2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 72.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-15 12:00:37 | ||
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文档简介
2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上，则椭圆的标准方程为
( )
A. B. C. D.
2.若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，若，则的值是( )
A. B. C. D. 不确定
4.如图，在四面体中，、分别是棱、的中点，则向量与、的关系是( )
A. B.
C. D.
5.已知在圆外，则直线与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上皆有可能
6.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在处的切线与直线垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
8.函数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆，则下列说法正确的有( )
A. 关于点对称 B. 关于直线对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
10.在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于点，则下列结论正确的是( )
A. 抛物线的准线方程为 B.
C. 的面积为 D.
11.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为
12.对于函数，下列说法正确的有( )
A. 在处取得最小值 B. 在处取得最大值
C. 有两个不同零点 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，若与平行，则______．
14.设公差不为的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列，则______
15.已知直线分别与函数和的图象交于点，，则的最小值为 ．
16.正三棱柱中，，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：与直线：的交点为．
求过点且与直线：垂直的直线的方程；
求过点且与直线：平行的直线的方程．
18.本小题分
已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
求圆的方程；
设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程．
19.本小题分
如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点．
求证：；
求二面角的大小．
20.本小题分
设数列的前项和为，已知，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
21.本小题分
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为，离心率等于．
求椭圆的方程；
过椭圆的右焦点作直线交椭圆于，两点，交轴于点，若，求证：为定值．
22.本小题分
设函数．
讨论函数的单调性；
若，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的方程的求法，属于基础题．
设椭圆方程为，由题意可得，，再由，，的关系，可得，进而得到椭圆方程．
【解答】
解：设椭圆方程为，
由题意可得，，，
即有椭圆方程为．
故选B．
2.【答案】
【解析】解：因为平面，且平面的一个法向量为，
所以平面的法向量与垂直，
对于，因为，故选项A错误；
对于，因为，故选项B错误；
对于，因为，故选项C正确；
对于，因为，故选项D错误．
故选：．
利用垂直的两个平面的法向量垂直，利用数量积为依次判断四个选项，即可得到答案．
本题考查了平面的法向量的理解与应用，空间向量垂直的坐标表示，考查逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前项和，是基础的计算题．由等差数列的性质，结合求出，代入前项的和得答案．
【解答】
解：在等差数列中，由，得，．
．
故选B．
4.【答案】
【解析】解：连接，，
故选：．
根据向量的三角形法则，以及向量的加减几何意义即可求出．
本题考查了向量的三角形法则，以及向量的几何意义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：点在圆外，则，
因此，圆的圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交．
故选：．
根据点在圆外，算出，从而算出圆心到直线的距离小于半径，可得答案．
本题主要考查圆的方程及其性质、点与圆和直线与圆的位置关系，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
根据双曲线离心率的定义求出，的关系，结合双曲线，，的关系进行求解即可．
本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键．
【解答】
解：双曲线的离心率为，
则，
即双曲线的渐近线方程为，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：因的斜率为，
则．
故选：．
由题可得，即可得答案．
本题考查导数的几何意义，化归转化思想，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：由已知得，
时，，
当时，令，则原函数化为，，
显然，故是奇函数，根据的符号可知，
当时，，所以函数的最大值在范围内，
令，，
令，即，解得或舍，
解得负值舍去，
时，即，则，
时，即，则，
易知的极小值为，也是最小值，
所以．
故选：．
由二倍角公式将原函数化为关于的解析式，再利用换元法结合导数研究函数的最值．
本题考查三角函数的性质的应用，求导的方法求函数的最值问题，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：圆，圆的圆心，半径为：，
所以关于点对称，所以A正确；
直线经过圆的圆心，所以圆关于直线对称，所以B正确；
直线经过圆的圆心，圆关于直线对称，所以C正确；
直线不经过圆的圆心，圆不关于直线对称，所以不正确；
故选：．
求出圆的圆心与半径，判断直线与圆的位置关系，判断结果即可．
