课件32张PPT。第三章 概 率
3．3 几何概型
3．3.1 几何概型及其概率计算 栏目链接结合已学过两种随机事件发生的概率的方法，更进一步研究试验结果为无穷多时的概率问题，理解几何概型的定义与计算公式． 栏目链接 栏目链接基础梳理区域的长度(面积或体积)成比例几何概率模型 栏目链接3．几何概型的特点：在一个区域内________，只与该区域的________有关．
4．几何概型与古典概型的区别：________________________________________________________________________.
例如：一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；那么他8：00到8：20到的概率是：______.均匀分布大小试验的结果不是有限个 栏目链接自测自评1．如下图所示将一圆四等分，向圆盘内随机撒两粒小米，则两粒米都落在阴影部分的概率是( )A 栏目链接CA 栏目链接 栏目链接 栏目链接 栏目链接题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)右图有两个转盘，转盘上每个扇形的面积都相等，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向A区域(阴影部分)时，甲获胜，否则乙获胜，在两种情形下甲获胜的概率分别是多少？
(2)取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，求剪得两段的长都不小于1米的概率． 栏目链接 栏目链接 栏目链接点评：1.几何概型的计算步骤：2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以角度的大小作为区域度量来计算概率．
3．与角度有关的几何概型的概率计算公式为： 栏目链接 栏目链接跟 踪训 练1．公共汽车站每隔5 min有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3 min的概率． 栏目链接题型二 函数图象相关的应用题与面积有关的几何概型例2 如右图，在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm，4 cm，6 cm，某人站在3 m远向此板投镖．设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问： 栏目链接(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？解析：投中正方形木板上每一点(投中线上或没投中不算)都是一个基本事件，这一点可以是正方形木板上任意一点，因而基本事件有无限多个，且每个基本事件发生的可能性都相等．所以，投中某一部分的概率只与这部分的几何度量(面积)有关，这符合几何概型的条件．
设事件A＝“投中大圆内”；B＝“投中小圆与中圆形成的圆环；”C＝“投中大圆之外”． 栏目链接 栏目链接 栏目链接跟 踪训 练 栏目链接题型三 与体积有关的几何概型例3 在1 L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10 mL，含有小麦锈病种子的概率是多少？ 栏目链接点评：1.病种子在这1升种子中的分布可以看作是随机的，有无限个结果，并且是等可能的，是几何概型．取得的10毫升种子可看作构成事件的区域，1升种子可看作是试验的所有结果构成的区域．
2．要注意使用“几何概型”的条件． 栏目链接跟 踪训 练3．有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率． 栏目链接题型四 与角度有关的几何概型问题例4 在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C.AC＝1，在△ABC的内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率． 栏目链接 栏目链接 栏目链接 栏目链接跟 踪训 练4．如图，已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)在线段BC上任取一点M，求使∠CAM＜30°的概率；
(2)在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM＜30°的概率．
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3．3 几何概型
3．3.1 几何概型及其概率计算
1．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A. B．1－ C. D．1－
答案：B
2．关于几何概型和古典概型的区别，下列说法正确的是( )
A．几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个
B．几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个
C．几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等
D．几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等
答案：B
3．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( )
A. B. C. D.
答案：C
4．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．
答案：
5．(2013·山东卷)在区间[－3,3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________________________________________________________________________．
解析：先求出绝对值不等式的解集，再结合几何概型知识求解．
当x<－1时，不等式可化为－x－1＋x－2≥1，即－3≥1，此式不成立，∴x∈?；
当－1≤x≤2时，不等式可化为x＋1－(2－x)≥1，即x≥1，∴此时1≤x≤2；
当x>2时，不等式可化为x＋1－x＋2≥1，即3≥1，此式恒成立，∴此时x>2.
综上可知，不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集为[1，＋∞)．
∴不等式|x＋1|－|x－2|≥1在区间[－3,3]上的解集为[1,3]，其长度为2.又x∈[－3,3]，其长度为6，由几何概型知识可得P＝＝.
答案：
6.
