2023-2024学年江苏省盐城市四校高一（上）期末联考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省盐城市四校高一（上）期末联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，且，则的终边所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知，，则“”是“且”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为年月日下午甲市发生里氏级地震，年月日乙市发生里氏级地震，则乙市地震所散发出来的能量与甲市地震所散发出来的能量的比值为( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图像大致是( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.已知函数是奇函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式中成立的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.下列命题是真命题的有( )
A. 函数的值域为
B. 的定义域为
C. 函数的零点所在的区间是
D. 对于命题：，使得，则：，均有
11.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在的值域为
D. 将函数的图象向右平移个单位，所得函数为
12.已知方程与的根分别为，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数的图象经过点，则的值为______．
14.已知，且，则 ______．
15.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形，再分别以点、、为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角如图所示若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．
16.若方程有且仅有个实数根，则实数的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
分别求，；
已知，若，求实数的取值范围．
18.本小题分
化简下面两个题：
已知角终边上一点，求的值；
已知，求的值．
19.本小题分
函数的最小正周期是，且当时，取得最大值．
求函数的解析式及单调递增区间；
存在，使得成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
科技创新在经济发展中的作用日益凸显某科技公司为实现万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金单位：万元随投资收益单位：万元的增加而增加，奖金总数不低于万元，且奖金总数不超过投资收益的．
现有三个奖励函数模型：，，试分析这三个函数模型是否符合公司要求．
根据中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到万元，公司的投资收益至少为多少万元？
21.本小题分
已知函数，，为实数．
当时，求的值域；
设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围．
22.本小题分
已知是函数的零点，．
求实数的值；
若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
又，所以．
故选：．
利用集合的交集运算即可得解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，的终边在第三、第四象限或在轴负半轴上，
，的终边在第一或第三象限，
取交集可得，的终边所在的象限是第三象限角．
故选：．
分别由，求得的终边的位置，取交集得答案．
本题考查三角函数的象限符号，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由“”推不出“且”，例如，，
由“且”可以推出“”，
所以“”是“且”的必要而不充分条件．
故选：．
根据充分条件和必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设里氏级地震所散发出来的能量为，里氏级地震所散发出来的能量为，
则，，
得：，解得：．
故选：．
把两个震级代入后，两式作差即可解决此题．
本题考查对数运算性质，考查数学运算能力，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，其定义域为，
有，则为奇函数，排除、，
在区间上，，有，排除．
故选：．
根据题意，分析函数的奇偶性排除、，由函数值的符号排除，综合可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及三角函数的图象性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意，，
，，
，
解得：，
，
解得：，
，
故选：．
通过求出，的值，即可得出结论．
本题考查的知识要点：同角三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：，，
则只需比较的大小关系，
，
，而，
所以，
所以，所以，
所以，
所以．
故选：．
先将，，进行化简，然后通过比较的大小关系来确定正确答案．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由于是奇函数，，
即
，
所以，由，
可知，若，则的解集为与是奇函数矛盾，
所以由得，，其中，，此时，
的解集满足奇函数定义域的要求．
所以，
当且仅当，即，时等号成立．
故选：．
先求得，的关系式，然后利用基本不等式求得正确答案．
本题主要考查了函数奇偶性的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，当时，，故A错误；
对于，因为，则，，
所以，即，故B正确；
对于，取，，满足，但，故C错误；
对于，因为，所以，，
所以，即，故D正确．
故选：．
利用不等式的性质，结合作差法即可得解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项，，
令，，则的开口向下，对称轴为，
所以当时，取得最大值为；
当时，取得最小值为，所以的值域为，选项正确．
对于选项，对于函数，
由，得，解得，
所以的定义域为，选项错误．
对于选项，在上单调递增，
，
