第二十七章 相似
27.1 图形的相似
知能演练提升
能力提升
1.已知△ABC与△A'B'C'相似,且△ABC与△A'B'C'的相似比为R1,△A'B'C'与△ABC的相似比为R2,则R1与R2的关系是( )
A.R1=R2 B.R1R2=-1
C.R1+R2=0 D.R1R2=1
2.如图,内外两个矩形相似,且对应边平行,则下列结论正确的是( )
A.=1 B.
C. D.以上选项都不对
3.如图,Rt△ABC与Rt△ADE相似,且∠B=60°,CD=2,DE=1,则BC的长为( )
A.2 B.
C.2 D.4
4.如图,在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中,△ABC是格点三角形(三角形的三个顶点都是小正方形的顶点),若以格点P,A,B为顶点的三角形与△ABC相似(全等除外),则格点P的坐标是 .
5.
如图,在长为15 cm,宽为6 cm的矩形ABCD中,截去一个矩形ABFE,使得留下的矩形EFCD与截去的矩形ABFE相似(全等除外),则所截取的线段AE的长度可以是 .
6.已知两个相似的四边形如图所示,根据已知数据,求x,y,α.
7.顺次连接正方形各边的中点得到的图形与原来的正方形是否相似 若相似,它们的相似比是多少
8.如图,OA∶OD=OB∶OC=1∶2,OB=3.
(1)求BC的长;
(2)若AB∶CD=1∶2,AB∥CD,试问△AOB与△DOC相似吗 为什么
9.有16 K和32 K两种纸,把它们纵向放置时,它们的宽度和高度的比可近似地看作相同,其中32 K纸的宽度为130 mm,高度为184 mm;16 K纸的宽度为184 mm,求16 K纸的高度约为多少毫米 (精确到1 mm)
创新应用
★10.生活中到处可见黄金分割的美.如图,在设计人体雕像时,使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若图中b为2米,则a约为( )
A.1.24米 B.1.38米
C.1.42米 D.1.62米
能力提升
1.D 2.C
3.B ∵相似三角形的对应角相等,
∴∠ADE=60°.∴AD=2DE=2,∴AC=4.
在Rt△ADE中,AE=.
又,即,
∴BC=.
4.(1,4)或(3,4)
5.12 cm或3 cm 设AE=x cm,则DE=(15-x)cm.
∵AB=6 cm,AD=15 cm,矩形EFCD与矩形ABFE相似,
∴,即,解得x1=12,x2=3.
故所截取的线段AE的长度是12 cm或3 cm.
6.解 因为四边形的内角和等于360°,所以∠C=360°-30°-120°-130°=80°,所以α=80°.因为AB和GH是对应边,所以两个相似四边形的相似比是5∶8,BC的对应边为HE.所以,即,解得x=6.4.因为AD和GF是对应边,所以,解得y=9.6.
7.解 如图,E,F,G,H四个点分别是大正方形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是正方形.故得到的图形与原来的正方形相似.设正方形ABCD的边长为2,在Rt△AEH中,得HE=,故相似比为.
8.解 (1)∵OB∶OC=1∶2,OB=3,
∴OC=6.∴BC=OB+OC=9.
(2)相似.理由:∵AB∥CD,
∴∠A=∠D,∠B=∠C.
∵OA∶OD=OB∶OC=AB∶CD=1∶2,
且∠AOB=∠COD,
∴△AOB与△DOC相似.
9.解 设16 K纸的高度为x mm,则有184∶x=130∶184,解得x≈260,即16 K纸的高度约为260 mm.
创新应用
10.A27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定(1)
知能演练提升
能力提升
1.如图,DE∥FG∥BC,则图中共有相似三角形( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
2.如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点E在AC边上,过点E作EF∥BC,交AD于点F,过点E作EG∥AB,交BC于点G,则下列式子一定正确的是( )
A. B.
C. D.
★3.如图,已知AD为△ABC的角平分线,DE∥AB交AC于点E.如果,那么等于( )
A. B. C. D.
4.如图,AB∥GH∥CD,点H在BC上,AC与BD交于点G,AB=2,BG∶DG=2∶3,则GH的长为 .
5.在△ABC中,AB=6,AC=9,点D在边AB所在的直线上,且AD=2,过点D作DE∥BC,交边AC所在直线于点E,则CE的长为 .
6.如图,已知ED∥GH∥BC.
