第十八章 平行四边形 测试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 第十八章 平行四边形 测试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 209.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-15 20:14:15 | ||
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文档简介
第十八章 平行四边形 测试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，在 ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8cm，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长等于( )
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
2．一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是( )
A．88°，108°，88° B．88°，104°，108° C．88°，92°，92° D．88°，92°，88°
3．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )
A．8 B．4 C．8 D．16
4．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．内角和为360° B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
5．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO、AB于点M、N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线ON′交BC于点E.若AB＝8，则线段OE的长为( )
A．2 B．4 C． D．6
6．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是6cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和直线b之间的距离是( )
A．3cm B．9cm C．3cm或9cm D．6cm
7．如图所示，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，则下列结论中错误的是( )
A．GE＝GD B．GF⊥DE C．GF平分∠DGE D．∠DGE＝60°
8．在△ABC中，点D是边BC上的点(与B、C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法正确的是( )
A．若AD⊥BC、则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
9．如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是( )
A．3 B． C．5 D．
10．如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，AE∶DE＝4∶3，则下列结论中正确的个数为( )
①DE＝3cm；②EB＝1cm；③S菱形ABCD＝15cm2；④AC＝3cm.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(每小题3分，共24分)
11． ABCD中，∠A＝115°，CE⊥AB，垂足为E，则∠B＝ ，∠D＝ ，∠BCE＝ .
12．如图，人字形屋梁中，AB＝AC，E、F、D分别是AB、AC、BC的中点．若AB＝6米，∠B＝30°，则支撑人字形屋梁的木料DE、AD、DF的长共 米．
13．矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的和为8cm，则这个矩形的一条较短边为 .
14．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件 ，使四边形ABCD成为菱形(只需添加一个即可)．
15．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是 .
16．菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线的长度是 cm.
17．在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD＝11，EF＝5，则AB＝ .
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA、EB为折痕将两个角(∠D、∠C)向内折叠，点C、D恰好落在AB边的点F处．若AD＝2，BC＝3，则EF的长为 .
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图1， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E、F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)如图2，若过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于E、F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性的结论？
20．(8分)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．
(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)
请根据上图完成这个推论的证明过程．
证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－ ＋ ．
易知，S△ADC＝S△ABC， ＝ ， ＝ ，
可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.
21．(8分)如图所示，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
23．(10分)已知：如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
(1)求证：AB＝AF；
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
24．(10分)已知：如图，在菱形ABCD中，点E、O、F分别是AB、AC、AD的中点，连接CE、CF、OE、OF.
(1)证明：△BCE≌△DCF；
(2)当AB与AD满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
25．(12分)问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图(1)证明上述结论．
【类比引申】
如图(2)，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF＝BE＋FD．
【探究应用】
如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40(－1)米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长(结果取整数，参考数据：＝1.41，＝1.73)．
1
参考答案
1-10
CDACB CDDCA
11. 65° 65° 25°
12. 9
13. 2cm
14. 答案不唯一，如OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC
15. 10cm或2cm或4cm
16. 5
17. 8或3
18.
19. (1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE＝OF；
(2)解：能得到(1)中的结论．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE＝OF.一般性的结论是：过平行四边形的对角线的交点O作一条直线与平行四边形相对的边或延长线相交于E、F两点，则OE＝OF.
20. (S△AEF S△CFM) S△ANF S△AEF S△FGC S△CFM
21. (1)证明：∵菱形ABCD，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝EC；
(2)解：∵平行四边形BECD，∴BD∥CE，∴∠ABO＝∠E＝50°，又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.
22. (1)证明：∵E是AC的中点，∴EC＝AC，∵DB＝AC，∴DB＝EC，又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC＝DE.
