2024年广东省深圳市中考数学复习与检测试卷（含解析）

2024年深圳市中考数学复习与检测试卷
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 2024的倒数是（ ）
A． B．2024 C． D．
2. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
随着2024年2月第十四届全国冬季运动会临近，吉祥物成为焦点，
某日通过搜索得出相关结果约为16000000个．将“16000000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4 . 某校10名篮球队员进行投篮命中率测试，每人投篮10次，实际测得成绩记录如下表：
命中次数（次） 5 6 7 8 9
人数（人） 1 4 3 1 1
由上表知，这次投篮测试成绩的中位数与众数分别是（　 　）
A．6，6 B．6.5，6 C．6，6.5 D．7，6
5 . 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
6 . 某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，
某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：
在平面内，，的延长线交于点F；若，
则的度数为（　 　）
A． B． C． D．
7 . 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：
“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：
用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；
将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？
可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
8. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，
跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（　 　）
A. B. C. D.
9 . 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，
与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）
A. B. 7 C. D. 8
10. 如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：
①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.
其中正确的个数有（　 　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本大题共有5个小题，每小题4分，共20分）
分解因式： ．
一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是 ．
13. 已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝ ．
14. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
15 . 如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），
其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．
可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，
则此时点与桌面的距离是________．（结果精确到，取1.732）
　　
三、解答题（本大题共有6个小题，共50分）
16. 计算：.
17. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3．
“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．
我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽
（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，
在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：
遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，
当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？
最大利润是多少元？
20. 已知：如图，在中，，是中点，平分交于点，
点是上一点，过、两点，交于点，交于点．
（1）试说明直线与的位置关系，并说明理由；
（2）当，时，求⊙O的半径．
21. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为．
求抛物线的表达式；
(2) 动点在直线上方的二次函数图像上，连接，，设四边形的面积为，求的最大值；
(3) 当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标．
22. 综合与探究
在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处．
如图①，若，求的度数；
(2) 如图②，当，且时，求的长；
(3) 如图③，延长，与的角平分线交于点，交于点，
当时，请直接写出的值．
2024年深圳市中考数学复习与检测试卷（解析版）
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 2024的倒数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了倒数，解题的关键是熟练掌握倒数的定义，“乘积为1的两个数互为倒数”．
【详解】解：2024的倒数．
故选：A．
2. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意，
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
故选：A．
随着2024年2月第十四届全国冬季运动会临近，吉祥物成为焦点，
某日通过搜索得出相关结果约为16000000个．将“16000000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法；根据科学记数法计算方法计算即可；解题的关键是掌握科学记数法的计算方法．
【详解】解：
4 . 某校10名篮球队员进行投篮命中率测试，每人投篮10次，实际测得成绩记录如下表：
命中次数（次） 5 6 7 8 9
人数（人） 1 4 3 1 1
由上表知，这次投篮测试成绩的中位数与众数分别是（　 　）
A．6，6 B．6.5，6 C．6，6.5 D．7，6
【答案】B
【分析】根据中位数及众数可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
中位数为，众数为6；
故选B．
5.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴判断出的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．
【详解】由图可知，，且，
∴，，，，
∴关系式不成立的是选项C．
故选C．
6 . 某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：在平面内，，的延长线交于点F；若，则的度数为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形外角性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
7 . 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：
“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：
用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；
将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？
可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得．
故选：D．
8. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，
跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（　 　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B
9 . 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，
与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）
A. B. 7 C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
10.如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：
①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.
