2023-2024学年苏教版高一下学期数学开学摸底测试卷(含解析)

2023-2024学年苏教版高一下学期开学摸底测试卷
一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.已知某纸扇的扇环如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和10的两个同心圆上的弧（长度单位为cm），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为，则扇面（扇环）的面积是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的，均有.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．函数图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则等于（ ）
A． B．0 C． D．
7．函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数在上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．设表示不超过x的最大整数，如，，已知函数，（）．下列结论正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．当时，函数的值域是
C．若方程只有一个实数根，则
D．若方程有两个不相等的实数根，则
11．已知函数，则以下说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数
12．已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且当时，，则下列选项正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．关于点对称
D．关于点对称
三、填空题
13．已知，则 ．
14．已知函数在上是增函数，则的取值范围是 .
15．将函数图象上所有点的橫坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为 ．
16．已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是 ．
四、解答题
17．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)画出函数的图象，并写出的单调区间；
(2)求出的解析式.
18．定义在上的幂函数.
(1)求的解析式；
(2)已知函数，若关于的方程恰有两个实根，且，求的取值范围.
19．如图①，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图②，一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水下则为负数），与时间（单位：）之间的关系是.
(1)盛水筒旋转一周需要多少秒？盛水筒出水后至少经过多少秒就可以达到最高点；
(2)当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态），并说明理由.
20．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“倒戈函数”.
(1)已知函数，试判断是否为“倒戈函数”，并说明理由；
(2)若为定义在上的“倒戈函数”，求函数在的最小值.
21．某城市2024年1月1日的空气质量指数（简称AQI）与时间（单位：小时）的关系满足如图连续曲线，并测得当天AQI的取大值为106.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数图象的一部分.根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于101时，空气就属于污染状态.
(1)求函数的解析式；
(2)该城市2024年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由.
22．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标变为原来的2倍.得到函数的图象.
(1)求的解析式；
(2)若是奇函数，求的值；
(3)求在上的最小值与最大值.
参考答案：
1．C
【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题.
【详解】命题“，”的否定是”，”.
故选：C.
2．D
【分析】根据数轴，直接求两个集合的交集.
【详解】如图，只有当时，集合有交集，此时.
故选：D
3．A
【分析】利用扇形的面积公式进行求解即可.
【详解】因为上、下两条弧分别在半径为30和10的圆上，圆心角为，
由扇形面积公式，所以两个扇形的面积分别为，
所以扇面的面积为.
故选：A.
4．C
【分析】由题意得在上单调递减，由不等式即可求解.
【详解】解：令，得；再令，得，
故为上的奇函数，
设，且，则，得，即，
所以，得，
所以在上单调递减，
当时，得，即，
解得：，
故选：C
5．A
【分析】结合指数函数单调性以及特殊点即可判断.
【详解】由题意，
所以当时，单调递增，且，
当时，单调递减，且，
且当从左边趋于0时，趋于，当从右边趋于0时，趋于1.
故选：A.
6．B
【分析】根据图象确定函数的表达式为，即可利用对称性求解一个周期内的值，进而利用周期性求解即可.
【详解】由的图象可知，，，
故，又且，则可得出，故.
又根据函数的对称性可知，，，
所以，
所以,
故选：B
7．A
【分析】结合图象，根据定义域与特殊值应用排除法得到答案.
【详解】由图象可知，的定义域为，
对于C，D选项，，定义域为，排除C，D；
对于B选项，，定义域为，
当时，，排除B，
对于A，的定义域为，且其在上单调递减，在上单调递增，故A正确.
故选：A.
8．C
【分析】由正弦函数的性质求出函数的单调区间，从而得到不等式组，即可求出参数的取值范围.
【详解】由，解得，
的单调增区间为.
在上单调递增，，.
由，解得，
的单调减区间为，
又函数在上单调递减，
，.
综上，，即实数的取值范围为.
故选：C
9．BCD
【分析】根据给定条件，利用不等式性质判断A；举例说明判断BCD.
【详解】由及在R上单调递增，可得，A正确；
取，满足，而，B错误；
由，知是否是非负数不确定，当时，不等式无意义，C错误；
取，满足，而，D错误.
故选：BCD
10．BC
【分析】作出的图象，结合图象判断奇偶性，由函数定义求的值域，由与的图象判断交点个数，求的取值范围.
【详解】画出的图象如下图：
函数的图象不关于y轴对称，A选项错误．
当时，函数，∵，∴，
故，即函数的值域是，B选项正确．
由图可知，与的图象必有一个交点，若方程只有一个实数根，则，C选项正确．
若方程有两个不相等的实数根，即与的图象有两个交点，结合图象可得，D选项错误．
故选：BC
11．ABD
【分析】A选项，由真数大于0得到不等式，求出定义域；B选项，求出函数单调性，得到值域；CD选项，先得到定义域关于原点对称，再由得到函数为偶函数.