(2)解：添加AB＝BC．理由：∵DB∥AE，DB＝AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC＝DE，AB＝BC，∴AB＝DE.∴ ADBE是矩形．
23. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥BF，DC＝AB，∴∠GAF＝∠GDC，∠GFA＝∠GCD．∵点G为AD的中点，∴AG＝DG，在△GAF和△GDC中，，∴△GAF≌△GDC(AAS)，∴AF＝DC，∴AB＝AF；
(2)解：四边形ACDF是矩形．证明如下：∵AB＝AF，∴点A是BF的中点，∵点G是AD的中点，AG＝AB，∴BF＝AD．∵在 ABCD中，AD＝BC，∴BF＝BC，∴△BCF为等腰三角形，∴∠BFC＝∠BCF.∵BF∥DC，∴∠BFC＝∠FCD，∴∠BCF＝∠FCD＝∠BCD＝60°，∴△BCF为等边三角形，∴FC＝BC，由(1)知AF＝DC，AF∥DC，∴四边形ACDF为平行四边形．∵FC＝BC＝AD，∴四边形ACDF是矩形．
24. (1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D．又E、F分别是AB、AD的中点，∴BE＝DF，∴△BCE≌△DCF(SAS)；
(2)解：若AB⊥AD，则四边形AEOF为正方形，理由如下：∵E、O分别是AB、AC的中点，∴EO∥BC，又BC∥AD，∴OE∥AD，即OE∥AF，同理可证：OF∥AE，所以四边形AEOF为平行四边形，由(1)可得AE＝AF，所以平行四边形AEOF为菱形，因为AD⊥AB，所以∠BAD＝90°，所以菱形AEOF为正方形．
25. 【发现证明】证明：如图(1)，∵△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵∠EAF＝45°，即∠DAF＋∠BAE＝∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠FAE，在△GAF和△FAE中，，∴△AFG≌△AFE(SAS)．∴GF＝EF.又∵DG＝BE，∴GF＝BE＋DF，∴BE＋DF＝EF.
【类比引申】解：∠BAD＝2∠EAF.
【探究应用】解：如图，延长BA与CD交于点G，连接AF.∵∠BAD＝150°，∠ADC＝120°，∴∠DAG＝30°，∠ADG＝60°，∴∠AGD＝90°，∵AD＝AB＝80，∴AG＝40，DG＝40，∵DF＝40(－1)，∴GF＝40，∴AG＝GF，∴∠GAF＝45°，∴∠DAF＝15°，∵AE⊥AD，∴∠EAF＝90°－15°＝75°＝∠BAD，又∵AB＝AD，由(2)得，EF＝BE＋DF＝80＋40(－1)≈109(米)，即这条道路EF的长约为109米．
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，在 ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8cm，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长等于( )
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
2．一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是( )
A．88°，108°，88° B．88°，104°，108° C．88°，92°，92° D．88°，92°，88°
3．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )
A．8 B．4 C．8 D．16
4．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．内角和为360° B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
5．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO、AB于点M、N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线ON′交BC于点E.若AB＝8，则线段OE的长为( )
A．2 B．4 C． D．6
6．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是6cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和直线b之间的距离是( )
A．3cm B．9cm C．3cm或9cm D．6cm
7．如图所示，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，则下列结论中错误的是( )
A．GE＝GD B．GF⊥DE C．GF平分∠DGE D．∠DGE＝60°
8．在△ABC中，点D是边BC上的点(与B、C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法正确的是( )
A．若AD⊥BC、则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
9．如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是( )
A．3 B． C．5 D．
10．如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，AE∶DE＝4∶3，则下列结论中正确的个数为( )
①DE＝3cm；②EB＝1cm；③S菱形ABCD＝15cm2；④AC＝3cm.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(每小题3分，共24分)
11． ABCD中，∠A＝115°，CE⊥AB，垂足为E，则∠B＝ ，∠D＝ ，∠BCE＝ .
12．如图，人字形屋梁中，AB＝AC，E、F、D分别是AB、AC、BC的中点．若AB＝6米，∠B＝30°，则支撑人字形屋梁的木料DE、AD、DF的长共 米．
13．矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的和为8cm，则这个矩形的一条较短边为 .
14．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件 ，使四边形ABCD成为菱形(只需添加一个即可)．
15．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是 .
16．菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线的长度是 cm.
17．在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD＝11，EF＝5，则AB＝ .
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA、EB为折痕将两个角(∠D、∠C)向内折叠，点C、D恰好落在AB边的点F处．若AD＝2，BC＝3，则EF的长为 .
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图1， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E、F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)如图2，若过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于E、F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性的结论？
20．(8分)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．
(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)
请根据上图完成这个推论的证明过程．
证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－ ＋ ．
易知，S△ADC＝S△ABC， ＝ ， ＝ ，
可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.