(1)若EC=5,HC=2,DG=4,求BG的长;
(2)若AE=4,AC=6,AD=5,求BD的长.
7.如图,已知EC∥AB,∠EDA=∠ABF.求证:
(1)四边形ABCD为平行四边形;
(2)OA2=OE·OF.
8.如图,在4×4的正方形方格中,△ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上.请在图中画一个△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1),且点A1,B1,C1都在单位正方形的顶点上.
创新应用
★9.如图,在水平桌面上的两个“E”,当点P1,P2,O在一条直线上时,在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同.
(1)图中b1,b2,l1,l2满足怎样的关系式
(2)若b1=3.2 cm,b2=2 cm,①号“E”的测试距离l1=8 m,要使测得的视力相同,则②号“E”的测试距离l2应为多少
能力提升
1.C △ADE∽△AFG,△ADE∽△ABC,△AFG∽△ABC,故选C.
2.C
3.B ∵AD为△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠DAE.
又AB∥DE,∴∠BAD=∠ADE,
∴∠DAE=∠ADE,∴AE=ED.
又,设AE=2a(a>0),则EC=3a,
∴ED=2a,AC=5a.
∵△DCE∽△BCA,
∴,即.
∴AB=.∴.
4. ∵AB∥GH∥CD,
∴AG∶GC=BG∶DG=2∶3,
∴GC∶AC=3∶5.
∵AB∥GH,∴△GHC∽△ABC,
∴GC∶AC=GH∶AB,
即3∶5=GH∶2,解得GH=.
5.6或12
6.解 (1)EH=EC-HC=3.∵ED∥GH∥BC,
∴EH∶HC=DG∶BG,
即3∶2=4∶BG,解得BG=.
(2)∵ED∥BC,
∴BA∶AD=CA∶AE,
即BA∶5=6∶4,解得BA=.
∴BD=+5=.
7.证明 (1)∵EC∥AB,
∴∠C=∠ABF.
又∠EDA=∠ABF,
∴∠C=∠EDA.∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)∵EC∥AB,∴.
又AD∥BC,∴,∴,
∴OA2=OE·OF.
8.解 在△ABC中,AB=,BC=2,AC=.
设相似比为.
可得所求三角形的边长分别为1,或2,2,2.
所以可以构造出不同的符合条件的三角形.
如图所示,△A1B1C1或△A1'B1'C1'均符合题意.
创新应用
9.解 (1)∵P1D1∥P2D2,∴△P1D1O∽△P2D2O.
∴,即.
(2)∵,且b1=3.2 cm,b2=2 cm,l1=8 m,,∴l2=5 m.
故②号“E”的测试距离l2应为5 m.第2课时 相似三角形的判定(2)
知能演练提升
能力提升
1.如图,在正三角形ABC中,点D,E分别在AC,AB上,且,AE=BE,则( )
A.△AED∽△BED
B.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABD
D.△BAD∽△BCD
2.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且将这个四边形分成①,②,③,④四个三角形.若OA∶OC=OB∶OD,则下列结论一定正确的是( )
A.①与②相似 B.①与③相似
C.①与④相似 D.②与④相似
3.如图,用两根等长的钢条AC和BD交叉构成一个卡钳,可以用来测量工具内槽的宽度.设=m,且量得CD=b,则内槽的宽AB等于( )
A.mb B.
C. D.
4.如图,∠1=∠2,添加一个条件使得△ADE∽△ACB,这个条件是 .
5.如图,已知∠BAC=∠EAD,AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40.
求证:△ABC∽△AED.
6.如图,已知E是四边形ABCD的对角线BD上的一点,且,∠1=∠2.求证:∠ABC=∠AED.
7.如图,在△ABC与△A'B'C'中,BE,B'E'分别是△ABC,△A'B'C'的中线,且.
求证:△ABC∽△A'B'C'.
8.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形.
(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB
(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.
9.如图,在△ABC中,AB=8 cm,BC=16 cm,点P从点A出发沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动,点Q从点B出发沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动(有一点到达后即停止移动).如果点P,Q同时出发,那么经过几秒后△BPQ与△ABC相似
创新应用
★10.
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠BAD的平分线AE交BC于点E,连接DE.
(1)在图中,用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹,不写作法),并证明四边形ABED是菱形;
(2)若∠ABC=60°,EC=2BE,求证:ED⊥DC.
能力提升
1.B 设AD=k(k>0),则AC=BC=3k,AE=1.5k,CD=2k,所以.
