(共28张PPT)
9.2.1多边形的内角和
华师大版 七年级 下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
学习目标
1.理解多边形和正多边形的定义.
2.掌握多边形内角和公式.
3.会用多边形内角和公式进行相关计算.
新知导入
1.什么叫做三角形？
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。
2.三角形的内角和是多少？外角和呢？
三角形的内角和是180°
三角形的外角和是360°
新知讲解
合作学习
生活中的平面图形
三角形
长方形
四边形
六边形
八边形
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。
四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。
记作:△ABC
记作:四边形ABCD
五边形是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。
记作:五边形ABCDE
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫作多边形.
组成多边形的各条线段叫作多边形的边.
相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点.
连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.
相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角.
顶点
内角
边
对角线
(连接不相邻两个顶点的线段)
多边形的相关元素
外角
表示：五边形ABCDE
A
C
B
D
E
如图1是凸多边形； 图2不是凸多边形，今后如果不作说明，我们讲的多边形都是凸多边形.
图 2
如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫作凸多边形.
图 1
A
C
B
D
A
C
B
D
在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫正多边形.
观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
特点：
各边相等，各内角都相等的多边形.
问题
从n边形的一个顶点出发可以引出多少条对角线？这些对角线可以将这个n边形分成多少个三角形？利用三角形内角和知识，我们可以猜想：n边形内角和是多少呢？
多边形的边数 4 5 6 7 … n
从一个顶点引出的对角线的条数 1 2 3 4 …
对角线的总条数 2 5 9 …
探究：从n边形的一个顶点出发可以引出多少条对角线？
n-3
14
多边形的边数 3 4 5 6 7 … n
分成的三角形的个数 1 2 …
多边形的内角和 180° 360° …
根据教材p84页图9.2.4所示，填写p85页表9.2.1，探究多边形的内角和是多少？
3
4
5
n-2
540°
720°
900°
提炼概念
从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.将多边形分成(n-2)个三角形.
n(n≥3)边形共有对角线 条.
多边形的内角和为（n-2） 180°.
典例精讲
例1:一个多边形的内角和等于2160°，它是几边形？
解：设这个多边形的边数为n，则
（n-2 )×180°= 2160°，
解得n = 14.
所以这是一个十四边形.
例2：已知一个正十边形．
(1)求这个正十边形的内角和；
(2)要使这个多边形的内角和增加1080°，那么还要增加几条边？
解：(1)(10－2)×180°＝1440°.
(2)若内角和增加1080°，则新多边形的内角和为1440°＋1080°＝2520°，新多边形的边数为2520°÷180°＋2＝16.
即还要增加6条边．
归纳概念
“归纳推理”是数学中的一种推理方式，体现了从特殊到一般的推理过程. 在这里，我们通过对三边形、四边形、五边形等的探索，发现它们的内角和与边数之间存在某种逻辑关系，从而归纳出多边形的内角和公式.这种归纳推理的方式，我们今后还会经常用到. 当然，“看”出来的数学结果未必一定正确，但它们还是给我们指引了研究的方向. 因此，归纳推理和演绎推理相结合是必要的.
读
一
读
课堂练习
必做题
1、已知一个正多边形的一个内角为150度，则它的边
数为（ ）
A. 12 B. 8 C. 9 D. 7
A
2.下列说法中，正确的有( )
(1)三角形是边数最少的多边形；
(2)由n条线段连结起来组成的图形叫做多边形；
(3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角和外角；
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
选做题
（1）做多边形所有过顶点A的对角线，并分别用字母表示出来
（2）求这个多边形的内角和
3.如下图
解：（1）如图所示
（2）由图可知，此多边形为五边形因此利用多边形的内角和公式可得
（n-2） 180°=（5-2） 180°=540°
综合拓展题
4. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
解：∵1800÷180＝10，
∴原多边形边数为10＋2＝12.
∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，
∴新多边形的边数可能是11，12，13，
∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
课堂总结
多边形的内角和
内角和计算公式
（n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
多边形的相关概念
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫作多边形.
作业布置
必做题
1.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）
A. 六边形 B . 五边形 C.四边形 D.三角形
A
选做题
2.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这
是 边形.
十三
综合拓展题
3.如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数．
解：由题意得
AB=AE,所以∠AEB= (180°-∠A)=36°，
所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.
谢谢
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分课时教学设计
第4课时《9.2.1多边形的内角和 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 了解多边形的概念，掌握多边形的内角和公式。会用多边形的内角和进行简 单的运算. 从三角形的内角和入手，在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理.
学习者分析 通过经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，体会数学的转化思想。体验数学活动充满着探索性和创造性，培养学生对学习数学勇于创新的精神.
