，且，如图：
而，，即，，
整理可得：，，解得，
故选：．
由椭圆的方程及题意可得的横坐标，代入椭圆方程求出的纵坐标，由正切值及，，的关系可得椭圆的离心率可得．
本题考查椭圆的性质，由可得的横坐标，在椭圆上可得它的纵坐标，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，以为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径作圆，
点，，则，则圆与圆外切，两圆有条公切线，
则满足条件的直线有条，
故选：．
根据题意，以为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径作圆，分析两个圆的位置关系，可得其公切线的数目，即可得答案．
本题考查点到直线的距离，涉及两点间距离的计算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由图象知的根为，，，．
．
的两个根为和，．
．
，为的两根，，，
．
故选：．
由图象知的根为，，，求出函数解析式，，为导函数的两根，可结合根与系数的关系求解．
本题考查了识图能力，以及极值与导数的关系，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．
7.【答案】
【解析】不妨设，函数定义域为，
可得，
因为对任意都有，
所以在上恒成立，
此时，
则函数在上单调递增，
所以，，
整理得，．
故选：．
由题意，构造函数，对函数进行求导，利用所给信息判断其导数符号可得函数单调性，再进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，若函数为“函数”，则对任意两个不相等的实数，，都有，
变形可得：，
则函数为上是增函数；
反之，若函数为上是增函数，必有，则函数为“函数”；
由此依次分析所给的个函数：
，其导数，不满足在上恒成立，即在上不是增函数，不是“函数”；
，其导数，有恒成立，即在上是增函数，是“函数”；
，其导数，有恒成立，则在上是增函数，是“函数”；
，在区间上，，在区间上，，则在上不是增函数，不是“函数”；
则其中是“函数”的有；
故选：．
根据题意，分析可得若函数为上是增函数，则函数为“函数”，由此分析个函数的单调性，综合可得答案．
本题考查函数单调性的定义和判断，注意函数导数与单调性的关系，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，直线：，即，
令，解得，
故直线一定过定点，故A正确，
对于，，
则，解得，故B正确，
对于，由，解得或，经验证，时两条直线平行，故C错误，
对于，直线过定点，
点到直线的距离的最大值为，故D正确．
故选：．
利用直线过定点判断，利用直线的垂直判断，利用直线的平行判断，利用两点间的距离公式判断．
本题考查了两条直线平行，垂直的充要条件，考查了直线过定点，两点间的距离公式，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，在矩形中，因为，，
所以，又因为，，
所以平面，于是，
所以直线与所成角为，所以对；
对于，因为，再由知、、两两垂直，
三棱锥与三棱锥的体积相同，
其大小为，所以对；
对于，取中点，连接、，，
因为平面平面，所以平面，
所以，又因为，于是平面，
所以，
为二面角的平面角，设其大小为，
，即，所以错；
对于，取侧面中心，为三棱柱外接球球心，
半径，所以外接球的表面积为，
所以对．
故选：．
证明一条直线垂直另一条直线所在平面；用等体积法求出三棱体积判断；
寻找二面角的平面角，用其正弦值判断；寻找外接球球心，计算球表面积判断．
本题考查了异面直线成角及二面角的计算问题，考查了球面表面积及棱锥体积计算问题，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，
当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得极大值，时，函数取得极小值，
若函数在区间上不存在极值点，
则或或，
解得或或，
所以当或时，函数在区间上存在极值点，
因为为整数，所以或．
故选：．
先对函数求导，结合导数与单调性及极值关系即可求解．
本题主要考出来导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，若数列是等差数列，则、、也成等差数列，
则有，又由，
则有，变形可得，故A正确，
若数列是等差数列，由可得，，
整理得，，无法确定公差的正负，故C错误，
若数列是等比数列，若，则有，
必有，变形可得，B正确，
同时，由于，则有，
即，
变形可得或，解可得或或，则D错误．
故选：．
根据题意，分数列是等差数列和等比数列两种情况讨论，分析数列的性质，由此分析选项可得答案．
本题考查等差数列、等比数列的性质，涉及数列的求和，属于基础题．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：直线的方向向量为，而，
所以直线的一个法向量．
故答案为：答案不唯一．
根据给定直线方程求出其方向向量，再由法向量的意义求解作答．
本题考查了直线的方向向量，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设过的直线交抛物线于，，，
联立方程组，得：，
于是，有：，，
，
又，
．
故答案为：．
设过的直线交抛物线于，，，联立方程组，结合韦达定理即可得解．
本题主要考查直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了构造方法、等差数列的通项公式、“累加求和”方法、“裂项求和”方法、取整数函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
构造，则，由题意可得，利用等差数列的通项公式可得：，再利用“累加求和”方法可得，解得，，利用“裂项求和”方法即可得出．
【解答】
解：构造，则，
由题意可得，
故数列是为首项，为公差的等差数列，
故，
故，，，，，
以上个式子相加可得，解得，
，，
．
则．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：如图所示，连结交于点，则，且点为的中点，
