2023-2024学年湖南省岳阳市名校联考高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省岳阳市名校联考高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合中只有一个元素，则实数( )
A. B. C. D. 或
2.已知，，若集合，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
4.把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是( )
A. B.
C. D.
5.已知是定义域为的奇函数，满足，若，则( )
A. B. C. D.
6.定义在上的偶函数满足：对任意的，，有且，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
7.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.奇函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，；，，当时，则下列选项成立的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
10.已知，集合，集合，则下列正确的是( )
A. 若，则实数的取值范围是
B. 若，则实数的取值范围是
C. 若，则实数的取值范围是
D. 若，则实数的取值范围是
11.的解集为，则( )
A.
B. 若，则
C. 若，则的解集为
D. 有最小值为
12.已知函数满足当时，，且对任意实数，满足，当时，，则下列说法正确的是( )
A. 函数在上单调递增
B. 或
C. 函数为非奇非偶函数
D. 对任意实数，满足
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，若函数的值域为，则的取值范围是______．
14.已知，则 ______， ______．
15.已知，设函数在的最大值为，最小值为，那么的值为______．
16.已知函数，若，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合．
求集合；
设全集为，集合，若是成立的必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数对任意实数，，恒有，当时，，且．
判断的奇偶性；
求在区间上的最大值；
若对所有的，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知．
化简，并求的值；
若，求的值．
20.本小题分
如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形图中阴影部分上铺花岗岩地坪，造价为元；再在四个空角图中四个三角形上铺草坪，造价为元设总造价为单位：元，长为单位：．
用表示的长度，并求的取值范围；
当为何值时，最小？并求出这个最小值．
21.本小题分
中国“一带一路”战略提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为万元，每生产台需要另投入成本万元，当年产量不足台时万元；当年产量不少于台时万元若每台设备的售价为万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
求年利润万元关于年产量台的函数关系式；
年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中获利最大？
22.本小题分
已知函数，且．
求实数的值；
若的图象与直线有且只有一个交点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当时，由可得，满足题意；
当时，由只有一个根需满足，
解得．
综上，实数的取值为或．
故选：．
分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
解得，或，，
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，．
故选：．
根据集合相等的定义求出，，即可得解．
本题主要考查了集合相等条件的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设，
因为的图象过点，
所以，
解得，
即，
可得在上单调递减，
则函数，
由，解得或，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为．
故选：．
利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果．
本题主要考查了幂函数的定义和性质，考查了复合函数的单调性，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：将上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到，
再将上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，
将上所有点向左平移个单位，得到．
故选：．
利用图像的平移变换和周期变换的结论，根据结果反向变换即可得出结果．
本题主要考查了函数的图象变换的应用，考查了函数思想，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，满足，变形可得，
又由为奇函数，则，
则有，变形可得，是周期为的周期函数，
．
故选：．
根据题意，分析函数的周期，同时可得，由此可得，即可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的周期性，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：因为定义在上的偶函数满足对任意的，，有，
所以在上单调递减，
因为，所以，
则不等式可转化为或，
即或，
解得．
故选：．
由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：关于的不等式的解集为，
则和是方程的两个实数根，，．
求得，，
则不等式，即，即，
用穿根法求出它的解集为或．
故选：．
由题意，根据一元二次方程与一元二次不等式的关系，求出、的值，再用穿根法求出不等式的解集．
本题主要考查一元二次方程与一元二次不等式的关系，用穿根法求分式不等式的解集，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由为奇函数，得，
所以不等式等价于．
因为奇函数在上单调递增，
根据奇函数的对称性可知，在上单调递增，所以，
解得．
故选：．
由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由，，可得函数是上的奇函数；
由，，，，
得在上单调递减，又是连续函数，
故可得在上单调递减；
令，即，
可得，A正确；
由，
在上单调递减，可得，
