云南省昆明市五华区2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题(含解析)

【新结构】云南省2023-2024学年高二下学期开学考试卷
数学
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则，，的大小关系为
( )
A. B. C. D.
4.若集合，集合，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.年春节，六安一中校办室要安排从正月初一至正月初六由指定的六位领导参加的值班表．要求每一位领导值班一天，但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻，则共有多少种不同的安排方法( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为和的矩形，则它的体积为( )
A. B. C. D. 或
8.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D. 不存在
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，函数，则( )
A. B. 的值域为
C. D.
10.某射击运动员进行打靶练习，已知打十枪，每发的靶数为，，，，，，，，，，设其平均数为，中位数为，众数为，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.自然界中存在一个神奇的数列，比如植物一年生长新枝的数目，某些花朵的花瓣数，具有，，，，，，，这样的规律，从第三项开始每一项都是前两项的和，这个数列称为斐波那契数列设数列为斐波那契数列，则有，以下是等差数列的为
( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设的值______．
13.在中，，，，则_____．
14.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，平面，，为中点，过作平面分别与线段、交于点，，且，则 ，四边形的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，证明：存在唯一的零点；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
设，，为数列的前项和，令，，．
Ⅰ若，求数列的前项和；
Ⅱ求证：对，方程在上有且仅有一个根；
Ⅲ求证：对，由Ⅱ中构成的数列满足．
17.本小题分
如图所示，在长方体中，，，是棱的中点．
求异面直线和所成的角的正切值；
求与平面所成的角大小．
18.本小题分
已知焦点在轴，顶点在原点的抛物线经过点，以上一点为圆心的圆过定点，记、为圆与轴的两个交点．
求抛物线的方程；
当圆心在抛物线上运动时，试判断是否为一定值？请证明你的结论．
19.本小题分
设函数，．
当时，求函数的单调区间；
若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围．
答案解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的数量积，平面向量的模，属于基础题。
将两边平方，结合可直接求出结果．
【解答】解；由题意得：
，
则，
故选C．
2.【答案】
【解析】解：，
，
则，
故选：．
分别解关于，的集合，求出，的交集即可．
本题考查了集合的运算，考查解不等式问题，是一道基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正弦函数的图象，指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
可看出，然后根据对数函数和指数函数的单调性即可得出， ，然后即可得出，，的大小关系．
【解答】
解：，
， ，
．
故选A．
4.【答案】
【解析】解：集合，
集合，
则
则“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
分别求出关于集合、的范围，结合集合的包含关系判断即可．
不同考查了充分必要条件，考查指数、对数的运算，是一道基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻
做出个人的所有排列减去不合题意的即可，
个人全排列有种结果，
两个校长相邻有种结果，
两个主任相邻有有种结果，
其中有校长和主任同时相邻的情况共有
符合条件的共有，
故选：．
本题是一个分步计数问题，做出个人的所有排列减去不合题意的即可，个人全排列有种结果，两个校长相邻有种结果，两个主任相邻有有种结果，其中有校长和主任同时相邻的情况，加减以后得到结果．
本题考查分步计数原理，在解题的过程中，注意有限制条件的元素的排列问题，先排列带有限制条件的元素，在排列没有限制条件的元素．
6.【答案】
【解析】解：，
则，
故选：．
根据，利用二项展开式的通项公式，求得的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】分侧面矩形长、宽分别为和或和两种情况．
8.【答案】
【解析】解：直线的斜率为，
所以其倾斜角为．
故选：．
先求出斜率，进而可求出倾斜角．
本题主要考查了直线的斜率公式的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，所以，
因为，所以，，，
所以，所以，故A正确；
对于，，故的值域为，故B错误；
对于，，故C正确；
对于，因为，，，取，，
所以，，
，所以，故D错误．
故选：．
由单调性的定义可判断；由的单调性求值域可判断；计算可判断；取特值可判断．
本题主要考查了函数单调性定义的判断及应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平均数、中位数、众数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
