2023-2024深圳北师大版九下开学考模拟 (含解析)

2023-2024深圳市九下开学考模拟
一、选择题(共10题；共30分)
1．截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣ B．k≤﹣ 且k≠0
C．k≥﹣ D．k≥﹣ 且k≠0
4．如图，中，点D，E分别在边上．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．3
5．我省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，今年第一季度的总营业额是3640万元．若设月平均增长率是 ，那么可列出的方程是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点作于点.当时，EH的长为（　　）
A． B． C． D．
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
8．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为α，高为h米，扶梯的长度是（　　）
A． B．hcosα C．hsinα D．
9．如图，已知抛物线 的对称轴是 ，直线 轴，且交抛物线于点 ，下列结论错误的是（　　）
A．
B．若实数 ，则
C．
D．当 时，
10．如图，矩形中，点E在边上，且，作于点F，连接的延长线交于点O，交于点G．以下结论：①；②为的角平分线；③若，则；④若平分，，则矩形ABCD的面积为．则正确结论的个数是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题(共5题；共15分)
11．已知： ，则 的值是　 　.
12．若是二次函数，则a=　 　.
13．如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处已知，，则　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，过点作轴的垂线，与函数的图象交于点，连结交轴于点，若点的横坐标为1，且，则点的横坐标是　 　．
15．如图，在中，，，是边上一点，且，是延长线上一点，连接交于，若，则的长度为　 　．
三、解答题(共7题；共55分)
16．计算：
17．某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的将好情况：学校随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查，并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图：
（1）参加问卷调查的学生人数是 　 　人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为 　 　．
（2）估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？
（3）现从喜好编导表演的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档彩排双人相声，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？
18．金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
19．参照学习函数的过程与方法，探究函数y＝ 的图象与性质．
因为y＝ ，即y＝﹣ +1，所以我们对比函数y＝﹣ 来探究．
列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 4 …
y＝﹣ … 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ …
y＝ … 2 3 5 ﹣3 ﹣1 0 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝ 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（1） 请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；
（2） 观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而　 　；（填“增大”或“减小”）
②y＝ 的图象是由y＝﹣ 的图象向　 　平移　 　个单位而得到；
③图象关于点　 　中心对称．（填点的坐标）
（3） 设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝ 的图象上的两点，且x1+x2＝0，试求y1+y2+3的值．
20．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
21． 【阅读理解】已知关于、的二次函数，它的顶点坐标为，故不论取何值时，对应的二次函数的顶点都在直线上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同的抛物线为同源二次函数，该条直线为根函数．
（1）【问题解决】若二次函数和是同源二次函数，求它们的根函数；
（2）已知关于、的二次函数：，完成下列问题：
求满足二次函数的所有二次函数的根函数；
若二次函数与直线交于点，求点到轴的最小距离，请求出此时为何值？并求出点到轴的最小距离．
22．
（1）【问题初探】
如图1，等腰中，，点为边一点，以为腰向下作等腰，．连接，，点为的中点，连接．猜想并证明线段与的数量关系和位置关系．
（2）【深入探究】
在（1）的条件下，如图2，将等腰绕点旋转，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）【拓展迁移】
如图3，等腰中，，．在中，， ．连接，，点为的中点，连接．
绕点旋转过程中，
①线段与的数量关系为：　 　；
②若，，当点在等腰内部且的度数最大时，线段的长度为　 　．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解： 截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件的主视图是A选项的图形.
故答案为：A.
【分析】主视图，就是从正面看得到的图形，看得见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，从而即可判断得出答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为：，
故答案为：D.
【分析】先画树状图，再求出共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，最后求概率即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k≥﹣ ，
∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0中k≠0，
则k的取值范围是k≥﹣ 且k≠0．
故选D．
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵
又∵∠DAE=∠CAB
∴△DAE∽△CAB
∴
∴DE=BC==
故答案为：C.
【分析】由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△DAE∽△CAB，相似三角形的对应边之比等于相似比得，从而代入可算出DE的长.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：设月平均增长的百分率是 ，则该超市二月份的营业额为 万元，三月份的营业额为 万元，
依题意，得 ．
故答案为：C．
【分析】设月平均增长的百分率是 ，依据题意列方程即可．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形CDEF是菱形，DE=2，
∴CD=DE=CF=EF=2，CF∥DE，CD∥EF，
∴∠CBO=∠DEO=90°，∠BEF=∠BOC=30°
∴OD=2DE=4，OE=，BF=，BE=，
∴BC=CF+BF=3，BO=OE+BE=，
∵AB=BC，
∴AB=3，
在Rt△ABO中，由勾股定理得AO=，
∵HE⊥AB，
∴∠BHE=∠A=90°，
又∠HBE=∠ABO，
∴△BHE∽△BAO，
∴，即，
解得HE= .
故答案为： C.