所以.又∠A=∠C=60°,所以△AED∽△CBD.
2.B 3.A 4.
5.证明 ∵AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40,
∴=1.2,=1.2,∴.
又∠BAC=∠EAD,∴△ABC∽△AED.
6.分析 要证∠ABC=∠AED,只需证△ABC∽△AED.已知,故只需证∠BAC=∠EAD,这由∠1=∠2可以解决.
证明 ∵∠1=∠2,∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,即∠BAC=∠EAD.又,∴△ABC∽△AED.
∴∠ABC=∠AED.
7.证明 因为BE,B'E'分别是△ABC,△A'B'C'的中线,
所以.
因为,所以.
所以△BCE∽△B'C'E'.所以∠C=∠C'.
又因为,所以△ABC∽△A'B'C'.
8.解 (1)∵∠ACP=∠PDB=120°,∴当,
即,也就是CD2=AC·DB时,△ACP∽△PDB.
(2)∵△ACP∽△PDB,∴∠A=∠DPB.
∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB=∠APC+∠A+∠CPD=∠PCD+∠CPD=120°.
9.解 设经过t s后,△BPQ与△ABC相似.
因为∠B为公共角,所以要使△BPQ与△ABC相似,只需,即,解得t=0.8或t=2(均小于4).
所以经过0.8 s或2 s后,△BPQ与△ABC相似.
创新应用
10.(1)解 如图.
证明:∵AB=AD,AE为∠BAD的平分线,∴BG=DG.∵AD∥BC,∴∠ADG=∠GBE,∠DAG=∠GEB,∴△ADG≌△EBG.∴AG=GE,∴四边形ABED为平行四边形.
∵AB=AD,∴四边形ABED是菱形.
(2)证明 ∵四边形ABED是菱形,∠ABC=60°,
∴∠DBE=∠BDE=30°,∠BGE=90°.
设GE=a,
∴BD=2BG=2a,BE=2a,CE=4a,BC=6a.
∴.
∵∠DBE为公共角,∴△BDE∽△BCD,
∴∠BDE=∠C.∴∠C=30°.∵DE∥AB,
∴∠DEC=∠ABC=60°,
∴∠CDE=90°,∴ED⊥DC.第3课时 相似三角形的判定(3)
知能演练提升
能力提升
1.如图,在△ABC中,高BD,CE交于点O,下列结论错误的是 ( )
A.CO·CE=CD·CA B.OE·OC=OD·OB
C.AD·AC=AE·AB D.CO·DO=BO·EO
2.在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A,B),过点P的一条直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图,∠A=36°,AB=AC,当点P在AC的垂直平分线上时,过点P的△ABC的相似线最多有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
3.如图,在等边三角形ABC中,D为边BC上一点,E为边AC上一点,且∠ADE=60°,BD=3,CE=2,则△ABC的边长为( )
A.9 B.12 C.15 D.18
4.在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,下列条件不能判定这两个三角形相似的是( )
A.∠A=55°,∠D=35°
B.AC=9,BC=12,DF=6,EF=8
C.AC=3,BC=4,DF=6,DE=8
D.AB=10,BC=6,DE=15,EF=9
5.
如图,在平面直角坐标系中有两点A(4,0),B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合),当点C的坐标为 或 时,使得由点B,O,C组成的三角形与△AOB相似.(全等除外,填写出满足条件的点的坐标)
6.如图,直线y=-2x+4与x轴、y轴分别相交于A,B两点,C为OB上一点,且∠1=∠2,则S△ABC= .
7.如图,△ABC是等边三角形,CE是外角平分线,点D在AC上,连接BD并延长与CE交于点E.
(1)求证:△ABD∽△CED;
(2)若AB=6,AD=2CD,求BE的长.
8.如图,已知∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2,问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似
9.如图,点E是四边形ABCD的对角线BD上一点,且∠BAC =∠BDC =∠DAE.
(1)求证:BE·AD=CD·AE;
(2)根据图形的特点,猜想可能等于哪两条线段的比(只需写出图中已有线段的一组即可),并说明理由.
★10.如图,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动,点D在线段BC的左侧,点E在线段BC的右侧.设BD=x,CE=y.
(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y关于x的函数解析式.
(2)如果∠BAC的度数为α,∠DAE的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中的y关于x的函数解析式还成立 试说明理由.
创新应用
★11.将事物进行分类,然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法.请依据分类讨论的方法解决下列问题:
如图,在△ABC中,∠ACB>∠ABC.