如右图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点，作射线OC，则∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________．
答案：
7．在体积为V的三棱锥SABC的棱AB上任取一点P，求三棱锥SAPC的体积大于的概率．
解析：如右图，要使VSAPC＞，需有S△APC＞S△ABC，
∴P需满足PB＜AB.∴三棱锥SAPC的体积大于的概率为P＝＝或P＝＝.
8．一个靶子如图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖不会落在黑色靶心上，也不会落在两种颜色之间，求飞镖落在下列区域的概率：
(1)编号为25的区域；
(2)绿色区域(阴影部分)；
(3)编号不小于24的区域；
(4)编号为6号到9号的区域；
(5)编号为奇数的区域；
(6)编号能被5或3整除的阴影区域．
解析：飞镖落在每一个区域的概率是一样的，那么只要计算小扇形的个数就可以了，一共有26个小扇形．这是几何概型问题．
(1)P＝＝；
(2)P＝＝＝；
(3)P＝
＝＝；
(4)P＝＝＝；
(5)P＝＝＝；
(6)阴影部分能被3整除的编号有6,12,18, 24共4个，能被5整除的编号有10,20共2个，
所以P＝＝.
9．甲、乙两人约定6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．
解析：事件A＝“两人能见面”．以x和y分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x－y|≤15，在如图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A的可能结果由图中阴影部分表示．
μA＝602－452＝1 575，μΩ＝602＝3 600，
P(A)＝＝＝.
1．正确理解并掌握几何概型的两个特点是解决相关问题的关键．两个特点为：①在一次试验中，可能出现的结果有无限多个(无限性)；②每个结果发生的可能性相等(等可能性)．
2．求试验为几何概型的概率，关键是求出事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解．
3．适当地选择观察角度是解决有关长度、角度、面积、体积等问题的关键．
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3．3 几何概型
3．3.2 均匀随机数的产生 栏目链接1．了解均匀随机数的概念．
2．掌握利用计算器(计算机Excel软件)产生均匀随机数的方法．
3．会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题． 栏目链接 栏目链接基础梳理1．随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样，它可以帮我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验．用随机模拟方法可起到降低成本、缩短时间的作用．
2．随机数的产生方法．
(1)实例法．
①掷骰子；
②掷硬币； 栏目链接③抽签；
④从一叠纸牌中抽牌；
⑤正多边形旋转器，或钟表式图形转盘等等．
(2)计算器或计算机模拟法．
①现在的大部分科学计算器都能产生0～1之间的均匀随机数(实数)．例如：
ⅰ.利用计算器的RAND函数可以产生[0,1]上的均匀随机数，试验结果是区间[0,1]内的任意一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的． 栏目链接 栏目链接④若要产生[a，b]上的整数随机数可使用取整函数，INT(RAND( )*(b－a)＋a)得到a～b之间的随机整数，并且a～b之间的任何一个整数都是等可能出现的． 栏目链接自测自评1.B 栏目链接C 栏目链接 栏目链接题型一 利用均匀随机数估计π的近似值例1 利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积，并估计π的近似值． 栏目链接 栏目链接点评：对面积型的几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组均匀随机数是不能确定点的位置的，故解决此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的两个坐标，从而确定点的位置，再根据点的个数比来求概率． 栏目链接跟 踪训 练1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－3,5]内的均匀随机数，需实施的变换为( )
A．a＝a1*5 B. a＝a1 *5+3
C. a= *8-3 D. a＝a1*8+3a1C 栏目链接题型二 利用随机模拟方法求概率例2 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大?解析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3]上的均匀随机数，其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪得两段长都不小于1 m．这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内个数之比就是事件A发生的频率． 栏目链接方法一 (1)利用计算器或计算机产生一组(共N个)0到1区间的均匀随机数，a1＝RAND.点评：用随机模拟法估算几何概率的关键是把事件A及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围． 栏目链接跟 踪训 练2．假设小王家订了一份报纸，送报人可能在早上6～8点之间把报纸送到小王家，小王每天离家去工作的时间在早上7～9点之间．
(1)小王离家前不能看到报纸(称事件A)的概率是多少？
(2)请设计一种随机模拟的方法近似计算事件A的概率(包括手工的方法或用计算器、计算机的方法)．
栏目链接跟 踪训 练 栏目链接跟 踪训 练 栏目链接题型三 利用随机模拟方法求面积例3 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积．
分析：如右图所示，在坐标系中画出正方形，用随机模拟的方法可以求出阴影部分与正方形面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值． 栏目链接 栏目链接 栏目链接跟 踪训 练3．曲线y＝－x2＋1与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个区域A，直线x＝0、直线x＝1、直线y＝1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数． 栏目链接 栏目链接跟 踪训 练题型四 古典概型与几何概型的综合问题例4 一条直线型街道的两端A、B的距离为 180 米，为方便群众，增加就业机会，想在中间安排两个报亭C、D，顺序为A、C、D、B.