21．(8分)如图所示，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
23．(10分)已知：如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
(1)求证：AB＝AF；
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
24．(10分)已知：如图，在菱形ABCD中，点E、O、F分别是AB、AC、AD的中点，连接CE、CF、OE、OF.
(1)证明：△BCE≌△DCF；
(2)当AB与AD满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
25．(12分)问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图(1)证明上述结论．
【类比引申】
如图(2)，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF＝BE＋FD．
【探究应用】
如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40(－1)米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长(结果取整数，参考数据：＝1.41，＝1.73)．
1
参考答案
1-10
CDACB CDDCA
11. 65° 65° 25°
12. 9
13. 2cm
14. 答案不唯一，如OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC
15. 10cm或2cm或4cm
16. 5
17. 8或3
18.
19. (1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE＝OF；
(2)解：能得到(1)中的结论．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE＝OF.一般性的结论是：过平行四边形的对角线的交点O作一条直线与平行四边形相对的边或延长线相交于E、F两点，则OE＝OF.
20. (S△AEF S△CFM) S△ANF S△AEF S△FGC S△CFM
21. (1)证明：∵菱形ABCD，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝EC；
(2)解：∵平行四边形BECD，∴BD∥CE，∴∠ABO＝∠E＝50°，又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.
22. (1)证明：∵E是AC的中点，∴EC＝AC，∵DB＝AC，∴DB＝EC，又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC＝DE.
(2)解：添加AB＝BC．理由：∵DB∥AE，DB＝AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC＝DE，AB＝BC，∴AB＝DE.∴ ADBE是矩形．
23. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥BF，DC＝AB，∴∠GAF＝∠GDC，∠GFA＝∠GCD．∵点G为AD的中点，∴AG＝DG，在△GAF和△GDC中，，∴△GAF≌△GDC(AAS)，∴AF＝DC，∴AB＝AF；
(2)解：四边形ACDF是矩形．证明如下：∵AB＝AF，∴点A是BF的中点，∵点G是AD的中点，AG＝AB，∴BF＝AD．∵在 ABCD中，AD＝BC，∴BF＝BC，∴△BCF为等腰三角形，∴∠BFC＝∠BCF.∵BF∥DC，∴∠BFC＝∠FCD，∴∠BCF＝∠FCD＝∠BCD＝60°，∴△BCF为等边三角形，∴FC＝BC，由(1)知AF＝DC，AF∥DC，∴四边形ACDF为平行四边形．∵FC＝BC＝AD，∴四边形ACDF是矩形．
24. (1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D．又E、F分别是AB、AD的中点，∴BE＝DF，∴△BCE≌△DCF(SAS)；
(2)解：若AB⊥AD，则四边形AEOF为正方形，理由如下：∵E、O分别是AB、AC的中点，∴EO∥BC，又BC∥AD，∴OE∥AD，即OE∥AF，同理可证：OF∥AE，所以四边形AEOF为平行四边形，由(1)可得AE＝AF，所以平行四边形AEOF为菱形，因为AD⊥AB，所以∠BAD＝90°，所以菱形AEOF为正方形．
25. 【发现证明】证明：如图(1)，∵△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵∠EAF＝45°，即∠DAF＋∠BAE＝∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠FAE，在△GAF和△FAE中，，∴△AFG≌△AFE(SAS)．∴GF＝EF.又∵DG＝BE，∴GF＝BE＋DF，∴BE＋DF＝EF.
【类比引申】解：∠BAD＝2∠EAF.
【探究应用】解：如图，延长BA与CD交于点G，连接AF.∵∠BAD＝150°，∠ADC＝120°，∴∠DAG＝30°，∠ADG＝60°，∴∠AGD＝90°，∵AD＝AB＝80，∴AG＝40，DG＝40，∵DF＝40(－1)，∴GF＝40，∴AG＝GF，∴∠GAF＝45°，∴∠DAF＝15°，∵AE⊥AD，∴∠EAF＝90°－15°＝75°＝∠BAD，又∵AB＝AD，由(2)得，EF＝BE＋DF＝80＋40(－1)≈109(米)，即这条道路EF的长约为109米．