本题考查直线与圆的位置关系，圆的一般方程的应用，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：点在抛物线上，
，
，焦点为，准线为，对，
因为，
故，
故直线为：，
联立或，
，
，，
，错，
，对，
的面积为故C错，
故选：．
根据条件求出，再联立直线与抛物线求出，进而求出结论．
本题考查了抛物线的标准方程及其应用，以及三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由条件，，，
可得，，，
，，中没有最大值，的最大值为．
故选：．
由条件，，，可得，即可判断出结论．
本题考查了等比数列的通项公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：函数的导数，
令得，则当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
则当时，函数取得极大值，极大值为，即为最大值，故A不正确；
由知当时，函数取得最大值，最大值为，故B正确；
由，得，得，即函数只有一个零点，故C错误；
，由时，函数为减函数，知，
故成立，故D正确．
故选：．
求导可知在上单调递增，在上单调递减，从而可判断，令得，所以函数只有一个零点，可判断．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
，
若与平行，则，
则，解得，，
故答案为：．
利用向量共线可得，求解可得．
本题考查向量共线的坐标运算，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：设等差数列的首项为，公差为．
依题意有，即，
由，解得，
所以．
故答案为：．
利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式．
本题考查数列的通项公式、前项和公式的应用，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
当时，，令，再利用导数研究函数的最值，即可求解．
【解答】
解：当时，，
令，
求导可得，，
令，则
令，则
在上递减，在上递增，
故，
故的最小值为．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：过点作于点，连接，
由正三棱柱的性质知，平面，
因为平面，所以，
所以，，
所以平面，
所以是直线与平面所成的角，
设，
在中，，
要使直线与平面所成的角取最大值，则需最大，即最小，
所以，
在等边中，，，即，
因为，
所以，所以．
故答案为：．
过点作于点，连接，先证平面，可知是直线与平面所成的角，再将问题转化为求的最小值，即可得解．
本题考查空间中线面角的求法，熟练掌握线面角的定义与求法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：解方程组可得，故直线：与直线：的交点为．
与直线：垂直的直线的斜率为，故过点且与直线：垂直的直线的方程为，即．
与直线：平行的直线的直线的斜率为，
故过点且与直线：平行的直线的方程为，即．
【解析】由题意，利用两直线垂直的条件，求出斜率，再用点斜式求直线的方程．
由题意，利用两直线平行的条件，求出斜率，再用点斜式求直线的方程．
本题主要考查两直线平行、垂直的条件，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
18.【答案】解：设圆的圆心坐标为，
依题意，有，分
即，解得，分
所以，
所以圆的方程为分．
依题意，圆的圆心到直线的距离为，
所以直线符合题意分
设直线方程为，即，
则，解得，
所以直线的方程为，即分
综上，直线的方程为或分
【解析】设圆的圆心坐标为，依题意，有，求出圆心及半径，可得圆的方程；
设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，分斜率是否存在两种情况，可得直线的方程．
本题考查的知识点是圆的方程，直线与圆的位置关系，难度中档．
19.【答案】解：依题意，平面，
如图，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．
依题意，可得，，，，
，，，
，
，
，即；
，为的中点，
，
，，，平面，
平面，
故为平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
，
，则可取．
，
由图可得二面角为钝角，
二面角的余弦值为，
则二面角的大小为．
【解析】利用空间向量的坐标运算证明；
利用空间向量的坐标运算求二面角的大小．
本题考查利用空间向量证明线线垂直以及求解二面角的大小，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
20.【答案】解：，
当时，，
由得，即，
当时，得，即．
可得数列是首项为，公比为的等比数列，
即有数列的通项公式为；
，
可得数列的前项和
．
【解析】本题考查等比数列的定义和通项公式，考查裂项相消求和方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
由数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项公式；
求得，再由裂项相消求和即可得到所求和．
21.【答案】解：由题意设椭圆方程为，
则，，又，可得，
，可得．
椭圆的方程为；
证明：设、、点的坐标分别为，，
又易知点的坐标为．
显然直线存在的斜率，设直线的斜率为，则直线的方程是．
将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得．
，．
又，将各点坐标代入得，．
．
【解析】由题意设出椭圆方程，并得到，结合椭圆的离心率及隐含条件列式求得，则椭圆的方程可求；
设直线的斜率为，则直线的方程是将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得然后利用根与系数的关系证明为定值．
本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键，是中档题．
22.【答案】解：，所以．
当时，，函数在函数上单调递减．
当时，若，若，
在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，函数在函数上单调递减．
当时，在上单调递增，在上单调递减．
由恒成立，
可得恒成立，
设，
由题意知时，，
故当时函数单调递增，
所以恒成立，即恒成立，
记，得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，故，又，则，
的取值范围是．
【解析】对求导，由导数与函数单调性的关系判断即可；
构造函数，由其单调性列不等式，转化为最值问题求解即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上，则椭圆的标准方程为
( )
