湖南省邵阳市新邵县2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

新邵县2023-2024学年高二上学期期末考试
数学试题卷
考生注意：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，本试卷共22题，满分150分，考试时量120分钟。
2．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
3．选择题的做题：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。
4．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区无效。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．不存在
2．如图，在四面体中，在棱上，满足分别是的中点，设，用表示，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
4．设，记不超过的最大整数为，如，令，则，，三个数构成的数列（ ）
A．是等比数列但不是等差数列 B．是等差数列但不是等比数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列也不是等比数列
5．双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
6．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知是圆上的动点，则外接圆的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．设数列的前项和为，记，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．已知为非零实数，则下列说法正确的是（ ）
A．是成等差数列的充要条件
B．是成等比数列的充要条件
C．若成等比数列，则成等比数列
D．若成等差数列，则成等差数列
10．已知方程，则下列说法中正确的有（ ）
A．方程可表示圆
B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
11．已知直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的离心率可能是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在直三棱柱中，，点分别是线段，，上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（ ）
A．平面 B．该三棱柱的外接球的表面积为
C．异面直线与所成角的正切值为 D．二面角的余弦值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．曲线在点处的切线方程为_________．
14．已知点是圆的动点，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是_________．
15．已知数列满足：则________．
16．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上上存在一点满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）已知等比数列的各项均为正数，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求．
18．（本小题12分）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线与圆相交于两点，是的中点，．
（1）求圆的标准方程；
（2）求直线的方程．
19．（本小题12分）如图，四棱雉中，，且，
（1）求证：平面平面；
（2）若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题12分）已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，数列前项的和为，求．
21．（本小题12分）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若，求函数的极值．
22．（本小题12分）在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于两点和两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
新邵县2023-2024学年高二上学期期末考试
参考答案、评分细则
一、选择题
1．B 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D 7．C 8．C
二、选择题
9．AC 10．BCD 11．BD 12．ABD
三、填空题
13． 14． 15．1或8 16．
四、解答题
17．（1）设等比数列的公比为，
因为，所以，即，
解得或（舍去），
所以．
（2）因为，
所以
18．（1）设圆半径为，由圆与直线相切，
则点到直线的距离等于半径，
得，
圆的标准方程为．
（2）由（1）知，，
则圆心到直线的距离
当直线与轴垂直时，即，
此时圆心到直线的距离为1，符合题意；
当直线不与轴垂直时，
设方程为，即，
解得，
直线为：．
综上所述，直线的方程为或．
19．（1），又，
面面平面，
平面平面
（2）平面平面交于点平面，平面
平面平面，
以为原点，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，
，
设平面的法向量为，则，求得法向量为，由，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．（1）由，得，
即即
所以数列为等比数列，首项，公比
（2）由（1）得，
①
②
①-②，得
21．（1），
当时，，所以在区间上单调递增；
当时，取，解得（舍去负值），
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，，取，解得（舍去负值），
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以有极大值为，无极小值．
22．（1）因为，
所以，轨迹是以点为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，
所以，轨迹的方程为．
（2）如图所示，设，
设直线的方程为．
联立，
化简得．
则．
故．
则．
设的方程为，同理．
因为，所以，
化简得
所以，即．
因为，所以．
（其他解法参照给分）