【分析】由菱形的性质得CD=DE=CF=EF=2，CF∥DE，CD∥EF，由二直线平行，同位角相等，得∠CBO=∠DEO=90°，∠BEF=∠BOC=30°，然后根据直角三角形中，含30°角所对的直角边等于斜边的一半得OD=2DE=4，OE=，BF=，BE=，进而由线段的和差算出BC、OB的长，在Rt△ABO中，由勾股定理算出OA的长，然后判断出△BHE∽△BAO，最后相似三角形对应边成比例建立方程可求出HE的长.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用正确的命题是真命题；利用平行四边形的判定定理，可对A作出判断；利用矩形的判定定理可对B作出判断；利用菱形的判定定理可对C作出判断；利用正方形的判定定理，可对D作出判断.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：设扶梯的长度为x米，
根据题意，sinα＝
解得x＝
故答案为：D
【分析】设扶梯的长度为x米，利用正弦的定义得到sinα＝，然后求出x即可．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴是 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线开口向上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A说法正确，不符合题意；
∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时， ，
∴当实数 ，则 ，
∴当实数 时， ，故B说法正确，不符合题意；
∵当 时， ，
∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意；
∵ ，
∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，
∴ ，故D说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据对称轴为直线x=-1可得b=2a，根据图象开口向上得a>0，则b2+8a=4a2+8a>0，据此判断A；由图象得当x=-1时，函数取得最小值，ymin=a-b-2，进而判断B；当x=1时，y=a+b-2<0，结合b=2a可判断C；由图象可得直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，据此判断D.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的角平分线，故②正确；
③连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵平分，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴矩形的面积为：，故④正确；
故答案为：D．
【分析】分类讨论，利用矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
11．【答案】
【解析】【解答】解：由 ，可设a=2k，b=3k，(k≠0)，
故： ，
故答案： .
【分析】根据比例的性质，由 ，可设a=2k，b=3k，(k≠0)，然后将a，b的值代入代数式，按整式的混合运算法则即可算出答案。
12．【答案】-2
【解析】【解答】解：∵函数y=是二次函数，
∴2﹣a≠0， ，
∴a≠2，
∴
故答案为：.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此可得2-a≠0且a2-2=2，求解即可.
13．【答案】6
【解析】【解答】解：在矩形纸片ABCD中，∠B =∠D= 90°，AD=BC，
由折叠性质得AF=AD=BC，∠AFE=∠D=∠B = 90°，
∴∠BAF+∠AFB = 90°，∠EFC+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
在Rt△ABF中，
，
∵CF=4，
则，
解得BF= 6；
故答案为：6.
【分析】根据折叠性质和矩形性质得到AF=AD=BC，∠AFE=∠D=∠B=90°，根据等角的余角相等得到∠BAF=∠EFC，再根据，求解即可.
14．【答案】2
【解析】【解答】设点A的坐标为，设AC与x轴的交点为E，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，如图，
∵点C在函数的图象上，且AC⊥x轴，
∴C的坐标为，
∴EC=k，
∵BF⊥x轴，CE⊥x轴，
∴ ，
∴ ，
又∵，
∴ ，
∴，
即，
∴点B的纵坐标为，代入反比例函数解析式：，
当时，，
∴B点的横坐标是2，
故答案为：2．
【分析】设点A的坐标为，设AC与x轴的交点为E，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，先证明可得，再结合可得，求出，再将点B的坐标代入可得，求出k的值，即可得到点B的横坐标。
15．【答案】
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BM=CM=4，
∴AM==3.
∵BD=AB=5，
∴DM=BD-BM=AB-BM=5-4=1，
∴AD=，CD=CM-DM=4-1=3.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵∠ADE=∠B，
∴∠ADE=∠C.
∵BD=AB，
∴∠BAD=∠BDA.
∵∠BAD=∠ADE+∠E，∠BDA=∠C+∠DAC，
∴∠E=∠DAC，
∴△ADE∽△DCA，
∴，
∴DE=.
∵∠ADE=∠C，∠DAF=∠CAD，
∴△ADF∽△ACD，
∴，
∴DF=，
∴EF=DE-DF=-=.
故答案为：.
【分析】过点A作AM⊥BC于点M，由等腰三角形的性质可得BM=CM=4，利用勾股定理可得AM，然后求出DM、AD，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，结合∠ADE=∠B可得∠ADE=∠C，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△DCA、△ADF∽△ACD，由相似三角形的性质可得DE、DF，然后根据EF=DE-DF进行计算.
16．【答案】解：原式
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据负整数指数幂的性质、0指数幂的性质及绝对值的性质分别化简，然后再计算二次根式的乘法，最后计算有理数的加减法即可得出答案.
