2023 学年第二学期浙江省名校协作体适应性试题
高二年级数学学科
考生须知：
1．本卷满分 150分，考试时间 120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．设复数 z满足 i 1 z i，则 z的虚部是
1 1 1 1
A． B． i C． i D．
2 2 2 2
2．平面 的一个法向量 n 2,0,1 ，点 A 1,2,1 在 内，则点 P 1,2,3 到平面 的距离为
A B 3 2．2 2 ． C
6 5 D 3 10． ．
2 5 10
3．已知m R，则“m 6”是“直线 m 2 x m 2 y 2 0与3x my 1 0平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴
截面的顶角的余弦值为
A 4 B 4 3 3． ． C． D．
5 5 5 5
5．若数列 an 为等差数列，数列 bn 为等比数列，则下列不等式一定成立的是
A． a1a4 a2a3 D．a1a4 a2a3 C．b1 b4 b2 b3 D．b4 b1 b3 b2
6．下列图象中，不．可．能．是函数 f x x cos x( Z, 2)的图象的是
A B C D
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7．已知 E，F分别是矩形 ABCD边 AD，BC的中点，沿 EF将矩形 ABCD翻折成大小为 的
二面角．在动点 P从点 E沿线段 EF运动到点 F的过程中，记二面角 B AP C的大小为 ，
则
A．当 90 时，sin 先增大后减小 B．当 90 时，sin 先减小后增大
C．当 90 时，sin 先增大后减小 D．当 90 时，sin 先减小后增大
x2 y2 18．已知点 A是椭圆C： 1 a b 0 2 2 的左顶点，过点 A且斜率为 的直线 l与椭圆a b 2
C交于另一点 P（点 P在第一象限）．以原点O为圆心，OP 为半径的圆在点 P处的切线与 x
轴交于点Q．若 PA PQ ，则椭圆C离心率的取值范围是
A (0, 1． ] B． (0, 2 ] C [1 ,1) D [ 2． ． ,1)
2 2 2 2
二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得得部分分，有选错的不得分。
9．在正四棱台 ABCD A1B1C1D1中， AB 2A1B1 2AA1，则
A．直线 AA1 与C1D1所成的角为 60 B．平面 AA1D1D与平面 BB1C1C 的夹角为 60
C． AA1∥平面C1BD D． AA1 平面 A1BD
10．设 F 为双曲线C : x2 y2 2 的右焦点，O为坐标原点．若圆 x2 (y m)2 4交C的右
支于 A， B两点，则
A．C的焦距为 2 2 B． |OA |2 |OB |2 为定值
C． |OA | |OB |的最大值为 4 D． | FA | | FB |的最小值为 2
11．已知数列{an}：1，1， 2，1，3， 5，1， 4， 7，10， ，其中第1项为1，接下来
的 2项为1， 2，接下来的3项为1， 3， 5，再接下来的 4项为1， 4， 7，10，依此类推，
则
A． a20 21
B． a n2n(n 1) 2n 2
2
C．存在正整数m，使得 am ， am 1， am 2 成等比数列
D．有且仅有 4个不同的正整数m，使得 am am 1 am 2 156
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非选择题部分
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分。把答案填在答题卡中的横线上。
12 tan 1 cos4 4cos2 3．若 ，则 ▲
2 cos4 4cos2 3
a
13．已知数列{an}中， a1 1， ana
n 5
n 1 2 ，则 ▲ ；设数列{an}的前 n项的a4
和为 Sn ，则 S11= ▲ ．
π
14．在三棱锥 A BCD中，AD 平面 BCD， ABD CBD ，BD BC 2，则三棱锥
2
A BCD外接球表面积的最小值为 ▲ ．
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
π
在△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．已知 a 3 2，a sin B b sin A ．
3
（1）求 A；
（2）设角 A的平分线与BC交于点D，若 AD 3，求b c．
16．（15分）
若存在常数 k ， b 使得函数 F (x) 与 G(x) 对于给定区间上的任意实数 x，均有
F (x)≥ kx b≥G(x) ，则称 y kx b是 y F (x)与 y G(x)的隔离直线．
1 1
已知函数 f (x) x2 x 1， g(x) (x ) 1．
2 x
（1）在实数范围内解不等式： f (x)≥ g(x)；
（2）当 x 0时，写出一条 y f (x)与 y g(x)的隔离直线的方程并证明．
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17．（15分）
如图，正方形 ABCD的边长为 4，E为 AB中点，F 是边 BC上的动点．将△ADE沿DE
翻折到△SDE，△BEF沿 EF 翻折到△SEF．
（1）证明：平面 SEF 平面 SFD；
（2）设平面 SAD 平面 SBC l，证明： AD∥l；
（3）若BF 1，连接DF，设直线 SE与平面DEF
