2023-2024学年八年级下学期人教版数学开学摸底测试卷（含解析）

2023-2024学年数学八年级下册人教版开学摸底测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，三个顶点的坐标分别为，，，直线是过点且与轴平行的直线，关于直线对称的三角形为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，已知，垂直平分，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，的面积为1，且，则的面积为（ ）
A．3 B． C．4 D．
5．将一副学生专用三角板如图叠放，下列结论错误的是（ ）
A． B．平分
C． D．
6．若是一个完全平方式，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知实数，满足，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
8．某服装店用4.5万元购进某种品牌的服装，由于销售状况良好，服装店又调拨11万元资金购进该种服装，但这次的单价比第一次的单价贵20元，购进服装的数量比第一次的2倍还多50件，求该服装第一次的单价．为解决此问题，设该服装第一次的单价为元，根据题意列出方程，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．如图，已知直线直线，如果与的角平分线的交点到线段的距离为，那么直线与直线之间的距离为 ．
10．如图，中，于点D，点E为的中点，若，则 ．
11．如图，将边长为9的等边折叠，使点B恰好落在边上的点D处，折痕为，O为折痕上的动点，若，则的周长的最小值为 ．
12．已知实数满足等式，且，则 ．
13．根据下图所示的程序，当输入时，输出 ．
14．如图，用四个长为，宽为的长方形大理石板不重叠地拼成一个大正方形拼花图案，正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形，当拼成的这个大正方形的边长比中间小正方形的边长多时，大正方形的面积就比小正方形的面积多，那么中间小正方形的边长为 ．
15．如图，分别为的中点，连接，则 ．
16．为锻炼身体，小陈由开车上班改为骑自行车上班，已知小陈家距离上班地点14千米，开车每小时行驶的路程比骑自行车每小时行驶的路程的3倍还多5千米，且骑自行车上班所需时间是开车上班所需时间的倍，则小陈骑自行车上班需要 小时．
三、解答题
17．解分式方程．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图1，是等腰三角形，分别是上一点且，与交于点，连接并延长，交于点．

(1)求证：．
(2)求证：垂直平分．
(3)如图2，若，且，求证：．（提示：在上取点，使得，连接）
20．如图，有甲、乙两种长方形卡片若干张．
(1)甲种长方形卡片的面积为______，乙种长方形卡片的面积为______，甲、乙两张卡片的面积和为______；（结果需化简）
(2)试比较两种长方形卡片的面积、的大小，并说明理由；
(3)若用相同数量的甲、乙两种长方形卡片刚好能够拼成一个面积为的图形，求使用卡片的总数量．
21．如图，在中，，点E在线段上，点D在的延长线，且，连接交于F，过点E作交于点H，作于点G．

(1)求证：；
(2)试猜想线段与的数量关系并证明．
22．观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______；
(2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明．
23．如图，在与中，，，，分别是和的高，且．
(1)求证：；
(2)你认为“有两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等”这句话对吗？（尝试画图说明）
24．如图，点，在平面直角坐标系中的坐标轴上，点为内一点，．
(1)求点P到的距离；
(2)如图1，射线交的垂直平分线于点C，试判断的形状，并说明理由；
(3)如图2，为x轴正半轴上一点，将沿所在直线翻折，与y轴，线段分别交于点F，G，试探究的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求的周长．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握积的乘方和负数的偶次幂的运算是解题的关键，利用，即可得到答案．
【详解】解：，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查利用对称性质作图求坐标，涉及对称性质、对称作图、图形与坐标等知识，根据题意，作出关于直线对称的三角形为，即可得到答案，熟练掌握对称作图是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示：
，
故选：C．
3．B
【分析】由DE垂直平分AC，，根据线段垂直平分线的性质，易求得的度数，又由，可求得的度数，继而可求得的度数．此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查三角形的中线，三等分点，四等分点与几何图形面积的计算，掌握中线的性质，等高三角形面积的计算方法是解题的关键．