所以函数的零点所在的区间是，选项正确．
对于选项，命题：，使得，
其否定是：，均有，选项错误．
故选：．
根据三角函数的值域、函数的定义域、零点存在性定理、存在量词命题的否定等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查三角函数的最值，函数的零点，命题的否定，函数的定义域的求法，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：由图可知，，周期，
所以，
所以，
因为函数的图象过点，
所以，即，
所以，，即，，
因为，所以，
所以，
选项A，，所以函数的图象关于直线对称，即选项A正确；
选项B，，所以函数的图象不关于点对称，即选项B错误；
选项C，当时，，
所以，，
所以函数在的值域为，即选项C正确；
选项D，将函数的图象向右平移个单位，得到，即选项D正确．
故选：．
由图可知，，，由，可得的值，再将点代入的解析式中，可求出的值，然后结合余弦函数的图象与性质，分析选项ABC，根据函数图象的平移法则，分析选项D．
本题考查三角函数的图象与性质，理解中，，的几何意义，熟练掌握余弦函数的图像与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项，由题意得，，
可变形为，
令，则，
又在上单调递增，故，
由，可得，故A选项错误；
对于选项，由于，，
因为在上单调递增，
由零点存在性定理得，B错误；
对于选项，由选项可知，，由选项得，
故，
故，C正确；
对于选项，由，，得，D正确．
故选：．
选项，可变形为，构造，由函数单调性得到，故，；选项，由函数单调递增和零点存在性定理得到B错误；选项，由选项结论，作差法比较出大小；选项，可以根据选项得出．
本题考查函数零点与方程的根，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：幂函数过点，
，解得，
，故．
故答案为：．
由幂函数所过的点求解析式，进而求的函数值．
本题主要考查了幂函数解析式的求解，还考查了函数值的求解，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由于，所以，
而，所以，
所以．
故答案为：．
根据诱导公式以及同角三角函数的基本关系式求得正确答案．
本题主要考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由己知得：，则，故扇形的面积为，
法：弓形的面积为，
可得所求面积为．
法：由扇形面积的倍减去三角形面积的倍即可得解，
所以所求面积为．
故答案为：．
由题设可得，法：求三个弓形的面积，再加上三角形的面积即可；法：求出一个扇形的面积并乘以，减去三角形面积的倍即可．
本题考查扇形的面积公式、三角形的面积公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为方程有且仅有个实数根，
函数的图象关于直线对称，的图象关于直线对称，
所以方程有且仅有个实数根，
所以，解得或；
当时，函数与的图象如下图所示：
两个函数图象不止一个公共点，不符合题意，舍去；
当时，函数，，
所以两个函数有唯一公共点，
综上，实数的值为．
故答案为：．
根据二次函数、三角函数的对称性和最值进行分析，从而确定正确答案．
本题考查函数的零点与方程根的关系，转化、数形结合的数学思想方法，属中档题．
17.【答案】解：由，可得，
解得，
所以，
所以，；
由于，且不是空集，
所以，
解得，
即实数的取值范围为．
【解析】解不等式求得集合，进而求得，；
根据包含关系列不等式，由此求得的取值范围．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，以及集合间的基本关系，属于基础题．
18.【答案】解：角终边上一点，
所以，
所以；
由，
得，
所以．
【解析】根据三角函数的定义、诱导公式求得正确答案．
利用对数运算求得正确答案．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义、诱导公式以及对数的运算性质，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：的最小正周期为，
所以，
当时，取得最大值，
所以，
且，
所以，
所以，
由，解得，
所以单调递增区间为：，；
若，则，
所以在区间上，当时，取得最小值为，
依题意，存在，使得成立，
所以．
【解析】根据已知条件求得，，，从而求得，利用整体代入法求得的单调递增区间；
通过求在区间上的最小值来求得的取值范围．
本题主要考查了由的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质的综合应用，考查了函数思想，属于中档题．
20.【答案】解：根据题意可知，符合公司要求的函数在上单调递增，
且对任意，恒有，．
对于函数，在上单调递增，
当时，，不符合题意；
对于函数，在上单调递减，不符合题意；
对于函数，在上单调递增，
当时，，
，
而，
所以当时恒成立，符合题意．
根据题意可知，，即，解得，
故公司的投资收益至少为万元．
【解析】根据公司要求知函数为增函数，同时应满足且，一一验证所给的函数模型即可；
由，解不等式即可．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：当时，，，
令，
则在区间上单调递增，，
所以的值域为．
对于函数，
，
所以在区间上的值域为，最小值为．
对于函数，
令，
则的开口向上，对称轴为．
当时，
函数在上单调递增，
，
要使“对任意的，总存在，使得成立”，
则．
当时，函数在处取得最小值，
即，不符合题意．
当时，函数函数在上单调递减，
，
要使“对任意的，总存在，使得成立”，
则，与矛盾，不符合．
综上所述，．
【解析】利用换元法来求得的值域；
通过求在区间上的最值、在区间上的最值，以及对进行分类讨论来求得的取值范围．
本题考查了指数函数、二次函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：是函数的零点
，解之得；
由得，则，
则方程
可化为，
，两边同乘得：，则此方程有三个不同的实数解．
令则，则，解之得或，
当时，，得；
当时，，则此方程有两个不同的实数解，
则，解之得．
则实数的取值范围为
【解析】依据题给条件列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值；
先将题给方程化简整理，利用换元法转化为二次方程有二根，再利用指数函数列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
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