17．【答案】（1）240；36°
（2）解：最喜欢D活动的人数占总调查人数：，
∴最喜欢C活动的人数占总调查人数：1-35%-25%-10%=30%，
∴1000名学生中最喜欢C活动的人数约有：人．
（3）树状图如下：
恰好选到甲和丁同学有2种情况，总的情况有12种，
∴恰好选到甲和丁同学的概率为．
18．【答案】解：过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，
∴ME=DC=3．CM=ED，
在Rt△AEF中，∠AFE=60°，设EF=x，则AF=2x，AE= x，
在Rt△FCD中，CD=3，∠CFD=30°，
∴DF=3 ，
在Rt△AMC中，∠ACM=45°，
∴∠MAC=∠ACM=45°，
∴MA=MC，
∵ED=CM，
∴AM=ED，
∵AM=AE﹣ME，ED=EF+DF，
∴ x﹣3=x+3 ，
∴x=6+3 ，
∴AE= （6+3 ）=6 +9，
∴AB=AE﹣BE=9+6 ﹣1≈18.4米．
答：旗杆AB的高度约为18.4米．
【解析】【分析】过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，设EF=x，根据AM=DE，列出方程即可解决问题．
19．【答案】（1） 解：函数图象如图所示：
（2）增大；上；1；（0，1）
（3） 解：∵x1+x2＝0，
∴x1＝﹣x2，
∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，
∴y1+y2＝2，
∴y1+y2+3＝5
【解析】【解答】解：（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；
②y＝ 的图象是由y＝﹣ 的图象向上平移1个单位而得到；
③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）
故答案为增大，上，1，（0，1）
【分析】（1）利用描点法，画出函数的图象。
（2）①观察函数图象，进行分析可知x＜0时，y随x的变化情况；②观察函数的图象，可知可得到两图像的平移规律；③然后就可得到y＝ 的图像是关于（0，1）对称。
（3）由x1+x2＝0，可得到x1＝﹣x2，再由A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，就可求出y1+y2，然后整体代入可求解。
20．【答案】（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．
又∵∠ADE=45°，
∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．
∴∠EDC=∠BAD．
∴△ABD∽△DCE．
（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．
②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，
于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2
③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，
如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．
【解析】【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的两个底角都是45°，得到一对对应角相等；再根据三角形的外角的性质得到∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，从而证明∠EDC=∠BAD，根据两个角对应相等，得到两个三角形相似；
（2）根据等腰三角形的定义，此题要分三种情况进行分析讨论．根据等腰三角形的性质进行计算．
21．【答案】（1）解：，
该抛物线的顶点为；
，
该抛物线的顶点坐标为．
设经过点和点的直线的解析式为，
，
解得：．
．
它们的根函数为直线．
（2）解：，
该抛物线的顶点坐标为，
设顶点在直线上，
．
解得：，
顶点在直线上，
满足二次函数的所有二次函数的根函数为．
二次函数与直线交于点，
．
．
，
点的纵坐标当时，由最小值为．
点到轴的最小距离为，此时．
【解析】【分析】（1）首先根据配方法分别求出两条抛物线的顶点坐标，然后根据根函数的定义，设出直线解析式，将两个顶点坐标代入所设的直线解析式中求出即可.
（2）①首先根据配方法求出二次函数的顶点坐标，然后根据根函数的定义，代入定点左边即可求出根函数的解析式.
②先根据二次函数与直线x=-3交于点P，求出点P的坐标，然后算出点P到x轴的距离，对其配方即可求出最小值.
22．【答案】（1）解：，，理由如下：
如图，延长交于点，
为等腰直角三角形，，
，
为等腰直角三角形，，
，，
又，
，
，
在中，点为斜边的中点，
，
，
设，则，
，
，
在，点为斜边的中点，
，
，
，
，
；
（2）解：结论，，仍然成立，理由如下：
如图，取的中点，连接，，延长分别交，于点，，
点，分别是，的中点，
，
，
，
在等腰中，点是的中点，
，，
，
点，分别是，的中点，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
在和中，
，，
，即．
综上：，；
（3）；
【解析】【解答】解：（3）①如图，取的中点，连接，，延长分别交，于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
点，分别是，的中点，
，，
，
在等腰中，点是的中点，，
，，，
∴，
∴，即，
，
点，分别是，的中点，
，
，
，
，
，
，
，
∴；
故答案为：
②∵，，
∴点D在以点B为圆心，长为半径的圆上运动，
∴当时，最大，
过点E作，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
在中， ，
由①得：，
．
【分析】（1），，理由：延长交于点，根据SAS证明△DBC≌△EBC，可得CD=CE，根据直角三角形斜边中线的性质可得AF=CD=CE， 设，则， 由全等三角形的性质可得，再根据直角三角形斜边中线的性质可得AF=CF，利用等腰三角形的性质及三角形内角和求出∠FPC=90°，继而得解；
（2）仍然成立，理由：取的中点，连接，，延长分别交，于点，， 根据三角形中位线定理及等腰直角三角形可得 ， 再证明， 可得 ，，继而得解；
（3）①取的中点，连接，，延长分别交，于点，，根据等腰三角形及直角三角形的性质可得，再证，利用相似三角形的性质即可求解；②判断出点D在以点B为圆心，长为半径的圆上运动，则当时，最大，过点E作，则四边形为矩形，可得，由勾股定理求出CD，从而得出CH，在中，由勾股定理求出CE，继而得解.
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