(1)若∠BAC是锐角,请探索在直线AB上有多少个点D,能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)
(2)请对∠BAC进行恰当的分类,直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)的点D的个数.
能力提升
1.D
2.C 如图,过点P作PD∥BC,则有△APD∽△ABC;连接PC并延长,易知PC平分∠ACB,则有△CPB∽△ABC;过点P作PE∥AC,则有△PBE∽△ABC,所以符合题意的相似线最多有3条.
3.A 因为△ABC是等边三角形,所以AB=BC,∠B=∠C=60°.由∠ADE=60°,得∠ADB+∠EDC=120°,又因为∠ADB+∠BAD=120°,所以∠BAD=∠EDC.所以△ABD∽△DCE.则,设AB=BC=x,即,解得x=9.
4.C 选项A,∵∠A=55°,∴∠B=90°-55°=35°.
∵∠D=35°,∴∠B=∠D.
∵∠C=∠F,∴△ABC∽△DEF;
选项B,∵AC=9,BC=12,DF=6,EF=8,
∴.
又∠C=∠F,∴△ABC∽△DEF;
选项C,有一组角相等,两边对应成比例,但相等的两个角不是成比例的两边的夹角,故不相似;
选项D,∵AB=10,BC=6,DE=15,EF=9,∠C=∠F=90°,
∴AC=8,DF=12,∴,
∴△ABC∽△DEF.故选C.
5.(1,0) (-1,0)
6.3 由已知得OA=2,OB=4.因为∠1=∠2,∠AOB=∠AOC,所以△AOC∽△BOA.
所以,即.所以OC=1,BC=OB-OC=3.于是得S△ABC=BC·OA=3.
7.(1)证明 ∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°,∠ACF=120°.∵CE是外角平分线,∴∠ACE=60°,∴∠BAC=∠ACE.
又∠ADB=∠CDE,∴△ABD∽△CED.
(2)解 过点B作BM⊥AC于点M.
∵AC=AB=6,
∴AM=CM=3,BM==3.
∵AD=2CD,∴CD=2,AD=4,MD=1.
在Rt△BDM中,BD==2.
由(1)知△ABD∽△CED,得=2,
∴ED=,∴BE=BD+ED=3.
8.解 在Rt△ACD中,AC=,AD=2,由勾股定理,得CD=.
当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有,
所以AB==3.
当Rt△ABC∽Rt△CAD时,有,
所以AB==3.
故当AB的长为3或3时,这两个直角三角形相似.
9.(1)证明 ∵∠DAE =∠BAC,
∴∠DAC=∠BAE.
又∠BDC=∠BAC,∠DOC =∠AOB,
∴∠DCA =∠EBA.
∴△ABE∽△ACD.∴,
即BE·AD =CD·AE.
(2)解 .理由:由△ABE∽△ACD,得.
∵∠DAE=∠BAC,∴△ABC∽△AED.
∴.
10.解 (1)∵∠BAC=30°,∠DAE=105°,∴∠DAB+∠ADB=(180°-30°)=75°,∠DAB+∠EAC=105°-30°=75°,∴∠ADB=∠EAC.
又∠ABD=∠ACE=180°-75°=105°,
∴△ABD∽△ECA,
∴,即xy=1.
(2)要使xy=1还成立,即△ABD∽△ECA,此时∠ABC=∠ACB=(180°-α),即∠ADB+∠DAB=(180°-α).∵∠ADB=∠EAC,
∴∠EAC+∠DAB=(180°-α).
∴β-α=(180°-α),β=90°+α.
故当α,β满足关系式β=90°+α时,(1)中y关于x的函数解析式还成立.
创新应用
11.解 (1)①如图,若点D在线段AB上,由于∠ACB>∠ABC,因此可以作一个点D满足∠ACD=∠ABC,使得△ACD∽△ABC.
②如图,若点D在线段AB的延长线上,则∠ACD>∠ACB>∠ABC,与条件矛盾,因此,这样的点D不存在.
③如图,若点D在线段AB的反向延长线上,由于∠BAC是锐角,因此∠BAC<90°<∠CAD,不可能有△ACD∽△ABC.因此,这样的点D不存在.综上所述,这样的点D有一个.