连接，为直角三角形，
设正方形的边长为，由圆的性质可知，
圆的半径为，则，
如图所示，设，，，重合于点，
则，
则，高，
则锥体的体积，
设，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
据此可得当时，函数有最大值，此时取得最大值，
此时正方形的边长为，
故答案为：．
由题意首先得到体积函数，然后利用导数研究函数的最值，由函数取得最大值的条件即可确定正方形的边长．
本题主要考查锥体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
17.【答案】解：设点，
动点与两个定点，的距离的比是，
，即，
则，
化简得，
所以动点的轨迹的方程为；
由可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
直线被曲线截得的弦长为，
圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是，不符合条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离，
化简得，解得或，
此时直线的方程为或．
综上，直线的方程是或．
【解析】直接利用条件求出点的轨迹方程，结合圆的定义即可求解；
直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程．
本题主要考查了点的轨迹方程的求解，还考查了直线与圆位置关系的应用，属于中档题．
18.【答案】解：由，得．
，则曲线在点处的切线方程为，即；
设切点为，则，
过切点的切线方程为，
把代入，可得，
整理得：，解得或．
当时，切线方程为；
当时，切线方程为．
故切线方程为或；
由题意可得，即，
当时，，所求切线方程为；
当时，，．
【解析】求出原函数的导函数，得到，再由直线方程的点斜式得答案；
利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点的坐标，求得切点坐标，进一步可得切线方程；
由导函数值为求得切点横坐标，进一步求出切点坐标，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，设切点是关键，是中档题．
19.【答案】解：因为是的直径，，所以．
．
当时，有最大值，此时点是的中点．
因为垂直于所在平面，所以．
因为是的直径，所以．
又因为，平面，，所以平面．
如图，取的中点，连接，，则，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
此时，所以．
又因为在中，，，所以，
所以，故．
当三棱锥体积最大时，直线与平面所成角的大小为．
当点是上靠近点的三等分点时，，故．
因为是的直径，所以．
又因为，所以，
因为垂直于所在平面，所以，，即，，两两垂直，
如图，以为坐标原点，射线，，分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，．
设平面的法向量为，则，，
所以，
则，令，则，则．
设平面的法向量为，则，，
所以，
令，则，，则，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为．
【解析】当体积最大时，由体积公式确定此时点是的中点，再由几何方法确定平面，所以为直线与平面所成的角，最后解三角形求出结果．
建系，分别求出设平面的法向量和平面的法向量，再由空间向量法求出二面角的余弦值，最后求出正弦值．
本题考查三棱锥的体积和二面角的求法，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ，
，代入 得．
又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为，
即，即，以上各式联立解得，，
则椭圆方程为．
Ⅱ直线与轴交点为，与轴交点为，
联立消去得：，
，
设，，则，
又，，由得：，
解得： 由得；
证明(ⅱ)由(ⅰ)知，，
，
，
--，
--，
为定值．
为定值．
【解析】Ⅰ根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出，，则椭圆方程可得，
Ⅱ根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出，
根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出．
本题考查了椭圆的方程的求法，直线和椭圆的位置关系，向量的数量积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题
21.【答案】解：设前项的公差为，
所以，，，
因为从第项起依次成等比数列，
所以，，
化简可得，所以或，
又因为各项均为整数，所以为整数，所以，
当，，
当时，，，，
所以，
综上所述，，；
当时，，，满足条件；
当时，，，不满足条件；
当时，，，满足条件；
当时，，，不满足条件；
当时，，
若，则有，则，
所以，所以，
因为，
所以，
故无解，
综上，或．
【解析】由已知结合等差数列与等比数列的通项公式即可求解；
由已知结合已知数列的通项公式，代入进行检验即可求解．
本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，属于中档题
22.【答案】解：，其中，
，
令，则，
由得，由得，
在单调递减，在单调递增，
当时，，
．
在上单调递增．
证明：由于，所以，
即，所以．
要证明，
只需证明，即证，
令，即证，
因为，所以．
令，
则．
令，则，
所以在上单调递增，，
于是，所以在上单调递增，
于是．
令，则，
所以在上单调递减，即，
所以当时，，而，所以，
因此，即，
故，得证．
【解析】利用导数的正负判断单调性，先求函数的导数，再求导数的导数，根据求最值的方法求出导数的最小值为正数，从而得出结论．
根据得到，的等式，并将整理好的式子代入要证明结论的左边，并将左边整理．然后用分析法结合上述整理好的式子进行证明，然后构造函数用导数求构造函数的值域，从而得证．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的极值点偏移问题，属于难题．
第1页，共1页