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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 七年级下册 第9章
课标要求 (1)在三角形的内角和与外角和的知识形成过程中，思考数学方法在解决数学问题中的意义与作用，其中更重要的是探求数学知识的过程的价值。(2)通过正多边形的拼接体会与思考数学知识在解决现实生活的问题中的价值，从中进一步思考与体验数学美的应用价值．（3）在研究数学问题中，经历活动、讨论、交流的过程，感受学习的乐趣，感受学习的社会性与个体性.体会独立思考与独立探究的乐趣，在此基础上体验与他人交流与合作的快乐，并在其中敢于发表自己的见解或观点，
内容分析 《多边形》这章主要内容是三角形与多边形的有关概念，以及边、角的性质。教材从现实生活中的地板的拼接提出问题，进而研究三角形和多边形的本概念，如三角形中的主要线段等，在此基础上研究三角形的三边关系以及内角关系，及多边形的内角关系，最后研究正多边形在拼接地板中的应用中隐含的数学道理．
学情分析 使学生经历实验、探索的过程，体验如何用数学思想方法分析解决问题，改变“结论一-例题--练习”的陈述模式，而是采用“问题一-探究一-发现”的研究模式，并采用多种探究方法，对“三角形的外角性质及外角和”同时采用拼图和数学说理的方法，对“三角形的三边关系”采用画图的方法．对“多边形的内角和与外角和”采用计算与归纳说理的方法．
单元目标 教学目标1)了解三角形的内角、边、主要线段及多边形的内角的概念；了解三角形的稳定性；了解三角形的分类的知识与方法；了解几种特殊三角形与多边形的特征.探索并掌握三角形的内角和与外角性质，以及多边形的外角和的性质，在有关的计算中能正确的使用解决问题.掌握三角形的三边关系的知识并会合理应用其解决问题．会用直尺和量角器画出三角形的三条主要线段；会在知识的形成过程中，体验知识的探索、归纳的过程，学会合情推理的数学思想方法．感受三角形知识在日常生活中的应用价值是什么原因形成的，体会三角形的稳定性在生活中的引用，思考其中的数学规律在三角形的内角和与外角和的知识形成的意义与作用，（二）教学重点、难点教学重点:三角形的有关概念及三角形的分类，正确用刻度尺和量角器画三角形的角平分线、高和中线，三角形的三边关系及外角和定理，以及它们的应用；探究和归纳任意多边形的内角和与外角和公式，并运用它们进行计算.教学难点:探究和归纳任意多边形的内角和与外角和公式，了解可以拼在一起的几何图案及否拼成几何图案的依据．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架1.教材特点分析：1、淡化概念教学，以实际问题为主线，充分利用现实世界中的实物原型进行教学，展示丰富多彩的几何世界．本章由“瓷砖的铺设”导入，接着研究三角形和多边形的性质，最后运用三角形和多边形的有关性质探索拼地板的问题，体现了数学来源于实践，又应用于实践的特点．在呈现方式上，改变“结论一-例题--练习”的陈述模式，而是采用“问题一-探究一-发现”的研究模式，并采用多种探究方法，对“三角形的外角性质及外角和”同时采用拼图和数学说理的方法，对“三角形的三边关系”采用画图的方法．对“多边形的内角和与外角和”采用计算与归纳说理的方法．2、重视基础、重视方法、立足发展新教材降低了知识的难、繁程度，重视渗透和揭示基本的数学思想方法，加强数学内部的联系以及与相关学科的联系，注重教材内容的开放性和多元性，使学生经历实验、探索的过程，体验如何用数学思想方法分析解决问题，培养学习和应用数学的能力，为学生搭建可持续发展的平台．2.本章教学建议：在本章教学中建议抓住以下几个主要环节: （1）在第一节“瓷砖的铺设”的教学中为了让学生更好地认识多边形、了解多边形及其作用，可提前组织学生作一次课外实践活动，如到建材市场、大街上、公园里、或上网查询等，收集瓷砖的各种形状及能拼成的图形．（2）在三角形的教学中，教材重点介绍了三角形外角的性质、外角和三边的关系。在小学已有的基础上，让学生进一步了解三角形其它知识，教师要大胆放手，让学生去探索、交流、发现规律、总结规律。（3）用正多边形拼地板的教学，是对本章一开始所得出的问题的解答，又是对三角形和多边形有关知识的应用，通过用相同的或几种正多边形拼地板，巩固对多边形内角和与外角和的运用。（4）注意加强学生对几何语言的表示、图形的认识以及适当的推理训练。重视数学思想方法的教学(1)、类比思想类比方法是指在不同对象之间，或者在物与事物之间，根据它们某些方面(如特征、属性、关系) 的相似之处进行比较，通过类比可以发现新旧知识的相同点和不同点，有助于利用已有知识去认识新知识和加深理解新知识，同时用新知识解决处理旧问题，扩大或更新解决旧问题的渠道和方法．(2)、分类讨论的思想方法由于题目的条件约束较弱(条件趋一般) 或图形位置的变化，常常使同一问题具有多种形态，只有考查全面(所有不同的情况)，才能把握总体的实质，此种情况下应当进行适当分类，就每一种情况研究讨论结论的正确性．(3)、方程思想求解问题，当未知数不能直接求出时，一般地设出未知数，继而建立方程，用解方程的方法求出结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想．(4)、化归思想本章中，有很多求多个角的和这一类问题，我们在解决这类问题时常把它们的和化归为一个多边形的内角和(或外角和)．4.单元知识结构框架：课时安排课时编号单元主要内容课时数9.1.1 认识三角形19.1.2三角形的内角和与外角和19.1.3 三角形的三边关系1 9.2.1多边形的内角和19.2.2多边形的外角和19.3.1 用相同的正多边形铺设地面19.3.2用多种正多边形铺设地面