(2)若∠BAC为锐角,则由(1)知,这样的点D有一个;
若∠BAC为直角,则这样的点D有两个;
若∠BAC为钝角,则这样的点D有一个.27.2.2 相似三角形的性质
知能演练提升
能力提升
1.已知两个相似三角形对应边上的中线的比为3∶2,则其相应面积之比为( )
A. B.3∶2
C.9∶4 D.不能确定
2.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,且DE∥BC,BE交DC于点F.若EF∶FB=1∶3,则的值为( )
A. B.
C. D.以上选项都不对
3.如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,且DE∥AC,AE,CD相交于点O,若S△DOE∶S△COA=1∶25,则S△BDE与S△CDE的比是( )
A.1∶3 B.1∶4
C.1∶5 D.1∶25
4.已知一山谷的横断面示意图如图所示,AA'为15 m,用曲尺(两直尺相交成直角)从山谷两侧测量出OA=1 m,OB=3 m,O'A'=0.5 m,O'B'=3 m(点A,O,O',A'在同一条水平线上),则该山谷的深h为 m.
5.如图,已知△ABC的面积是12,BC=6,点E,I分别在边AB,AC上,在BC边上依次作了n个全等的小正方形DEFG,GFMN,…,KHIJ,则每个小正方形的边长为 .
6.如图,在 ABCD中,P为边AD上的一点,E,F分别是PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2.若S=2,则S1+S2= .
7.
如图,在 ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=CD.
(1)求证:△ABF∽△CEB;
(2)若△DEF的面积为2,求 ABCD的面积.
8.
某社区拟筹资金2 000元,计划在一块上、下底分别是10 m,20 m的梯形空地上种植花木(如图所示),他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/平方米的太阳花.当△AMD地带种满花后,已经花了500元,请你预算一下,若继续在△BMC地带种植同样的太阳花,资金是否够用 并说明理由.
创新应用
★9.下列图形中,图①是边长为1的阴影正三角形,连接它的各边中点,挖去中间的三角形得到图②;再分别连接剩下的每个阴影三角形各边中点,挖去中间的三角形得到图③;再用同样的方法得到图④.
(1)请你求出图④中阴影部分的面积;
(2)若再用同样的方法继续下去,试猜想图○n中阴影部分的面积.
能力提升
1.C
2.B 由△DEF∽△CBF,求得,再由△ADE∽△ABC,求得.
3.B 由DE∥AC,可得△DOE∽△COA,△BDE∽△BAC,而△DOE与△COA的面积比为1∶25,所以这两个三角形的相似比为1∶5,即DE∶CA=1∶5.根据△BDE∽△BAC,得BE∶BC=DE∶CA=1∶5,所以BE∶EC=1∶4.因为△BDE与△CDE的高相等,底边BE∶EC=1∶4,所以S△BDE与S△CDE的比是1∶4.
4.30 如图,将线段A'B'向左平移,使B'与B重合,交AA'于点C.
因为BC∥A'B',所以△ABC∽△ADA',,
即,所以h=30(m).
5. 设△ABC底边BC上的高为h,每个小正方形的边长为x,则EI=nx,根据三角形的面积公式可得12=×6×h,解得h=4,所以△AEI底边EI上的高为(4-x).因为四边形EIJD为矩形,所以EI∥BC,所以△AEI∽△ABC,所以,解得x=.
6.8 由于E,F分别是PB,PC的中点,根据中位线的性质知EF∥BC,且EF=BC.易得△PEF∽△PBC,且其面积的比是1∶4.由S=2,得△PBC的面积为8.又根据平行四边形的性质,把S1+S2看作整体,求得S1+S2=S△PBC=8.
7.(1)证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AB∥CD.
∴∠ABF=∠CEB,
∴△ABF∽△CEB.
(2)解 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB CD.
∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.
∵DE=CD,
∴,
.
∵S△DEF=2,
∴S△CEB=18,S△ABF=8.
∴S四边形BCDF=S△BCE-S△DEF=16.
∴S ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.
8.解 不够用.理由:在梯形ABCD中,AD∥BC,
所以△AMD∽△CMB.
因为AD=10 m,BC=20 m,
所以.
因为S△AMD=500÷10=50(m2),
所以S△BMC=200 m2.
还需要资金200×10=2 000(元),
而剩余资金为2 000-500=1 500(元)<2 000(元),
所以资金不够用.
创新应用
9.解 (1)图①中正三角形的面积为.图②中空白三角形与原三角形的相似比为1∶2,因此其面积比为1∶4,所以图②中阴影部分的面积为.同理图③中阴影部分的面积为,图④中阴影部分的面积为.