A. B. C. D.
2.若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，若，则的值是( )
A. B. C. D. 不确定
4.如图，在四面体中，、分别是棱、的中点，则向量与、的关系是( )
A. B.
C. D.
5.已知在圆外，则直线与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上皆有可能
6.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在处的切线与直线垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
8.函数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆，则下列说法正确的有( )
A. 关于点对称 B. 关于直线对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
10.在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于点，则下列结论正确的是( )
A. 抛物线的准线方程为 B.
C. 的面积为 D.
11.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为
12.对于函数，下列说法正确的有( )
A. 在处取得最小值 B. 在处取得最大值
C. 有两个不同零点 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，若与平行，则______．
14.设公差不为的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列，则______
15.已知直线分别与函数和的图象交于点，，则的最小值为 ．
16.正三棱柱中，，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：与直线：的交点为．
求过点且与直线：垂直的直线的方程；
求过点且与直线：平行的直线的方程．
18.本小题分
已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
求圆的方程；
设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程．
19.本小题分
如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点．
求证：；
求二面角的大小．
20.本小题分
设数列的前项和为，已知，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
21.本小题分
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为，离心率等于．
求椭圆的方程；
过椭圆的右焦点作直线交椭圆于，两点，交轴于点，若，求证：为定值．
22.本小题分
设函数．
讨论函数的单调性；
若，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的方程的求法，属于基础题．
设椭圆方程为，由题意可得，，再由，，的关系，可得，进而得到椭圆方程．
【解答】
解：设椭圆方程为，
由题意可得，，，
即有椭圆方程为．
故选B．
2.【答案】
【解析】解：因为平面，且平面的一个法向量为，
所以平面的法向量与垂直，
对于，因为，故选项A错误；
对于，因为，故选项B错误；
对于，因为，故选项C正确；
对于，因为，故选项D错误．
故选：．
利用垂直的两个平面的法向量垂直，利用数量积为依次判断四个选项，即可得到答案．
本题考查了平面的法向量的理解与应用，空间向量垂直的坐标表示，考查逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前项和，是基础的计算题．由等差数列的性质，结合求出，代入前项的和得答案．
【解答】
解：在等差数列中，由，得，．
．
故选B．
4.【答案】
【解析】解：连接，，
故选：．
根据向量的三角形法则，以及向量的加减几何意义即可求出．
本题考查了向量的三角形法则，以及向量的几何意义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：点在圆外，则，
因此，圆的圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交．
故选：．
根据点在圆外，算出，从而算出圆心到直线的距离小于半径，可得答案．
本题主要考查圆的方程及其性质、点与圆和直线与圆的位置关系，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
根据双曲线离心率的定义求出，的关系，结合双曲线，，的关系进行求解即可．
本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键．
【解答】
解：双曲线的离心率为，
则，
即双曲线的渐近线方程为，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：因的斜率为，
则．
故选：．
由题可得，即可得答案．
本题考查导数的几何意义，化归转化思想，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：由已知得，
时，，
当时，令，则原函数化为，，
显然，故是奇函数，根据的符号可知，
当时，，所以函数的最大值在范围内，
令，，
令，即，解得或舍，
解得负值舍去，
时，即，则，
时，即，则，
易知的极小值为，也是最小值，
所以．
故选：．
由二倍角公式将原函数化为关于的解析式，再利用换元法结合导数研究函数的最值．
本题考查三角函数的性质的应用，求导的方法求函数的最值问题，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：圆，圆的圆心，半径为：，
所以关于点对称，所以A正确；
直线经过圆的圆心，所以圆关于直线对称，所以B正确；
直线经过圆的圆心，圆关于直线对称，所以C正确；
直线不经过圆的圆心，圆不关于直线对称，所以不正确；
故选：．
求出圆的圆心与半径，判断直线与圆的位置关系，判断结果即可．
本题考查直线与圆的位置关系，圆的一般方程的应用，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：点在抛物线上，
，
，焦点为，准线为，对，
因为，
故，
故直线为：，
联立或，
，
，，
，错，
，对，
的面积为故C错，
故选：．
根据条件求出，再联立直线与抛物线求出，进而求出结论．