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务9.1.1 认识三角形1.了解三角形的基本元素与中线、高线、角平分线.2.掌握不同形状的三角形，三角形按角、按边分类的方法.3.知道等腰三角形、等边三角形的概念. 1.三角形的边和内角，以及外角，等腰三角形、等边三角形的区别和联系．2.对外角概念的理解．活动一：通过三角形的边、顶点、内角、外角，引入新课．活动二：通过对例题的学习，掌握不同形状的三角形，三角形按角、按边分类的方法．9.1.2三角形的内角和与外角和1.理解三角形的外角的两条性质以及三角形的内角和与外角和.2.会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算．1.理解并掌握三角形外角的性质以及其外角的和．2.三角形内角和外角的计算.活动一：激发学生继续探究三角形内角和和外角和的兴趣。．活动二：会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算．9.1.3 三角形的三边关系1.掌握和理解三角形三边的关系.2.认识三角形的稳定性，并能利用三角形的稳定性解决一些实际问题．1.三角形任何两边之和大于第三边的应用．2．已知三角形的两边求第三边的范围．活动一：动手操作引导学生发现不能摆成三角形的原因，并探索能摆成三角形的条件．活动二：会利用三角形三边关系解决有关问题，了解三角形的稳定性．活动三：巩固例题．9.2.1多边形的内角和1.理解多边形和正多边形的定义.2.掌握多边形内角和公式.3.会用多边形内角和公式进行相关计算． 1.探索和应用多边形内角和定理．2.推导多边形的内角和定理．活动一：以总结多边形的内角和的规律，引入新课，激发学生探究知识的欲望.活动二：学习例题，会用多边形内角和公式进行相关计算．9.2.2多边形的外角和1、了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角 .2、掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题.1.多边形的外角和公式及其应用.2.多边形的外角和公式的应用.活动一：激发学生探究多边形的外角和的兴趣.活动二：掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题.9.3.1用相同的正多边形铺设地面1.通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式.2.探索用各种正多边形拼地板的过程和原理.1.通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式.2.在数轴上确定不等式组的解集.活动一：以实物图形加深对地板（地砖）铺设的认识.提出问题，导出本节要探究的课题.活动二：通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式．活动三：巩固例题．会探索用各种正多边形拼地板的过程和原理.9.3.2用多种正多边形铺设地面 1.使学生理解多种正多边形能够铺满地面的数学道理，掌握两种及两种以上的正多边形能够铺满地面的种类.2.通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象能力.1.通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象能力.2.寻找用哪几种正多边形能铺满地板的种类.活动一：从准备的材料中任取两种正多边形进行组合，探讨是否也能铺满地面.活动二：通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象能力.
《第9章 多边形》单元教学设计
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9.2.2多边形的外角和
华师大版 七年级 下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
学习目标
1.理解多边形外角的定义.
2.掌握多边形外角和.
3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题.