(1)若由甲乙两人各负责一个，在随机选择的情况下，求甲、乙两人至少一个选择报亭C的概率．
(2)求A与C、B与D之间的距离都不小于60米的概率． 栏目链接 栏目链接③作出区域．如图所示，试验全部结果构成区域Ω为直线x＋y＝180与两坐标轴所围成的△AOB.而事件M所构成区域是三条直线x＝60，y＝60，x＋y＝180所夹中间的阴影部分． 栏目链接 栏目链接跟 踪训 练 栏目链接跟 踪训 练 栏目链接 栏目链接跟 踪训 练数学·必修3(人教A版)
3.2古典概型
3．3.2 均匀随机数的产生
1．用Excel中的随机函数RAND( )如何产生下面范围内的数？
(1)0～1内的随机数；
(2)2～10内的随机数；
(3)－8～2内的随机数；
(4)－6～6内的随机数；
(5)a～b内的随机数；
(6)a～b内的整数随机数．
解析：(1)RAND( )；(2)RAND( )*8＋2；
(3)RAND( )*10－8；(4)RAND( )*12－6；
(5)RAND( ) *(b－a)＋a；
(6)INT(RAND( )*(b－a)＋a)．
2．下列命题不正确的是( )
A．根据古典概型概率计算公式P(A)＝求出的值是事件A发生的概率的精确值
B．根据几何概型概率计算公式P(A)＝求出的值是事件A发生的概率的精确值
C．根据古典概型试验，用计算机或计算器产生的随机整数统计试验次数N和事件A发生的次数N1，得到的值是P(A)的近似值
D．根据几何概型试验，用计算机或计算器产生的均匀随机数统计试验次数N和事件A发生的次数N1，得到的值是P(A)的精确值
答案：D
3．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，求乘客到达站台立即乘上车的概率．
解析：地铁列车每10 min一班，在车站停1 min可以看作在0～1 min这个时间段内，车停在停车点，在1～11 min这个时间段内行驶，乘客到达站台立即乘上车的条件是他在0～1 min这个时间段内到达站台．
设事件A＝{乘客到达站台立即乘上车}．
用计算机随机模拟这个试验步骤如下：
S1 用计算机产生一组[0,1]区间的均匀随机数a1＝RAND；
S2 经过伸缩变换a＝11]统计出试验总次数N和[0,1]内的随机数个数N1；
S4 计算频率fn(A)＝N1/N即为概率P(A)的近似值．
用Excel工作表．
S1 选定A1格，键入“＝RAND( )*11”；再选定A1，按“Ctrl＋C”；选定A2～A1 000，按“Ctrl＋V”．
此时A1～A1 000均为[0,11]区间上的均匀随机数．
S2 选定C1，键入“＝FREQUENCY(A1∶A20,1)”，表示A1～A20中小于或等于1的数的个数；选定C2，键入“＝FREQUENCY(A1∶A50,1)”，表示A1～A50中小于或等于1的数的个数；依此方法可在C3，C4，C5，C6格，得到A1～A100，A1～A200，A1～A500，A1～A1 000中小于或等于1的数的个数．
S3 选定D1，键入“＝C1/20”；选定D2，键入“＝C2/50”；选定D3，键入“＝C3/100”；选定D4，键入“＝C4/200”；选定D5，键入“＝C5/500”；选定D6，键入“＝C6/1 000”．
可分别得到前20次、前50次、前100次、前200次、前500次、前1 000次试验中事件A发生的频率D1，D2，D3，D4，D5，D6；
S4 由频率可估计概率的近似值．
4．如下图，向边长为4的正方形内投飞镖，求飞镖落在中央边长为2的正方形内概率，并写出用计算机模拟该试验的算法．
解析：用几何概型概率计算方法可求得概率
P＝＝.