教学目标 1.理解多边形和正多边形的定义. 2.掌握多边形内角和公式. 3.会用多边形内角和公式进行相关计算．
教学重点 探索和应用多边形内角和定理．
教学难点 推导多边形的内角和定理．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入 试一试 三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形（但我们习惯称为三角形）.我们已经知道什么叫三角形，你能说出什么叫四边形、五边形吗？ 图9.2.1(1)是四边形，它是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD; 图9.2.1(2)是五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE. 学生活动1： 通过探究活动理解．学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知.总结多边形的内角和，与学生讨论，教师进行归纳总结. 活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发.经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力.环节二：新课讲解 一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，也即我们已经认识的多边形. 注意 我们现在研究的是如图9.2.1所示的多边形,也就是凸多边形. 与三角形类似,如图9.2.2所示,∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角,两者互为对顶角. 如果多边形的各边都相等,各内角也都相等,那么就称它为正多边形(regular polygon). 如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等. 连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 例如,图9.2.3(1)中,线段AC是四边形ABCD的一条对角线; 图9.2.3(2)、(3)中,虚线表示的线段也是所画多边形的对角线. 还可以画出哪些对角线 试一试 由图9.2.3可以看出,从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形.我们已知一个三角形的内角和等于180°,那么四边形的内角和等于多少呢 五边形、六边形呢 一般地,n边形的内角和等于多少呢 探索 为了求得n边形的内角和,请根据图9.2.4所示,完成表9.2.1. 表9.2.1 多边形的边数34567......n分成的三角形的个数 12345......(n-2)多边形的内角和 180°360540°640°900°......（n-2）·180°
由此,我们得出n边形的内角和为(n -2) ·1800. 学生活动2： 学生相互交流． 学生可相互交流，学生自主探究，得出结论 教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论. 活动意图说明： 导学生建立模型，鼓励学生大胆探索， 了解多边形的概念，掌握多边形的内角和公式。会用多边形的内角和进行简单的运算.积累解题经验，提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.环节三：例题讲解教师活动3： 例1:一个多边形的内角和等于2160°，它是几边形？ 解：设这个多边形的边数为n，则 （n-2 )×180°= 2160°， 解得n = 14. 所以这是一个十四边形. 例2：已知一个正十边形． (1)求这个正十边形的内角和； (2)要使这个多边形的内角和增加1080°，那么还要增加几条边？ 解：(1)(10－2)×180°＝1440°. (2)若内角和增加1080°，则新多边形的内角和为1440°＋1080°＝2520°，新多边形的边数为2520°÷180°＋2＝16. 即还要增加6条边． 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. 巩固例题. 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，掌握多边形内角和公式.会用多边形内角和公式进行相关计算．从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1、已知一个正多边形的一个内角为150度，则它的边 数为（ ） A. 12 B. 8 C. 9 D. 7 2.下列说法中，正确的有( ) (1)三角形是边数最少的多边形； (2)由n条线段连结起来组成的图形叫做多边形； (3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角和外角； A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 选做题： 3.如下图 （1）做多边形所有过顶点A的对角线，并分别用字母表示出来 （2）求这个多边形的内角和 【综合拓展类作业】 4. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ） A. 六边形 B . 五边形 C.四边形 D.三角形 选做题： 2.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这 是 边形. 【综合拓展类作业】 3.如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数．
教学反思
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 七年级下册 第9章
课标要求 (1)在三角形的内角和与外角和的知识形成过程中，思考数学方法在解决数学问题中的意义与作用，其中更重要的是探求数学知识的过程的价值。(2)通过正多边形的拼接体会与思考数学知识在解决现实生活的问题中的价值，从中进一步思考与体验数学美的应用价值．（3）在研究数学问题中，经历活动、讨论、交流的过程，感受学习的乐趣，感受学习的社会性与个体性.体会独立思考与独立探究的乐趣，在此基础上体验与他人交流与合作的快乐，并在其中敢于发表自己的见解或观点，