新知导入
n边形的内角和为_________________．
(n-2) 180 °
它有什么作用呢
1.知道多边形的边数,可以求出多边形的度数.
2.知道多边形的度数,可以求出多边形的边数.
新知讲解
合作学习
多边形有没有外角？有没有外角和？若有外角？有多少个外角？请以下图为例，说说看.
问题1
提示：多边形中一个内角有两个外角
1.什么样的角时多边形的外角？
2.怎样的角的和才算是多边形的外角和呢？
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的外角和.
思考
问题2
（1）小明从一条街道转到下一个街道时，身体转过的角是那个角？
（2）他跑玩一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3） 在右图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= ？吗？你是怎么得到的？
清晨，小明沿一个五边形的广场周围的小路，按逆时针方向跑步.
1
2
3
4
5
α
θ
β
σ
γ
结论：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 360°
我们可以借助多边形内角和来证明：
∠1
∠2
∠3
∠4
∠5
因为∠1+∠6=180°
同理可得∠5+∠AED=180°∠4+∠EDC=180°
∠3+∠BCD=180° ∠2+∠ABC=180°
则∠1+∠BAE+∠5+∠AED+∠4+∠EDC+∠3+∠BCD+∠2+∠ABC=5×180°
又因为∠BAE+∠AED+∠EDC+∠BCD+∠ABC=540°
所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 360°
那如果广场的形状是六边形、七边形、八边形…n边形呢？结论还是一样的么？
多边形的边数 多边形的外角和
六边形
七边形
八边形
...
n边形
探索多边形的外角和:
多边形的边数 ３ ４ ５ ６ ７ … ｎ
多边形的内角与外角的总和 …
多边形的内角和 …
多边形的外角和 …
540°
720°
900°
1080°
1260°
180°
360°
540°
720°
900°
360°
360°
360°
360°
360°
n× 180°
（n－2）×180°
360°
提炼概念
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和
n边形的外角和等于360°.
－(n－2) × 180°
=360 °
=n个平角-n边形内角和
= n×180 °
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
与边数无关
典例精讲
例3 一个多边形的每个外角都是72°,这个多边形是几边形
解 设多边形的边数为n,根据题意,
得n ·72° = 360°.
解得
n =5.
因此,这个多边形是五边形.
例4 一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，这个多边形是几边形
解 设多边形的边数为n,根据题意,得
(n - 2)·180° = 5×360°.
解得
n=12.
因此,这个多边形是十二边形.
归纳概念
多边形的外角和定理
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关。
课堂练习
必做题
1. 一个多边形的外角和是360°，这个多边形是（ ）
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 不确定
D
解：若一个多边形的外角和等于360°，
则这个多边形无法确定。
故选D．
2、如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
A
选做题
3.如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10 m后左转24°，再沿直线前进10m，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是 .
150
综合拓展题
4.已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°,根据题意得
7x+2x=180，
解得x=20.
即每个内角是140 °，每个外角是40 °.
360° ÷40 °=9.
答：这个多边形是九边形.
还有其他解法吗？
课堂总结
1、正n边形的内角和：
（n-2) 180 °(n ≥3的整数）
2、任意多边形的外角和都等于360°
特别注意：与边数无关。
作业布置
必做题
1.若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是( )
A．7 B．10
C．35 D．70
C
选做题
2. 一个多边形的内角和与外角和的差为1260°，求它的边数．
解：设多边形的边数是n，
则：（n-2） 180°-360°=1260°，
解得：n=11，
答：这个多边形的边数是11．
综合拓展题
3.一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°，
则得到一个方程组 解得
而任何多边形的外角和是360°，
则该正多边形的边数为360÷120=3，
故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条．
谢谢
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分课时教学设计
第5课时《9.2.2多边形的外角和 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 了解多边形的内角、外角、对角线等概念.在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理.
学习者分析 经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会和别人交流自己的思想和方法.
