2023-2024学年江苏省盐城重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省盐城重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数为，且，，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，空间四边形中，，，，且，，则等于( )
A. B.
C. D.
5.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为( )
A. B. C. D.
6.已知圆：，点是直线：上的动点，是圆的切线，为切点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左右顶点分别为，，为双曲线上一点，直线交的一条渐近线于点，直线，的斜率分别为，，若，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和是，且，，则( )
A. B. C. D. 的最大值为
10.已知曲线，则( )
A. 可能是两条平行的直线
B. 既不可能是抛物线，也不可能是圆
C. 不可能是焦点在轴上的双曲线
D. 当时，是一个焦点在轴上的椭圆
11.在空间直角坐标系中，已知点，，，则( )
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C.
D. 在上的投影向量的模为
12.已知函数，若存在，，使得成立，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列的前项和，则 ______．
14.若实数，满足，则的最大值是______．
15.已知椭圆的左右焦点分别是，，上顶点为，且是面积为的正三角形，若过且垂直于的直线交椭圆于，两点，则的周长为______．
16.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，为奇函数，若，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点．
求直线的方程；
若直线恒过定点，求点到直线的距离．
18.本小题分
已知函数在处取得极大值．
求的解析式；
求在上的最值．
19.本小题分
已知公差不为的等差数列和等比数列中，，，．
求数列，的通项公式；
若为数列的前项和，求使成立的的取值范围．
20.本小题分
在四棱锥中，底面为正方形，，面，，分别为，的中点，直线与相交于点．
求到平面的距离；
求直线与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为、，短轴上下端点分别为、若四边形为正方形，且．
求椭圆的离心率；
若、分别是椭圆长轴左右端点，动点满足点在椭圆上，且满足，求的值为坐标原点；
在的条件下，试问在轴上是否存在异于点的定点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
已知函数，其中．
若，求函数的增区间；
若在上的最大值为．
求的取值范围；
若恒成立，求正整数的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：空间向量，且，
，
．
故选：．
由题意可知，再结合空间向量的坐标运算求解．
本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，，
则，，，，，，
由此不难发现，数列的项具有周期性，且最小正周期为，
故．
故选：．
根据数列的递推公式和首项依次求出若干项，即可发现项的周期性，从而得解．
本题考查数列的递推式，求得数列的周期是解题的关键，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性表示与应用问题，属于基础题．
根据空间向量的线性表示，用、和表示出即可．
【解答】
解：由题意知，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：的导数为，
设，，
可得曲线在处的切线的斜率为，
当处的切线与直线平行时，到直线的距离最小．
由，解得舍去，
即有切点，可得到直线的距离为．
故选：．
求得的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件，解方程可得切点的坐标，再由点到直线的距离公式，可得所求最小值．
本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：如图，连结，
圆的半径为，则，，
圆心到直线的距离，从而，
于是，当时，取得最小值，且最小值为．
故选：．
把化成，再利用切线长性质转化为求点到直线的距离即可作答．
本题考查直线与圆的位置关系，考查数量积的几何意义，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：由点在确定的平面内，且，
可得，即，
则
，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为．
故选：．
首先根据共面向量定理的推论，得，再根据基本不等式求最小值即可．
本题考查共面向量定理的推论，考查基本不等式求最值，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，即有，
即为，
由，，，
可得的斜率为，
可得的斜率为，
两式相乘可得，，
即有，
即有．
故选：．
设，即有，即为，由两直线垂直的条件：斜率之积为，以及直线的斜率公式，化简整理，结合离心率公式计算即可得到所求值．
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点满足双曲线的方程，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：等差数列的前项和是，且，，
，，
，，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，，，，
的最大值为，故D正确．
故选：．
利用等差数列的性质求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：当时，可能是两条平行的直线，即，所以A正确；
曲线，方程不可能出现抛物线方程的形式，
当时，方程化为，时，方程表示圆，即，即，显然不成立，所以方程不表示圆．
所以B正确；
当，时，，是焦点在轴上的双曲线，所以不正确；
当时，方程化为，方程表示椭圆，，所以椭圆的焦点坐标在轴上，所以不正确．