根据题意可得点是线段的中点，点是线段的三等分点，点是线段的四等分点，根据等高三角形的面积比等于底边的比，的面积为1，可算出的面积，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴点是线段的中点，点是线段的三等分点，点是线段的四等分点，
∴，，是中线，
设到的距离为，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∴，
设点到的距离为，
∴，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
故选：．
5．B
【分析】本题主要考查三角板中角度的计算方法，掌握直角三角形的性质，对顶角相等，三角形的外角的性质，几何图形中角度的和差计算方法是解题的关键．
【详解】解：根据题意，是直角三角形，，，
∴，，，
∵，，
∴，故选项正确，不符合题意；
如图所示，设交于点，交于点，
设，
∴，，
在四边形中，不能确定的关系，
∴无法确定是否平分，故选项错误，符合题意；
∴，，
∴，即，
∴，故选项正确，不符合题意；
∵
，故选项正确，不符合题意；
故选：．
6．B
【分析】本题考查了完全平方公式，根据一次项等于二次项底数积的倍，列式即可求解，掌握完全平方公式
是解题的关键．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
故选：．
7．B
【分析】本题考查了分式的化简求值，配方法，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先将通分，然后将分子配方，并将分式化简成只含，的代数式，最后将，的值代入并计算即得答案．
【详解】
，
当，时，
原式．
故选B．
8．B
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设该服装第一次的单价为元，表示第二次的单价，再分别表示两次购买的数量，根据购进服装的数量比第一次的2倍还多50件列方程即可．
【详解】解：该服装第一次的单价为元，则第二次的进价为元，由题意，得
故选：B
9．4
【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，掌握相关性质正确推理是解题关键．
过点O作，交于点，作，根据点到直线与点到直线的距离相等，都等于点到线段的距离分析求解．
【详解】解：过点O作，交于点，作，
∵，且
∴，
∴，
∵与的角平分线的交点到线段的距离为，
∴
∴直线与直线之间的距离为，
故答案为：4
10．8
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键．
如图，延长至点F，使，连接，则，即，设，则，计算求解即可．
【详解】如图，延长至点F，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵点E为的中点，
∴，
解得，，
故答案为：8．
11．15
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，连接，由折叠的性质可得，求出，进而得到的周长，则当O、B、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为．
【详解】解：如图所示，连接，
由折叠的性质可得垂直平分，
∴，
∵，等边的边长为9，
∴，
∴的周长，
∴当O、B、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为，
故答案为：15．
12．
【分析】本题考查了分式的化简求值，代数式求值；解题的关键是令求出、、的值．
令，求得，，，结合题意求出、、的值，代入即可求解．
【详解】解：设，
故，，，
则，
即，
解得：；
∴，，，
∴．
故答案为：．
13．4033
【分析】本题主要考查了求代数式的值，利用程序图中的程序将代入计算即可．
【详解】解：∵是奇数，
∴，
∴，
故答案为：4033．
14．2
【分析】本题考查用图象法验证完全平方公式，准确识图列出是解题关键．
分别表示出每个长方形石板的面积和图中大、小正方形的面积，然后列出等量关系计算求解．
【详解】解：每个长方形石板的面积为，中间小正方形的边长为，面积为；
大正方形的边长为，面积为，
所以；
当时，解得，
∴，
故答案为：2．
15．50
【分析】本题考查全等三角形的性质与与等腰三角形的性质，解答时应用分别证明和从而得到，，再利用等腰三角形定义，求即可．
【详解】连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵分别为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：50．
16．
【分析】设小陈开车上班所需时间为x小时，小陈骑自行车上班需要小时，再根据开车每小时行驶的路程比骑自行车每小时行驶的路程的3倍还多5千米列出方程，求出解检验后即可得到答案. 本题主要考查了分式方程应用，根据数量之间的关系列出方程是解题的关键．
【详解】解：设小陈开车上班所需时间为x小时，小陈骑自行车上班需要小时，根据题意，得
，
解得．
经检验，是原方程的解且符合题意.