教学目标 1、了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角 . 2、掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题．
教学重点 多边形的外角和公式及其应用．
教学难点 多边形的外角和公式的应用．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入 回顾： n边形的内角和公式是什么？ n边形的内角和为(n -2) ·180° 它有什么作用呢 1.知道多边形的边数,可以求出多边形的度数. 2.知道多边形的度数,可以求出多边形的边数. 探究一： 问题1 多边形有没有外角？有没有外角和？若有外角？有多少个外角？请以下图为例，说说看. 学生活动1： 通过探究活动理解．学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知.激发学生探究多边形的外角和的兴趣. 活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发.了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角 .环节二：新课讲解 思考 1.什么样的角时多边形的外角？ 2.怎样的角的和才算是多边形的外角和呢？ 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角. 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的外角和. 与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个,这两个外角是对顶角. 从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为多边形的外角和. 如图9.2.6，∠1+∠2+∠3+∠4就是四边形ABCD的外角和. 从图中可以知道: (∠1 +∠5)+(∠2 +∠6) +(∠3+∠7)+(∠4 +∠8 ) = 4 x180°, 所以∠1 +∠2+∠3 +∠4= 4 × 180°-(∠5+∠6 +∠7+∠8). 四边形ABCD的内角和为 ∠5+∠6+∠7+∠8=360°. 因此∠1+∠2+∠3+∠4= 360°. 那么,n边形的外角和应该等于多少度呢 探究二： 探索 根据n边形的每一个内角与它的相邻的外角都互为补角,可以求得n边形的外角和. 据此,请将数据填入表9.2.2中. 因此,任意多边形的外角和都为360°. 学生活动2： 学生相互交流． 学生可相互交流，学生自主探究，得出结论 教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论.在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理. 活动意图说明： 导学生建立模型，鼓励学生大胆探索，在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理. 积累解题经验，提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.环节三：例题讲解教师活动3： 例3 一个多边形的每个外角都是72°,这个多边形是几边形 解 设多边形的边数为n,根据题意, 得n ·72°= 360°. 解得 n =5. 因此,这个多边形是五边形. 例4 一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，这个多边形是几边形 解 设多边形的边数为n,根据题意,得 (n - 2)·180°=5×360°. 解得 n=12. 因此,这个多边形是十二边形. 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. 巩固例题. 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题．从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 一个多边形的外角和是360°，这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 不确定 2、如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 选做题： 3.如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10 m后左转24°，再沿直线前进10m，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是 . 【综合拓展类作业】 4.已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是( ) A．7 B．10 C．35 D．70 选做题： 2. 一个多边形的内角和与外角和的差为1260°，求它的边数． 【综合拓展类作业】 3.一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
教学反思
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分课时学案
课题 9.2.2多边形的外角和 单元 第一单元 学科 数学 年级 七年级下
学习目标 1、了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角 .2、掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题.
重点 多边形的外角和公式及其应用．
难点 多边形的外角和公式的应用．
教学过程
导入新课 【引入思考】 探究一:问题1多边形有没有外角？有没有外角和？若有外角？有多少个外角？请以下图为例，说说看.思考1.什么样的角时多边形的外角？2.怎样的角的和才算是多边形的外角和呢？
新知讲解 本节课来研究：标明学习内容1.我们可类似三角形的外角定义来定义多边形的外角. 另一边的_______所组成的角叫做这个多边形的外角。与多边形的每个内角相邻的外角有____个，它们是____角。2.如图延长 AB、CB得四边形ABCD的两个外角∠___和∠___，这两个外角是___。任何一个外角同于他相邻的内角有什系？一个n边形有__个内角，有___ 个外角。3.从与每个内角相邻的两个外角中分别取____ 个相加，得到的和称为多边形的外角和。4.四边形的外角和= 。探究二:1.如果将上例中四边形换成n边（n≥3）,可以得到同样的结果吗？因为n边形的一个内角与它的相邻的外角互为___ _，所以可先求出多边形的内角与外角的总和，再减去___ _，就可得到外角和。多边形的边数3456…n多边形的内角与外角的总和3×180°=540°___×180°多边形的内角和360°多边形的外角和360°结论：多边形的外角和= ___________ 注：多边形的外角和与____无关.提炼概念（本节课主要内容提炼）典例精讲 例3 一个多边形的每个外角都是72°,这个多边形是几边形 例4 一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，这个多边形是几边形
课堂练习 巩固训练1. 一个多边形的外角和是360°，这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 不确定 2、如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）A. 8 B. 9 C. 10 D. 113.如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10 m后左转24°，再沿直线前进10m，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是 .4.已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.课后作业必做题：1.若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是( )A．7 B．10C．35 D．70选做题：2. 一个多边形的内角和与外角和的差为1260°，求它的边数．【综合拓展类作业】
课堂小结
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