其中正确的个数有（　 　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用二次函数图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，
故①正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
故②正确；
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，
故③正确；
∵时，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故④正确，
故选：D
填空题（本大题共有5个小题，每小题4分，共20分）
11.分解因式： ．
【答案】
【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的两倍，
本题可以用完全平方公式．
【详解】原式．
故答案为：．
一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是 ．
【答案】6
【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可
【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为，
∴=，
解得n=6，
经检验n=6是原方程的根，
故答案为：6
13. 已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝ ．
【答案】2
【分析】把代入方程计算即可求出的值．
【详解】解：把代入方程得：，
去括号得：，
解得：，
故答案为：2
14. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
15 . 如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），
其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．
可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，
则此时点与桌面的距离是________．（结果精确到，取1.732）
　　
【答案】
【分析】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解．
【详解】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
在中，，，
∵
∴(cm)，
在中，，，
∵，
∴(cm)，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴(cm)．
答：点与桌面的距离约为．
三、解答题（本大题共有6个小题，共50分）
16. 计算：.
【答案】2
【详解】分析：代入45°角的余弦函数值，结合“负整数指数幂和零指数幂的意义及绝对值的意义”进行计算即可.
详解：
原式=
=，
=.
17. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3．
【答案】．
【分析】先将括号里的分式通分，然后按照分式减法法则计算，再根据分式除法法则进行运算即可将分式化简，最后代入字母取值进行计算即可求解.
【详解】解：原式＝，
=，
＝，
当x＝3时，
原式＝．
“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．
我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽
（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，
在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
【答案】（1）600；（2）见解析；（3）3200；（4）
【详解】（1）60÷10%=600（人）．
答：本次参加抽样调查的居民有600人．
（2）如图，
（3）8000×40%=3200（人）．
答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人．
（4）如图；
共有12种等可能的情况，其中他第二个吃到的恰好是C粽的有3种，
∴P（C粽）==．
答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是．
某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：
遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，
当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？
最大利润是多少元？
【答案】(1)y＝﹣10x+540；
(2)当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元
【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，由销售单价为28元时，每天的销售量为260个；
销售单价为30元时，每天的销量为240个；列方程组求解即可；
由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，
再由二次函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：设一次函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
（2）解：由题意可得：
w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，二次函数开口向下，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．
20. 已知：如图，在中，，是中点，平分交于点，
点是上一点，过、两点，交于点，交于点．
（1）试说明直线与的位置关系，并说明理由；
（2）当，时，求⊙O的半径．
解：（1）证明：如图，连接OE，
∵AB=BC且D是BC中点，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE∥BD，
∴OE⊥AC，
∴AC与⊙O相切．
（2）∵BD=2，sinC=，BD⊥AC，
∴BC=4，
∴AB=4，
设⊙O 的半径为r，则AO=4-r，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A，
∴sinA=sinC=，
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC
∴sinA=，
∴r=，
经检验：r=是原方程的解．
21. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为．
求抛物线的表达式；
(2) 动点在直线上方的二次函数图像上，连接，，设四边形的面积为，求的最大值；
(3) 当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标．
【答案】(1) (2) (3)存在，的坐标为或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）分、、三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵直线的表达式为，
当时，得：，
∴，，
当时，得：，解得：，
∴，，
∵抛物线交轴于，两点，交轴于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）过点作轴于点，
设，
∴，，，
∴，
∵抛物线交轴于，两点，
当时，得：，
解得：，，
∴，，
∵
，
又∵，即抛物线的图像开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为．
（3）存在，理由：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
，
，
∴，
∴，
如图所示，连接，
①，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴当点的坐标为时，；
过点作，交轴与点，
∵为直角三角形，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；
过点作，交轴与点，
∵为直角三角形，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
此时点在轴上，不符合题意，舍去．
综上所述：当在轴上的点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似．
22. 综合与探究
在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处．
如图①，若，求的度数；
(2) 如图②，当，且时，求的长；
(3) 如图③，延长，与的角平分线交于点，交于点，
当时，请直接写出的值．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出，可求出答案；
（2）证明，由相似三角形的性质得出，可求出，得出，由勾股定理求出，则可求出，即可求出的长；
（3）过点作于点，证明，，设，，则，由勾股定理得出，解出，则可求出答案．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）∵将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
∴，，
又∵矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
（3）过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∵平分，，，
∴，，
在和中，
，
∴
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴的值为．