用计算机随机模拟这个试验步骤如下：
S1 用计数器n记录做了多少次飞镖试验，用计数器m记录其中有多少次投在中央的小正方形内，置初始值n＝0，m＝0；
S2 有函数RAND( )*4－2产生两组－2～2的随机数x，y，x表示所投飞镖的横坐标，y表示所投飞镖的纵坐标；
S3 判断(x，y)是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x|＜1，|y|＜1，如果是则m的值加1，即m＝m＋1，否则m值保持不变；
S4 表示随机试验次数的记录器n加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回步骤S2，否则，程序结束．
程序结束后，飞镖投在小正方形内发生的频率表示概率的近似值，全班同学一块试验，看频率是否在附近波动，次数越多，越有可能稳定在附近．
5．箱子里有3个黄球和6个红球，现在有放回地取球，求取出的球是黄球的概率，并写出用计算机模拟该试验的算法．
解析：用比例算法不难求得取出的球是黄球的概率P＝，用1～9这9个数字中的1,2,3表示黄球，4至9这6个数字表示红球．用取整数随机函数INT(RAND ( )*8＋1)来产生1～9中的整数随机数表示取到的球，有算法如下：
S1 置记录取球次数的记数器n＝0，取到黄球次数的计数器m＝0；
S2 用INT(RAND( )*8＋1)产生一个1～9之间的整数随机数x表示取到球的号数；
S3 如果x≤3，则m＝m＋1，否则m的值不变；
S4 n＝n＋1；
S5 如果还需要继续试验，则返回S2，否则结束程序．程序结束后算出作为出现黄球概率的近似值．
6．在长为18 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．用随机模拟法估计该正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率．
解析：正方形的面积只与边长有关，本题可以转化为在线段AB上任取一点M，使AM的长度介于6 cm与9 cm之间．
设事件A＝{正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间}．
(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换，a＝a1]N1,N)，即为概率P(A)的近似值．
算法为：
INPUT“n＝”；n
m＝0
DO
i＝1
a＝18]
7．利用随机模拟法近似计算下图中阴影部分(曲线y＝9－x2与x轴和y＝x围成的图形)的面积．
解析：设事件A“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”(如下图)．
(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND；
(2)经过伸缩平移变换，x＝(x1－0.5)*6，y＝y1]
(3)统计出试验总次数N和满足条件y＜9－x2及y＞x的点(x，y)的个数N1；
(4)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．
设阴影部分的面积为S，矩形的面积为9×6＝54.由几何概率公式得P(A)＝.
所以，阴影部分面积的近似值为：S≈.
8．甲乙二人用4张扑克牌玩游戏，分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4(方片4用4′表示)，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的情况有哪几种？
解析：(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况列表如下：
乙
甲
2
3
4
4′
2
空格
(2,3)
(2,4)
(2,4′)
3
(3,2)
空格
(3,4)
(3,4′)
4
(4,2)
(4,3)
空格
(4,4′)
4′
(4′，2)
(4′，3)
(4′，4)
空格
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的情况有两种：(3,4)，(3,4′)．
1．本课时是在前几节学习过整数随机数和几何概型基础上，进一步学习均匀随机数的产生方法及如何应用均匀随机数进行随机模拟试验来求几何概型的概率近似值和不规则圆形的面积近似值等实际应用问题．
2．随机模拟试验是研究事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量．我们主要从以下几个方面来考虑：
(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数．如长度型、角度型(一维)只用一组，面积型(二维)需要用两组，体积型(三维)需要用三组．
(2)由所有基本事件总体(基本事件空间)对应区域确定产生随机数的范围．
(3)由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式．
(4)如果随机事件结果需要用整数来表示，可以用取整函数INT产生整数随机数．
(5)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个试验结果的数的范围．