即，故B正确；
对，当时，；
当时，；
由在上单调递减，且可知，
的解集为，故C错误；
由，即，则，解得，故D错误．
故选：．
对，由奇函数即可判断；对、、，结合奇偶性和单调性即可判断．
本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断与运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：，集合，集合，则，
若，则实数的取值范围是；
若，则实数的取值范围是．
故选：．
由交集、并集和补集的定义对选项一一判断即可得出答案．
本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意可知：方程的根为，，则，
对于选项A：因为，
整理得，故A正确；
对于选项B：例如，则，满足，
则，故B错误；
对于选项C：若，则，
不等式即为，
整理得，
令，解得或，
且，，
所以的解集为，故C正确；
对于选项D：因为，
当且仅当时，等号成立，
所以有最小值为，故D错误．
故选：．
根据三个二次之间的关系可得对于：根据结合韦达定理分析求解；对于：举例说明即可；对于：整理可得，结合二次不等式运算求解；对于：代入整理可得，即可得最小值．
本题主要考查了三个二次关系的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，令，，得，
由题意知，所以，故B错误；
对于，当时，，则，
又，则当时，，即对任意，．
取任意，且，则，得，
则
即，所以是上的增函数，故A正确；
对于，由是上的增函数且，可知为非奇非偶函数，故C正确；
对于，注意到，
同理，则，
又，且，则
，即，
显然，有，故D正确．
故选：．
对于，由函数单调性定义可判断正误；
对于，令，可判断正误；
对于，由，选项分析可判断正误；
对于，利用做差法及可判断正误．
本题考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：函数在上单调递增，函数值集合为，
由函数的值域为，得函数在时的取值集合包含，
当时，在上单调递减，函数值集合为，不符合题意，
当时，，，函数值集合为，不符合题意，
当时，在上单调递增，函数值集合为，
由，得，解得，由，得，因此，
所以的取值范围是．
故答案为：
求出函数在时的值域，根据给定条件确定当时的取值集合，再分类讨论求解即得．
本题考查函数值域的求法，考查分类讨论思想及综合运算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题，显然且，因为，当且仅当时取等号，又，
所以，
由已知，
所以，．
故答案为：．
将已知式化简后，用表示，即可得函数解析式，从而计算出函数值．
本题主要考查了指数幂的运算姓张的应用，还考查了换元法求解函数解析式，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：
，
则
，
所以，
又因为和是上的增函数，
所以和是上的减函数，
所以是上的增函数，
即是上的增函数，
所以．
故答案为：．
由题目化简，得到，然后根据函数单调性即可得出结果．
本题主要考查函数的单调性和最值，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为，
所以函数的定义域为，
设，
则，
即，
其中，
因为，，
，
，，
所以，即，得，
同时，指数函数在上单调递增，且，则，即，
所以，即成立，
所以函数在上单调递增，且，
若，只需，解得，
故答案是：．
先利用定义判断函数的单调性，设，其中因式 要与比较大小，等价于，判断与的大小即可．
本题考查的知识要点：函数的性质，不等式的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为不等式的解集为，
则和是方程的两根，
所以，解得，
所以不等式为不等式，
解得，即集合．
因为是成立的必要条件，所以．
当时，，解得；
当时，，解得．
综上，实数的取值范围是．
【解析】由题意得和是方程的两根，代入求得，，化简所求不等式，求解即可；
将是成立的必要条件转化为子集关系，结合子集的定义及二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了二次不等式的求解，还考查了充分必要条件与集合包含关系的转化，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．
18.【答案】解：由题意函数对任意实数，，恒有，
令，可得，
领，可得，即，
则是奇函数．
由，
，
设，那么，
当时，，
，即，
，
可得是单调递减函数；
可得在区间上的最大值为；
，
，
那么，
故得在区间上的最大值为；
根据可得在区间上的最大值为；
那么对所有的，恒成立，即
可得，在恒成立，
令，在恒成立，
可得，解得或，
故得实数的取值范围是．
【解析】赋值法结合定义判断即可；
证明的单调性，根据单调性即可求解在区间上的最大值；
换主元素，看成关系的一次函数问题求解即可．
本题主要考查了抽象函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．
19.【答案】解：由于，
则．
因为，所以．
所以．
【解析】将已知条件用诱导公式，和同角三角函数基本关系式化简．
在原式前两项除以，再在分子分母都除以，转化为正切代入求解．
本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．
20.【答案】解：由题意可得，矩形的面积为，因此，
，
．
，，
由基本不等式，
当且仅当，即时，等号成立，
故当时，总造价最小，最小值为元．
【解析】根据已知条件，结合矩形的面积公式，以及，即可求解．
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于基础题．
21.【答案】解：Ⅰ当时，
，
当时，
，
于是．
Ⅱ由Ⅰ可知当时，
，
此时当时取得最大值为万元，
当时，
，
当且仅当即时取最大值为万元，
综上所述，当年产量为台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为万元．
【解析】本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．
Ⅰ通过利润销售收入成本，分、两种情况讨论即可；
Ⅱ通过Ⅰ配方可知当时，当时取得最大值为万元，利用基本不等式可知当时，当时取最大值为万元，比较即得结论．
22.【答案】解：，即，
解得或，因为，所以．
的图象与直线有且只有一个交点，
则方程有且只有一个实数根，
即时，，
，
时，有且只有一个根，
令，
当时，，，
对称轴为，
在只有一个根，
可得或，
解得，
当时，，，在只有一个根，对称轴为，
则，解得．
综上，实数的取值范围是
【解析】由，即可求解的值；
将已知转化为方程有且只有一个实数根求解即可．
本题主要考查函数与方程的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
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