(2)图○n中阴影部分的面积为.27.2.3 相似三角形应用举例
知能演练提升
能力提升
1.如图,小明在打网球时,要使球恰好能过网,而且落在离网5 m的位置上,则球拍击球的高度h应为( )
A.1.8 m B.2.7 m
C.3.6 m D.4.5 m
2.已知某建筑物在地面上的影长为36 m,同时高为1.2 m的测杆影长为2 m,则该建筑物的高为 m.
3.如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2 m的标杆CD和EF,两标杆相隔52 m,并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内.从标杆CD后退2 m到点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆FE后退4 m到点H处,在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上,则建筑物的高是 m.
4.已知正方形ABCD的边长为4,M,N分别是BC,CD上的两个动点,且始终保持AM⊥MN.当BM= 时,四边形ABCN的面积最大.
5.如图,一段街道的两边缘所在直线分别为AB,PQ,并且AB∥PQ.建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M,交PQ于点N.小亮从胜利街的A处,沿着AB方向前进,小明一直站在点P的位置等候小亮.
(1)请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线,以及此时小亮所在位置(用点C标出);
(2)若MN=20 m,MD=8 m,PN=24 m,求(1)中的点C到胜利街口的距离CM.
6.某水库上游的防洪堤,其截面为如图所示的梯形.堤的上底AD和堤高DF都是6 m,其中∠B=∠CDF.
(1)求证:△ABE∽△CDF;
(2)若=2,求堤的下底BC的长.
7.如图,在一个长为40 m,宽为30 m的长方形小操场上,王刚从点A出发,沿着A→B→C的路线以3 m/s的速度跑向C地,当他出发4 s后,张华有东西需要交给他,就从A地出发沿王刚走的路线追赶.当张华跑到距B地2 m的D处时,他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上,此时,A处有一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.
(1)求他们的影子重叠时,两人相距多少米(DE的长).
(2)求张华追赶王刚的速度是多少.(精确到0.1 m/s)
创新应用
8.教学楼旁边有一棵树,课外数学兴趣小组在阳光下,测得一根长为1 m 的竹竿影长为0.9 m,可是他们马上测树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的墙壁上(如图),经过一番争论,该小组的同学认为继续测量也可以求出树高.他们测得落在地面的影长为2.7 m,落在墙壁上的影长为1.2 m,请你和他们一起计算一下,树高为多少
能力提升
1.B
2.21.6 设建筑物的高为x m,由题意,得x∶36=1.2∶2,解得x=21.6.
3.54
4.2 设BM=x,则MC=4-x,
当AM⊥MN时,利用互余关系可证△ABM∽△MCN,所以,即,得CN=x-.
而S四边形ABCN=×4=-+2x+8=-(x-2)2+10,
故当x=2时,四边形ABCN的面积最大.
5.解 (1)如图,CP为视线,点C为所求位置.
(2)因为AB∥PQ,MN⊥AB于点M,
所以∠CMD=∠PND=90°.
又因为∠CDM=∠PDN,
所以△CDM∽△PDN,所以.
而MN=20 m,MD=8 m,PN=24 m,即,
所以CM=16 m,即点C到胜利街口的距离CM为16 m.
6.(1)证明 在△ABE和△CDF中,∠AEB=∠CFD=90°,∠B=∠CDF,∴△ABE∽△CDF.
(2)解 ∵=2,AE=DF=6 m,∴BE=AE=3 m.
又△ABE∽△CDF,∴,
∴CF=·DF=2×6=12(m).
易知AD=EF=6 m,
∴BC=BE+EF+FC=3+6+12=21(m).
7.解 (1)由阳光与影子的性质,可知DE∥AC,∴∠BDE=∠BAC,∠BED=∠BCA.∴△BDE∽△BAC,
∴.∵AC==50(m),BD= m,AB=40 m,∴DE= m.
(2)BE==2 m,
王刚到达E处所用的时间为=14(s),张华到达D处所用的时间为14-4=10(s),张华追赶王刚的速度为÷10≈3.7(m/s).
创新应用
8.解法一 画出简图如图1,延长AD,BE相交于点C,则CE就是树影长的一部分,
由题意,得,
即.所以CE=1.08(m).
于是BC=BE+EC=2.7+1.08=3.78(m).
同理,有,即,
解得AB=4.2(m),即树高为4.2 m.