分别求出平均数，中位数，众数，由此能得到正确选项．
【解答】
解：打十枪每发的靶数为，，，，，，，，，，
设其平均数为，中位数为，众数为，
则
，
这个数从小到大为：，，，，，，，，，，
，故A错误；
，故D正确；
，故B错误，C正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的定义，数列前项和与的关系，属于基础题．
由等差数列定义及斐波那契数列定义逐项判断即可．
【解答】
解：对于，，
即，故，，不为等差数列，故A错误
对于，，所以，，成等差数列，故B正确；
对于，，，，所以，，不为等差数列，故C错误
对于；，，
，，所以成等差数列，故D正确
故选：．
12.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由，，利用同角三角函数间的基本关系，先求出，再分别求出和，由此能求出的值．
本题考查同角三角函数间的基本关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
13.【答案】或
【解析】【分析】
先由得到的值，然后利用余弦定理可求出的值．
【详解】因为在中，，，，所以，
，
由余弦定理得，得，即，
解得或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：四棱锥的底面是边长为的正方形，平面，，为中点，
过作平面分别与线段、交于点，，且，
连结，，交于点，过作平面的垂线，交于，
过作的平行线，分别与线段、交于点，，
则平面就是平面，
，
，
∽，
，，
，，，
、平面，
平面，
平面，，
四边形的面积为．
故答案为：；．
过作平面分别与线段、交于点，，且，连结，，交于点，过作平面的垂线，交于，过作的平行线，分别与线段、交于点，，则平面就是平面，由此能求出结果．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：证明：，
当时，，
，
当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
当时，取得极小值，也是最小值，
存在唯一的零点；
解：，由于，
恒成立，令，则．
，当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递减；
，
，
即实数的取值范围为．
【解析】当时，，由时，，时，，可得时，取得极小值，也是最小值，从而可证得结论成立；
，分离参数得，构造函数，利用导数可求得则，从而可得实数的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的最值，考查等价转化思想和综合运算能力、属于中档题．
16.【答案】解：Ⅰ若，，则，
则，
，
，
；
Ⅱ证明：，，
故函数在上是增函数．
由于，当时，，即．
又，
，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足．
Ⅲ证明：对于任意，由中构成数列，当时，
，
．
由在上单调递增，可得，即，
故数列为减数列，即对任意的、，．
由于，，
，，
用减去并移项，利用，可得
．
综上可得，对于任意，由中构成数列满足．
【解析】Ⅰ，利用“错位相减法”即可求得数列的前项和；
Ⅱ由题意可得，函数在上是增函数．求得，，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立．
Ⅲ由题意可得，由在上单调递增，可得，故用 的解析式减去的解析式，变形可得，再进行放大，并裂项求和，可得它小于，综上可得要证的结论成立．
本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，“错位相减法”求数列的前项和，还考查推理以及运算求解能力，属于难题．
17.【答案】解：如图，因为，
所以为异面直线与所成的角．
因为平面，所以，
而，，故．
即异面直线和所成的角的正切值为．
由平面，平面平面，得
由知，，
又，，
所以，从而
又，
平面，
与面所成角为．
【解析】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，其中利用平移法，将异面直线夹角转化为解三角形问题是解答的关键，而熟练掌握线面垂直的判定定理是解答的关键．
由长方体的几何特征，可得为异面直线与所成的角，解即可得到异面直线和所成的角的正切值；
由长方体的几何特征可得平面，进而由线面垂直的定义可得，结合中结论及勾股定理可得，进而由线面垂直的判定定理可得平面，即与面成度角．
18.【答案】解：由已知，设抛物线方程为，则
代入，可得，
抛物线的方程为；
设圆的圆心，则圆的半径为，
圆被轴截得的弦长为，
，
；
是一定值．
【解析】设出抛物线方程，代入，即可求出抛物线的方程；
表示出圆被轴截得的弦长，利用圆心在抛物线上，即可得出结论
本题考查了待定系数法是求圆锥曲线的常用方法，弦长公式的运用，属于难题．
19.【答案】【解答】
解：当时，，，
，令，解得或．
在上单调递增，
在上单调递减．
方法一：函数的图象总在直线的下方，可知
当时，，在上单调递增，无最大值故不成立
令，则．
当时，；
当时，．
故为函数的唯一极大值点，
所以函数的最大值为
由题意有，解得．
方法二
函数的图象总在直线的下方，可知恒成立，
即对于恒成立，
于是有 令，
则只需求的最小值即可．
在上单调递减，在上单调递增；
在处取到极小值，也就是最小值为
所以的取值范围为．

【解析】【分析】
先确定函数的定义域然后求导数，在函数的定义域内解不等式和，即可求出函数的单调区间；
解法一：函数的图象总在直线的下方，可知，然后讨论的正负求出函数的最大值，建立不等式，解之即可；
解法二：函数的图象总在直线的下方，可知恒成立，即 对于恒成立，然后利用参变量分离的方法进行求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性等基础知识，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键，属于中档题．