所成角为 ，求 的最大值．
18．（17分）
已知数列{a }的前 n项和为 S ，满足 S 2a 2(n N n n n n )．
（1）求数列{an}的通项公式；
2 （ ）记T a2 a2 ...n 1 2 a
2
n ，数列
a
n 的前 n项和为 Rn，证明：
Tn
3 (1 1 n 1 ) Rn 1．4 2 1
19．（17分）
已知 A是抛物线 y2 2px(p 0)上一点（异于原点），斜率为 k1的直线 l1 与抛物线恰有
一个公共点 A（ l1 与 x轴不平行）．
（1）当 k1 32p时，求点 A的纵坐标；
（2 k）斜率为 k2 的直线 l2 与抛物线交于 B,C两点，且△ABC是正三角形，求 1 的取值k2
范围．
命题：金华一中 周
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{#{QQABaQYUogggABBAAQgCUwEYCAKQkBCCACoGQFAEsAAAiAFABAA=}#}2023 学年第二学期浙江省名校协作体适应性试题答案
高二年级数学学科
首命题：××中学 次命题兼审校：××中学 审核：××中学
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A C B D C B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
题号 9 10 11
答案 ACD BCD AB
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。把答案填在答题卡中的横线上。
12 1． 13．1 125 14． (2 2 5)π
16
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
π 1 3
（1）因 a sin B b sin A ，由正弦定理可得：sin B sin A cos A3 2 2
sin Asin B 0，
即 sin B
3
cos A
1
sin A
2 2
0 .
3 1 π
因 B (0, π)，故 sinB 0，则有 cos A sin A，即 tan A 3 ，故 A
2 2 3
.
（2）因为 AD为角平分线，所以 S DAB S DAC S ABC，所以
1 AB AD sin DAB 1 AC AD sin DAC 1 AB AC sin BAC .
2 2 2
BAC π DAB DAC π AD 3 3 3因 ， ，3
，则 AB AC 3 AB AC，即
6 4 4 4
AB AC AB AC ，所以b c cb .
2 2 2 π 2
又由余弦定理可得： a b c 2bccos (b c) 3bc，将a 3 2，b c cb分别3
代入化简得： (b c)2 3(b c) 18 0 ，解得：b c 6或b +c = -3（舍去），所以b c 6 .
1
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16．（15分）
（1）由 f (x) g(x) 1可得 x 1或 x ．
2
1
讨论 x的正负可得 x ( , ] (0, )．
2
（2）一条隔离直线为 y x．
证明：显然 f (x) x2 x 1≥ x ，下证 g(x)≤ x．
g(x) x 1 (x 1) 1 1 2 x 1事实上 ≤ 1 0 ，故 g(x)≤ x．
2 x 2 x
综上所述，直线 y x为 y f (x)与 y g(x)的一条隔离直线．
17．（15分）
（1）证明：因为 ABCD是正方形， SE SD,SE SF，又 SD SF S ，SD,SF 面
SFD， SE 面 SFD，又 SE 平面 SEF，所以平面 SEF 平面 SFD；
（2）证明：因为 AD / /BC ，AD 面 SBC，BC 面 SBC，所以 AD / /面 SBC，又因为
面 SAD 面 SBC l，所以 AD∥l .
（3）设 S在面 AEF上的射影为O，连接 EO，则 SEO为直线 SE与平面 DEF所成角 ．
设BF x(1 x 4) 1 1，则CF 4 x． S DEF 4 4 4 2 2
1
x 4 4 x 4 x．
2 2 2
在 DEF中，DS 4,SF x，DF x2 8x 32．可得
DS 2 SF 2 DF 2cos DSF 2
1
1 ， S DBF DS SF sin DSF 4 x 1 ，2DS SF x 2
V 8 x 1S DEF VE DSF ， 4 x 1 2 4 x SO SO
x 4
SE 2 sin SO 4 x 1又 ， ，
SE x 4
x 4t 4 1 t,t 0, 3 ,sin 2 令 5 t t 5 ，
t
令 g t t 5 , t 0, 3 ，
t
g t g t t 5 t 5 t 5 5 t1t2 51 2 1 2 t t 1 t2 t t t1 t2 ，1 2 1 2 t1t2
当 t1, t2 0, 3 且 t1 t2时， t1 t2 0,t1t2 5 0, t1t2 0，则 g t1 g t2 0，
可得 g (t)在 0, 3 π 上单调递减， 当 t 3，即 x 4时，sin 3最大为 ， 最大值为 ．2 3
2
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18．（17分）
19．（17分）
3
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4
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