【详解】A选项，由题意得，解得，故定义域为，A正确；
B选项，，定义域为，
由于在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，值域为，B正确；
CD选项，定义域为，关于原点对称，
且，
故为偶函数，C错误，D正确；
故选：ABD
12．ABC
【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，推得函数的对称性和周期性，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】因为函数是奇函数，所以的图象关于点对称，所以，；
因为是偶函数，所以的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，
所以，；
所以，，所以周期为4，又因为，所以，即为奇函数，
对于A项，因为的图象关于直线对称，故A项正确；
对于B项，因为的图象关于直线对称，周期为4，时，，
所以；；
；
所以，故B项正确；
对于C项，为奇函数，图象关于点对称，则的图象关于点对称，的图象关于点对称，的图象关于点对称，故C项正确，D项错误.
故选：ABC.
13．/
【分析】化简式子，结合已知条件即可求出的值.
【详解】由题意，，
∴，，
故答案为：.
14．
【分析】根据正切函数的单调性，结合题意，列出满足的条件，求解即可.
【详解】根据题意，，解得，又，则；
当，，
由题可得，解得；
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
15．
【分析】利用给定变换求出函数的解析式，再结合函数的奇偶性列式计算即得.
【详解】将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，
再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
由，得函数为偶函数，
则，解得，又，所以的最小值为.
故答案为：
16．
【分析】画出函数大致图象，数形结合得，利用对称性及对数函数的性质有、，进而求目标式的范围.
【详解】由解析式可得函数大致图象如下，
由图知：，则，
且，，
所以，又在上递减，则.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用函数图象确定解的范围为关键.
17．(1)图象见解析；增区间为，减区间为；
(2)
【分析】（1）先作出函数在区间上的图象，结合奇函数的对称性可得出该函数在区间上的图象，根据图象可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）设，可得出，由奇函数的性质得出，可得出函数在上的解析式，进而可得出该函数在上的解析式.
【详解】（1）函数是上的奇函数，其图象关于原点对称，且当时， ，则函数的图象如下图所示：

由图象知，增区间为，减区间为
（2）设，则，则.
因此，时，，
所以函数在上的解析式为.
18．(1)
(2).
【分析】（1）由幂函数的定义求出的值，并由定义域对的值进行取舍，进而得到解析式；
（2）通过换元得到的解析式，确定给定方程有两个不等实根时的取值范围，再将用表示出即可求解作答.
【详解】（1）是幂函数，，解得或3.
当时，，与函数的定义域是矛盾，舍去；
当时，，符合题意.
.
（2）由（1）可得，，代入函数中，有
令，作函数图像如下：
若，即时，；
当时，，；
当时，，，
若，即时，；
由于，，则，
综上所述，，
作图如下：
其与直线有且只有两个交点，
，且，
，，，
即，
∵和在ln2,1上单调递增，
在上单调递增，
.
，
化简得：.
即的取值范围为.
【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.
19．(1)旋转一周需要60秒，出水后至少经过20秒就可以达到最高点；
(2)处于向下的运动状态，理由见解析.
【分析】（1）利用周期计算旋转一周需要的时间，利用取最大值时的值得盛水筒出水后达到最高点的最短时间；
（2）由区间内函数的单调性，判断盛水筒的运动状态.
【详解】（1）因为的最小正周期，
所以盛水筒旋转一周需要60秒；
时，，
当，有，则，
解得，又，所以时，，
盛水筒出水后至少经过20秒就可以达到最高点.
（2）盛水筒处于向下运动的状态，理由如下：
，当， 有，
此时单调递减，所以盛水筒处于向下运动的状态.
【点睛】方法点睛：利用函数解析式计算周期，由函数值求自变量，运动状态的实际意义是研究函数单调性.
20．(1)为“倒戈函数”；理由见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）直接解方程，方程有解即得；
（2）由方程在上有解，令换元后转化为关于t的二次方程在上有解，可结合二次函数的性质或二次方程根的分布知识可得，然后通过分类讨论求函数的最小值.
【详解】（1）为“倒戈函数”.
等价于方程有解，
即有解，显然为方程的解，
所以为“倒戈函数”；
（2）若为定义在上的“倒戈函数”，
则在上有解，即在上有解.
令，当且仅当时，即时，取等号，
则，
从而关于的方程在上有解，
令，
①当时，在上有解，
由，即，解得；
②当时，在上有解等价于
，此不等式组无解.
则所求实数的取值范围是.
令，因为，所以，
则，
令，对称轴为，
当时，在单调递增，
所以时，取得最小值，，
即时
当时，时，取得最小值，，
即时，即时，.
综上，当时，；
当时，.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“倒戈函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题来进行求解.
21．(1)
(2)这一天在这个时间段的空气，空气属于污染状态，理由见解析.
【分析】（1）根据图象结合二次函数运算求解；
（2）由（1）可得的解析式，分类讨论解不等式即可得结果.
【详解】（1）当时，由图像可得：二次函数开口向下，顶点坐标为，且过，，可设，，
代入点可得，解得，
故当时，；
点代入，解得，
故当时，；
.
（2）当时，令，解得，
当时，令，解得，
所以，
综上所述：这一天在这个时间段的空气，空气属于污染状态.
22．(1)
(2)
(3)最大值2，最小值
【分析】（1）根据周期变换和平移变换即可得解；
（2）根据三角函数的奇偶性即可得解；
（3）根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.
【详解】（1）由题意可得；
（2），
因为是奇函数，
所以，解得；
（3）因为，所以，
当，即时，取得最小值，且最小值为，
当，即时，取得最大值，且最大值为.