内容分析 《多边形》这章主要内容是三角形与多边形的有关概念，以及边、角的性质。教材从现实生活中的地板的拼接提出问题，进而研究三角形和多边形的本概念，如三角形中的主要线段等，在此基础上研究三角形的三边关系以及内角关系，及多边形的内角关系，最后研究正多边形在拼接地板中的应用中隐含的数学道理．
学情分析 使学生经历实验、探索的过程，体验如何用数学思想方法分析解决问题，改变“结论一-例题--练习”的陈述模式，而是采用“问题一-探究一-发现”的研究模式，并采用多种探究方法，对“三角形的外角性质及外角和”同时采用拼图和数学说理的方法，对“三角形的三边关系”采用画图的方法．对“多边形的内角和与外角和”采用计算与归纳说理的方法．
单元目标 教学目标1)了解三角形的内角、边、主要线段及多边形的内角的概念；了解三角形的稳定性；了解三角形的分类的知识与方法；了解几种特殊三角形与多边形的特征.探索并掌握三角形的内角和与外角性质，以及多边形的外角和的性质，在有关的计算中能正确的使用解决问题.掌握三角形的三边关系的知识并会合理应用其解决问题．会用直尺和量角器画出三角形的三条主要线段；会在知识的形成过程中，体验知识的探索、归纳的过程，学会合情推理的数学思想方法．感受三角形知识在日常生活中的应用价值是什么原因形成的，体会三角形的稳定性在生活中的引用，思考其中的数学规律在三角形的内角和与外角和的知识形成的意义与作用，（二）教学重点、难点教学重点:三角形的有关概念及三角形的分类，正确用刻度尺和量角器画三角形的角平分线、高和中线，三角形的三边关系及外角和定理，以及它们的应用；探究和归纳任意多边形的内角和与外角和公式，并运用它们进行计算.教学难点:探究和归纳任意多边形的内角和与外角和公式，了解可以拼在一起的几何图案及否拼成几何图案的依据．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架1.教材特点分析：1、淡化概念教学，以实际问题为主线，充分利用现实世界中的实物原型进行教学，展示丰富多彩的几何世界．本章由“瓷砖的铺设”导入，接着研究三角形和多边形的性质，最后运用三角形和多边形的有关性质探索拼地板的问题，体现了数学来源于实践，又应用于实践的特点．在呈现方式上，改变“结论一-例题--练习”的陈述模式，而是采用“问题一-探究一-发现”的研究模式，并采用多种探究方法，对“三角形的外角性质及外角和”同时采用拼图和数学说理的方法，对“三角形的三边关系”采用画图的方法．对“多边形的内角和与外角和”采用计算与归纳说理的方法．2、重视基础、重视方法、立足发展新教材降低了知识的难、繁程度，重视渗透和揭示基本的数学思想方法，加强数学内部的联系以及与相关学科的联系，注重教材内容的开放性和多元性，使学生经历实验、探索的过程，体验如何用数学思想方法分析解决问题，培养学习和应用数学的能力，为学生搭建可持续发展的平台．2.本章教学建议：在本章教学中建议抓住以下几个主要环节: （1）在第一节“瓷砖的铺设”的教学中为了让学生更好地认识多边形、了解多边形及其作用，可提前组织学生作一次课外实践活动，如到建材市场、大街上、公园里、或上网查询等，收集瓷砖的各种形状及能拼成的图形．（2）在三角形的教学中，教材重点介绍了三角形外角的性质、外角和三边的关系。在小学已有的基础上，让学生进一步了解三角形其它知识，教师要大胆放手，让学生去探索、交流、发现规律、总结规律。（3）用正多边形拼地板的教学，是对本章一开始所得出的问题的解答，又是对三角形和多边形有关知识的应用，通过用相同的或几种正多边形拼地板，巩固对多边形内角和与外角和的运用。（4）注意加强学生对几何语言的表示、图形的认识以及适当的推理训练。重视数学思想方法的教学(1)、类比思想类比方法是指在不同对象之间，或者在物与事物之间，根据它们某些方面(如特征、属性、关系) 的相似之处进行比较，通过类比可以发现新旧知识的相同点和不同点，有助于利用已有知识去认识新知识和加深理解新知识，同时用新知识解决处理旧问题，扩大或更新解决旧问题的渠道和方法．(2)、分类讨论的思想方法由于题目的条件约束较弱(条件趋一般) 或图形位置的变化，常常使同一问题具有多种形态，只有考查全面(所有不同的情况)，才能把握总体的实质，此种情况下应当进行适当分类，就每一种情况研究讨论结论的正确性．(3)、方程思想求解问题，当未知数不能直接求出时，一般地设出未知数，继而建立方程，用解方程的方法求出结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想．(4)、化归思想本章中，有很多求多个角的和这一类问题，我们在解决这类问题时常把它们的和化归为一个多边形的内角和(或外角和)．4.单元知识结构框架：课时安排课时编号单元主要内容课时数9.1.1 认识三角形19.1.2三角形的内角和与外角和19.1.3 三角形的三边关系1 9.2.1多边形的内角和19.2.2多边形的外角和19.3.1 用相同的正多边形铺设地面19.3.2用多种正多边形铺设地面
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务9.1.1 认识三角形1.了解三角形的基本元素与中线、高线、角平分线.2.掌握不同形状的三角形，三角形按角、按边分类的方法.3.知道等腰三角形、等边三角形的概念. 1.三角形的边和内角，以及外角，等腰三角形、等边三角形的区别和联系．2.对外角概念的理解．活动一：通过三角形的边、顶点、内角、外角，引入新课．活动二：通过对例题的学习，掌握不同形状的三角形，三角形按角、按边分类的方法．9.1.2三角形的内角和与外角和1.理解三角形的外角的两条性质以及三角形的内角和与外角和.2.会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算．1.理解并掌握三角形外角的性质以及其外角的和．2.三角形内角和外角的计算.活动一：激发学生继续探究三角形内角和和外角和的兴趣。．活动二：会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算．9.1.3 三角形的三边关系1.掌握和理解三角形三边的关系.2.认识三角形的稳定性，并能利用三角形的稳定性解决一些实际问题．1.三角形任何两边之和大于第三边的应用．2．已知三角形的两边求第三边的范围．活动一：动手操作引导学生发现不能摆成三角形的原因，并探索能摆成三角形的条件．活动二：会利用三角形三边关系解决有关问题，了解三角形的稳定性．活动三：巩固例题．9.2.1多边形的内角和1.理解多边形和正多边形的定义.2.掌握多边形内角和公式.3.会用多边形内角和公式进行相关计算． 