图1 图2
解法二 画出简图如图2,过点E作EF∥AD,交AB于点F,则四边形AFED为平行四边形,
所以AF=DE=1.2 m.又由题意,得,
即,解得BF=3(m).所以AB=AF+BF=3+1.2=4.2(m),即树高为4.2 m.27.3 位似
知能演练提升
能力提升
1.已知小孔成像原理的示意图如图所示,根据图中所标注的尺寸,这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是( )
A. cm B. cm C. cm D.1 cm
2.在平面直角坐标系中,已知点E(-4,2),F(-2,-2),以原点O为位似中心,相似比为,把△EFO缩小,则点E的对应点E'的坐标是( )
A.(-2,1) B.(-8,4)
C.(-8,4)或(8,-4) D.(-2,1)或(2,-1)
3.在任意一个三角形内部,画一个小三角形,使其各边与原三角形各边平行,则它们的位似中心是( )
A.一定点
B.原三角形三边垂直平分线的交点
C.原三角形角平分线的交点
D.位置不定的一点
4.如图,将△ABC的三边分别放大为原来的2倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上),它们是以点P为位似中心的位似图形,则点P的坐标是( )
A.(-4,-3) B.(-3,-3)
C.(-4,-4) D.(-3,-4)
5.如图,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,记所得的图形是△A'B'C.设点B的对应点B'的横坐标是a,则点B的横坐标是( )
A.-a B.-(a+1)
C.-(a-1) D.-(a+3)
6.下列关于位似图形的表述正确的是 .(只填序号)
①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形
②位似图形一定有位似中心
③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么,这两个图形是位似图形
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比
7.如图,原点O是△ABC和△A'B'C'的位似中心,点A(1,0)与A'(-2,0)是对应点,△ABC的面积是,则△A'B'C'的面积是 .
8.如图,梯形ABCD的四个顶点分别为A(0,6),B(2,2),C(4,2),D(6,6).按下列要求画图.
(1)在平面直角坐标系中,画出以原点O为位似中心,相似比为的位似图形A1B1C1D1;
(2)画出位似图形A1B1C1D1向下平移5个单位长度后的图形A2B2C2D2.
9.
如图,为测量有障碍物相隔的A,B两点间的距离,在适当处放置一水平桌面,铺上白纸,在点A,B处立上标杆,在纸上立大头针于点O,通过观测,在纸上确定了点C.已知O,C,A在同一条直线上,并且OA的长为OC的100倍,问接下来怎么做,就能得出A,B两点间的距离
创新应用
★10.已知平面直角坐标系如图所示.
(1)描出下列各点:A(1,0),B(3,0),C(3,3),D(0,1),并将这些点用线段依次连接起来;
(2)以坐标原点O为位似中心,把(1)中所得图形放大为原来的2倍.
★11.如图,在平面直角坐标系网格中,将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1.
(1)求△A1B1C1与△ABC的相似比;
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2;
(3)设点P(a,b)为△ABC内一点,求依上述两次变换后,点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标.
能力提升
1.D 易得△ABO∽△CDO,所以.所以CD=1(cm).
2.D 3.D
4.A 因为是放大为原来的2倍,且点A1,A同在一条纵线上,所以点P一定也在A1A的延长线上,设AP=x,所以有,解得x=5,所以点P的坐标是(-4,-3).
5.D 假设将点C平移到原点,则此时点B'的横坐标为a+1,则点B的横坐标为-(a+1),故原来的点B的横坐标为-(a+1)-1,即-(a+3).
6.②③
7.6 由题意得,相似比为2,所以S△ABC∶S△A'B'C'=1∶4,
即∶S△A'B'C'=1∶4,所以S△A'B'C'=6.
8.解 (1)图形A1B1C1D1如图所示;
(2)图形A2B2C2D2如图所示.
9.解 再在纸上确定点D,使点O,B,D在一条直线上,且OB是OD的100倍,然后,再在纸上量出C,D两点间的距离,将其放大100倍即得A,B两点间的距离.
创新应用
10.解 如图.
(1)顺次连接点A,B,C,D得四边形ABCD;
(2)以点O为位似中心,把四边形ABCD放大为原来的2倍,得新四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2.
11.解 (1)△A1B1C1与△ABC的相似比等于=2.
(2)如图所示.
(3)点P(a,b)为△ABC内一点,依次经过题中的两次变换后,点P的对应点P2的坐标为(-2a,2b).