∴，
即小陈骑自行车上班需要小时．
故答案为：
17．
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的步骤是解题的关键．根据移项，去分母，展开得到，系数化为1，最后检验即可．
【详解】解：原方程可变为，
得，
即，
∴，
即，
解得，
检验：当时，
，
∴原方程的解为．
18．，
【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
先算括号里面的，再算括号外面的，最后代入求值．
【详解】解：原式
．
当，原式．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判断，等腰三角形的性质与判定等等：
（1）先根据等边对等角得到，进而可利用证明；
（2）由全等三角形的性质得到，则，再由即可证明垂直平分；
（3）如图所示，在上取点，使得，连接，证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，
，证明，得到，进而得到，则，即可证明．
【详解】（1）证明∵，
，
又，，
；
（2）证明：∵，
，
，
又，
垂直平分；
（3）证明：如图所示，在上取点，使得，连接，
，
∴是等腰直角三角形，
，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．

20．(1)，，
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据图示，利用整式的乘除运算即可求解；
（2）计算即可判断；
（3）设用了张甲种长方形卡，张乙种长方形卡，根据即可求解．
【详解】（1）解：由图可知：
甲种长方形卡片的面积为：；
乙种长方形卡片的面积为：；
甲、乙两张卡片的面积和为：;
故答案为：，，
（2）解：，理由如下：
∵，
∴
（3）解：设用了张甲种长方形卡，张乙种长方形卡，
则由（1）可得：
，
∴，
∴，
则使用卡片的总数量为
21．(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
（1）根据得，根据得，即可得，则，根据即可得；
（2）根据，得，根据得，，利用证明，得，根据得，即可得；
掌握平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
，
∵，
，
，
，
∵，
；
（2），理由如下：
证明：∵，，
，
∵，
，，
在和中，
∴，
，
，
∴，
．
22．(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查了数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的式子．
（1）根据题目中的等式，可以写出第6个等式；
（2）根据题目中的等式，可以写出第n个等式，然后根据分式的减法和除法可以将等号左边的式子化简，从而可以证明结论成立．
【详解】（1）解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
第6个等式：，
（2）由（1）归纳总结可得：
，
左边右边，
等式成立．
23．(1)见解析；
(2)不对，理由见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握三角形全等的判定方法．
（1）根据定理分别证明，，再推出即可求解；
（2）通过反例，画出图形即可求解．
【详解】（1）证明：∵在和中,，，
∴,
∴，
∵在和中,,，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴．
（2）证明：这句话不对，如图所示，在和中, , , , 两个三角形具有两边及第三边上的高对应相等，但这两个三角形不全等，其中一个是锐角三角形，一个是钝角三角形．
24．(1)1
(2)为等腰直角三角形，详见解析
(3)的周长不变，为4，详见解析
【分析】本题主要考查坐标与图形，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识：
（1）过点P分别作，，的垂线，垂足分别为E、F、M，由得，再根据可得结论；
（2）延长交y轴于点R，作于S，于T，根据垂直平分线的性质得，证明，，分别平分，，得，，证明得，得，再证明，得出，即可得到结论；
（3）过点P分别作垂线，，，，连，．证明，，得到，，可求出的周长为，故可得结论
【详解】（1）解：过点P分别作，，的垂线，垂足分别为E、F、M，如图
，，，
，，，
，
，
，
∵,
∴，
∴
．
（2）解：如图．延长交y轴于点R，作于S，于T，
点C是垂直平分线上的点，
，
，
，
，
，
到，，的距离均为1，
，，分别平分，，，
，
，
于S，于T，平分，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，且．
（3）解：的周长不变，为4，理由如下：
过点P分别作垂线，，，，连，．
将沿所在直线翻折，
，
，
，，
，，
的周长为，
，，
，
的周长为4．