故选：．
利用和的取值逐一判断即可．
本题考查曲线方程的应用，椭圆以及双曲线，抛物线的简单性质的应用，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，，，
对于，，所以，故A错误；
对于，，所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，，故B正确；
对于，，，所以，故C正确；
对于，，所以在上的投影的数量为，故D错误．
故选：．
直接由向量的坐标运算即可一一判定．
本题考查空间向量在求数量积，空间角，空间距离上的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于：由，得，
所以，，
所以，故A正确；
对于：由可得，
两边同时取对数可得，
因为函数在上为增函数，
所以，
所以，故B正确；
对于、：因为存在，，使得成立，
所以，
所以，
设，
所以，
令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以的最大值为，故D正确．
故选：．
对于：由，得，则，，进而可判断是否正确；
对于：由可得，两边同时取对数，结合单调性，即可判断是否正确；
对于、：根据题意可得，则，设，求导分析单调性，最值，即可判断、是否正确．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由前项和，可得．
故答案为：．
由时，，令，计算可得所求值．
本题考查数列的通项与前项和的关系，考查运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：可表示以原点为圆心，以为半径的圆，
则表示圆上的点到的距离，
设，则，
则所求式子的最大值是为．
故答案为：．
可表示以原点为圆心，以为半径的圆，则表示圆上的点到的距离，结合圆的性质即可求解．
本题主要考查了圆的性质在最值求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意可得，
，，，
又根据题意可知是线段的垂直平分线，
，，
的周长为
．
故答案为：．
先根据的面积建立方程求出，再根据题意可知是线段的垂直平分线，从而可得，，再根据椭圆的几何性质，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：由，得，
令，则，所以在上单调递减，
由为偶函数，得，
又为奇函数，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以为周期为的周期函数，
由，得，
由，得，
所以，所以，
所以，所以，
由，得，所以，
由在上单调递减，得，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
设，判断的单调性，由的性质及，解不等式即可．
本题考查了函数的奇偶性和周期性，利用单调性解不等式，考查了转化思想，属中档题．
17.【答案】解：直线的倾斜角为，，
则，
故直线的斜率为，
这条直线经过点，
则直线的方程为，即；
直线，即，
令，解得，故定点，
点到直线的距离为．
【解析】先求出直线的斜率，再结合直线的点斜式方程，即可求解；
先求出定点，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
18.【答案】解：由，得．
因为在上取得极大值，
所以，解得．
当时，，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故在函数在处取得极大值．
所以．
由可知，，
当，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以函数在处取得极小值，在处取得极大值；
又因为，，
所以在上的最大值为，最小值为．
【解析】由在上取得极大值，得到，，再求出，的值即可；
函数求导研究其在上的单调性，得出极值并比较与端点处的函数值即可求出最值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值和最值，利用待定系数法求函数的解析式，考查了方程思想，属中档题．
19.【答案】解：是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，．
，
，．
，
又，
，
又是增函数，
，
使成立的的取值范围为．
【解析】利用等差数列和等比数列的通项公式即可求解；
利用裂项法求和即可求解．
本题考查了等差数列和等比数列的综合，裂项法求和，属于中档题．
20.【答案】解：根据题意，建系如图，
则，，，，
，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，取，
到平面的距离为：；
由可得直线与平面所成角的正弦值为：
，．
【解析】建系，根据向量法，向量数量积的运算，即可求解；
建系，根据向量法，向量夹角公式，即可求解．
本题考查点面距的求解，线面角的求解，属中档题．
21.【答案】解：依题意得：且，
又，，，
故椭圆的离心率；
由可得椭圆的方程为，
设方程为，
联立方程组，
可得，
解得，，
，
，，三点共线，
，
又由，可得：，即，
联立方程组，可得，
则
；
设，
则，，
则由，得，解得，
即存在一点满足条件．
【解析】依题意可得且，根据，即可求解；
设方程为，联立直线与椭圆方程，求出交点的横坐标，由，可得到点坐标，由，可得，从而求出点坐标，即可求证定值；
设，表示出，，根据斜率之积为，求出即可．
本题考查椭圆方程的求法，考查向量的性质及数量积运算，考查直线与椭圆的综合应用，属难题．
22.【答案】解：当时，，
其定义域为，
令，解得，
函数的增区间为．
由，得，
若，则，单调递增；
若，
当时，，单调递增，当时，，单调递减；
当时，单调递增，时，，满足题意；
当时，在时，，满足题意；
当时，即，在
令，则，
当时，，单调递增，
，即，不满足题意，
综上，的取值范围是；
由题意，，，即，
考虑直线的极端情况，则，即，
令，显然是减函数，
，
存在唯一的使得，
当时，，当时，，
则，
，即，故的最小值可能是或，
验算，，，，
，满足题意，
综上，的最小值是．
【解析】将代入中，求导后，由求出的单调递增区间；
分类讨论的范围得出函数的单调性，根据最大值求出的取值范围；利用分离参数法求出的最小值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
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