本题考查了抛物线的标准方程及其应用，以及三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由条件，，，
可得，，，
，，中没有最大值，的最大值为．
故选：．
由条件，，，可得，即可判断出结论．
本题考查了等比数列的通项公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：函数的导数，
令得，则当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
则当时，函数取得极大值，极大值为，即为最大值，故A不正确；
由知当时，函数取得最大值，最大值为，故B正确；
由，得，得，即函数只有一个零点，故C错误；
，由时，函数为减函数，知，
故成立，故D正确．
故选：．
求导可知在上单调递增，在上单调递减，从而可判断，令得，所以函数只有一个零点，可判断．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
，
若与平行，则，
则，解得，，
故答案为：．
利用向量共线可得，求解可得．
本题考查向量共线的坐标运算，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：设等差数列的首项为，公差为．
依题意有，即，
由，解得，
所以．
故答案为：．
利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式．
本题考查数列的通项公式、前项和公式的应用，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
当时，，令，再利用导数研究函数的最值，即可求解．
【解答】
解：当时，，
令，
求导可得，，
令，则
令，则
在上递减，在上递增，
故，
故的最小值为．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：过点作于点，连接，
由正三棱柱的性质知，平面，
因为平面，所以，
所以，，
所以平面，
所以是直线与平面所成的角，
设，
在中，，
要使直线与平面所成的角取最大值，则需最大，即最小，
所以，
在等边中，，，即，
因为，
所以，所以．
故答案为：．
过点作于点，连接，先证平面，可知是直线与平面所成的角，再将问题转化为求的最小值，即可得解．
本题考查空间中线面角的求法，熟练掌握线面角的定义与求法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：解方程组可得，故直线：与直线：的交点为．
与直线：垂直的直线的斜率为，故过点且与直线：垂直的直线的方程为，即．
与直线：平行的直线的直线的斜率为，
故过点且与直线：平行的直线的方程为，即．
【解析】由题意，利用两直线垂直的条件，求出斜率，再用点斜式求直线的方程．
由题意，利用两直线平行的条件，求出斜率，再用点斜式求直线的方程．
本题主要考查两直线平行、垂直的条件，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
18.【答案】解：设圆的圆心坐标为，
依题意，有，分
即，解得，分
所以，
所以圆的方程为分．
依题意，圆的圆心到直线的距离为，
所以直线符合题意分
设直线方程为，即，
则，解得，
所以直线的方程为，即分
综上，直线的方程为或分
【解析】设圆的圆心坐标为，依题意，有，求出圆心及半径，可得圆的方程；
设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，分斜率是否存在两种情况，可得直线的方程．
本题考查的知识点是圆的方程，直线与圆的位置关系，难度中档．
19.【答案】解：依题意，平面，
如图，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．
依题意，可得，，，，
，，，
，
，
，即；
，为的中点，
，
，，，平面，
平面，
故为平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
，
，则可取．
，
由图可得二面角为钝角，
二面角的余弦值为，
则二面角的大小为．
【解析】利用空间向量的坐标运算证明；
利用空间向量的坐标运算求二面角的大小．
本题考查利用空间向量证明线线垂直以及求解二面角的大小，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
20.【答案】解：，
当时，，
由得，即，
当时，得，即．
可得数列是首项为，公比为的等比数列，
即有数列的通项公式为；
，
可得数列的前项和
．
【解析】本题考查等比数列的定义和通项公式，考查裂项相消求和方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
由数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项公式；
求得，再由裂项相消求和即可得到所求和．
21.【答案】解：由题意设椭圆方程为，
则，，又，可得，
，可得．
椭圆的方程为；
证明：设、、点的坐标分别为，，
又易知点的坐标为．
显然直线存在的斜率，设直线的斜率为，则直线的方程是．
将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得．
，．
又，将各点坐标代入得，．
．
【解析】由题意设出椭圆方程，并得到，结合椭圆的离心率及隐含条件列式求得，则椭圆的方程可求；
设直线的斜率为，则直线的方程是将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得然后利用根与系数的关系证明为定值．
本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键，是中档题．
22.【答案】解：，所以．
当时，，函数在函数上单调递减．
当时，若，若，
在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，函数在函数上单调递减．
当时，在上单调递增，在上单调递减．
由恒成立，
可得恒成立，
设，
由题意知时，，
故当时函数单调递增，
所以恒成立，即恒成立，
记，得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，故，又，则，
的取值范围是．
【解析】对求导，由导数与函数单调性的关系判断即可；
构造函数，由其单调性列不等式，转化为最值问题求解即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
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