1.探索和应用多边形内角和定理．2.推导多边形的内角和定理．活动一：以总结多边形的内角和的规律，引入新课，激发学生探究知识的欲望.活动二：学习例题，会用多边形内角和公式进行相关计算．9.2.2多边形的外角和1、了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角 .2、掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题.1.多边形的外角和公式及其应用.2.多边形的外角和公式的应用.活动一：激发学生探究多边形的外角和的兴趣.活动二：掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题.9.3.1用相同的正多边形铺设地面1.通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式.2.探索用各种正多边形拼地板的过程和原理.1.通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式.2.在数轴上确定不等式组的解集.活动一：以实物图形加深对地板（地砖）铺设的认识.提出问题，导出本节要探究的课题.活动二：通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式．活动三：巩固例题．会探索用各种正多边形拼地板的过程和原理.9.3.2用多种正多边形铺设地面 1.使学生理解多种正多边形能够铺满地面的数学道理，掌握两种及两种以上的正多边形能够铺满地面的种类.2.通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象能力.1.通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象能力.2.寻找用哪几种正多边形能铺满地板的种类.活动一：从准备的材料中任取两种正多边形进行组合，探讨是否也能铺满地面.活动二：通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象能力.
《第9章 多边形》单元教学设计
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分课时学案
课题 9.2.1多边形的内角和 单元 第一单元 学科 数学 年级 七年级下
学习目标 1.理解多边形和正多边形的定义.2.掌握多边形内角和公式.3.会用多边形内角和公式进行相关计算.
重点 探索和应用多边形内角和定理．
难点 推导多边形的内角和定理．
教学过程
导入新课 【引入思考】 探究一：试一试三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形（但我们习惯称为三角形）.我们已经知道什么叫三角形，你能说出什么叫四边形、五边形吗？图9.2.1(1)是四边形，它是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD;图9.2.1(2)是五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE..
新知讲解 本节课来研究：标明学习内容一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为 ，也即我们已经认识的多边形.注意我们现在研究的是如图9.2.1所示的多边形,也就是凸多边形.与三角形类似,如图9.2.2所示,∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角,两者互为对顶角.如果多边形的各边都相等,各内角也都相等,那么就称它为 (regular polygon).如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等.探究二：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.例如,图9.2.3(1)中,线段AC是四边形ABCD的一条对角线;图9.2.3(2)、(3)中,虚线表示的线段也是所画多边形的对角线.还可以画出哪些对角线 探究三：试一试由图9.2.3可以看出,从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形.我们已知一个三角形的内角和等于180°,那么四边形的内角和等于多少呢 五边形、六边形呢 一般地,n边形的内角和等于多少呢 探索为了求得n边形的内角和,请根据图9.2.4所示,完成表9.2.1.表9.2.1多边形的边数34567......n分成的三角形的个数12多边形的内角和180°360°由此,我们得出n边形的内角和为(n -2) ·180°.提炼概念（本节课主要内容提炼）n边形的内角和为(n -2) ·1800.典例精讲 例1:一个多边形的内角和等于2160°，它是几边形？例2：已知一个正十边形．(1)求这个正十边形的内角和；(2)要使这个多边形的内角和增加1080°，那么还要增加几条边？
课堂练习 巩固训练1、已知一个正多边形的一个内角为150度，则它的边 数为（ ） A. 12 B. 8 C. 9 D. 72.下列说法中，正确的有( )(1)三角形是边数最少的多边形；(2)由n条线段连结起来组成的图形叫做多边形；(3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角和外角；A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.如下图（1）做多边形所有过顶点A的对角线，并分别用字母表示出来（2）求这个多边形的内角和4. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.课后作业必做题：1.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）A. 六边形 B . 五边形 C.四边形 D.三角形选做题：2.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是 边形.【综合拓展类作业】3.如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数．
课堂小结
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