(共53张PPT)
1 简谐运动
课前·基础认知
课堂·重难突破
素养·目标定位
模型方法·素养提升
随 堂 训 练
素养·目标定位
目 标 素 养
1.知道什么是弹簧振子,理解振动的平衡位置和位移。
2.通过观察和分析知道弹簧振子的位移—时间图像,理解简谐运动及其图像。培养分析问题的能力及审美能力(客观存在的简洁美、对称美等)。
3.通过对简谐运动图像的绘制,认识简谐运动的特点。培养认真、严谨、实事求是的科学态度。
知 识 概 览
课前·基础认知
一、弹簧振子
1.机械振动。
我们把物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动,简称振动。
2.平衡位置。
如图所示,把一个有孔的小球连接在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球套在光滑的杆上,能够自由滑动。弹簧的质量与小球相比可以忽略。小球运动时空气阻力很小,也可以
忽略。
弹簧未形变时,小球所受合力为0该位置为平衡位置。
3.弹簧振子。
我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子。
微思考1 竖直上抛运动是否属于机械振动
提示:不属于。物体在一个位置附近做的往复运动属于机械振动,竖直向上抛出的物体到最高点后返回地面,不具有运动的往复性,因此不属于机械振动。
二、弹簧振子的位移—时间图像
1.建立坐标系。
如图所示,以小球的平衡位置为坐标原点O,沿着它的振动方向建立坐标轴,规定水平向右为正方向。小球在平衡位置的右边时它的位置坐标x为正,在左边时位置坐标x为负。
2.振子位置的确定。
用照相机连拍时,底片从下向上匀速运动,因此在底片上留下了小球和弹簧的一系列的像,对应小球在各个时刻的位置,得到如图所示的图像。
微思考2 下图为振子的位移—时间图像,振子的位移—时间图像就是振子的运动轨迹吗
提示:图像描述的是振动物体的位移随时间的变化规律,并不是物体的运动轨迹。
三、简谐运动
1.如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线,这样的振动是一种简谐运动。
2.简谐运动是最基本的振动,弹簧振子的运动就是简谐运动。
微思考3 简谐运动与我们熟悉的匀速运动比较,速度有何不同的特点 如何判断一个物体的运动是不是简谐运动
提示:简谐运动与匀速运动的区别在于其速度大小、方向都不断变化,只要质点的位移随时间按正弦规律变化,则这个质点的运动就是简谐运动。
课堂·重难突破
一 弹簧振子的特点
重难归纳
1.弹簧振子的运动是最典型的机械振动。
振动特征:有一个“中心位置”,即平衡位置;运动具有往复性。如图所示。
2.弹簧振子的理想化条件。
(1)质量:弹簧的质量比小球的质量小得多,可以认为质量集中在小球上。
(2)体积:小球体积很小,可当成质点处理。
(3)阻力:忽略一切摩擦及阻力作用。
(4)弹性限度:小球的振动范围在弹簧的弹性限度内。
名师点睛
弹簧振子是一种理想化模型,在构造上表现为把一根没有质量的弹簧一端固定,另一端连接一个质点;在运动上表现为没有任何摩擦和阻力。
3.形形色色的弹簧振子。
如图所示,振子可以沿水平方向振动,也可以沿竖直方向或倾斜方向振动,弹簧可以只有一个,也可以有多个。
名师点睛
弹簧振子有多种表现形式,对于不同的弹簧振子,在平衡位置处,弹簧不一定处于原长(如竖直放置的弹簧振子),但运动方向上的合外力一定为零,速度也一定最大。
4.简谐运动的位移。
位移的表示方法:以平衡位置为坐标原点,以振动所在的直线为坐标轴,规定正方向,则某时刻振动物体偏离平衡位置的位移可用该时刻振动物体所在位置的坐标来表示。
5.简谐运动的速度。
(1)物理含义:速度是描述振动物体在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称“一维坐标系”)上,速度的正负号表示振动物体运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
(2)特点:下图为一简谐运动的模型,振动物体在O点速度最大,在A、B两点速度为零。
简谐运动的位移就是某一段时间内振动物体的位置变化吗
提示:不是。简谐运动位移的初始位置是平衡位置,其方向是指从平衡位置指向实际位置的方向。
典例剖析
一水平弹簧振子做简谐运动,则下列说法正确的是( )
A.若位移为负值,则速度一定为正值
B.振子通过平衡位置时,速度为零
C.振子每次通过平衡位置时,速度一定相同
D.振子每次通过同一位置时,其速度不一定相同
答案:D
解析:振子做简谐运动时,某时刻位移的方向与速度的方向可能相同,也可能相反,选项A错误;当振子通过同一位置时,速度的方向不一定相同,选项C错误,D正确;振子经过平衡位置时速度最大,选项B错误。
规律总结
平衡位置的判断方法
振动系统不振动,振动物体处于平衡状态时所处的位置为平衡位置。此题中振动物体速度最大时的位置和振动物体原来静止时的位置为同一位置。
学以致用
(多选)弹簧上端固定在O点,下端连接一小球,组成一个振动系统,如图所示,用手向下拉一小段距离后释放小球,小球便上下振动起来。关于小球的平衡位置,下列说法正确的是( )
A.在小球运动的最低点
B.在弹簧处于原长时的位置
C.在小球速度最大时的位置
D.在小球原来静止时的位置
答案:CD
解析:平衡位置是振动系统不振动时,小球(振子)处于平衡状态时所处的位置,可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等,即mg=kx,也即小球原来静止的位置,故选项D正确,A、B错误;当小球处于平衡位置时,其加速度为零,速度最大,故选项C正确。
二 对弹簧振子位移—时间图像的理解
重难归纳
1.图像特点:简谐运动的位移与时间的关系遵从正弦函数规律。
2.振动图像是振子的位移随时间的变化规律,根据振动图像可知如下信息。
(1)任意时刻质点的位移的大小和方向。如图甲所示,质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。
甲
(2)任意时刻质点的振动方向。看下一时刻质点的位置,如图乙中a点,下一时刻离平衡位置更远,故a此刻向上振动。
乙
(3)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况及大小比较。看下一时刻质点的位置,判断是远离还是衡位置,若远离平衡位置,则速度越来越小,加速度、位移越来越大;若衡位置,则速度越来越大,加速度、位移越来越小。如图乙中b点,从正位移向着平衡位置运动,则速度为负且增大,位移、加速度正在减小;c点从负位移远离平衡位置运动,则速度为负且减小,位移、加速度正在增大。
简谐运动的x-t图像与匀速直线运动的x-t图像有何相同点
提示:①两种图像都反映了位移随时间的变化规律;②根据图线上某点切线的斜率可判断出某一时刻质点的速度方向及大小。
典例剖析
一质点做简谐运动的图像如图所示,该质点在t=3.5 s时刻
( )
A.速度为正,加速度为正
B.速度为负,加速度为负
C.速度为负,加速度为正
D.速度为正,加速度为负
答案:D
解析:由题图可知,3.5 s时,质点由平衡位置向正的最大位移处运动,所以此时速度为正,质点做减速运动,加速度为负,故选项D正确。
特别提醒 分析简谐运动图像问题的三点提醒 1.简谐运动的位移—时间图像反映的是质点偏离平衡位置的位移随时间变化的规律,简谐运动的位移—时间图像并不是质点的运动轨迹,运动轨迹的长度也不是正弦图线拉开后的长度。 2.在x-t图像上,质点在某时刻的位移,即为此时刻对应的纵坐标。 3.质点在某段时间内的路程(轨迹的长度),需结合振动质点的实际运动轨迹进行计算。
学以致用
下图为某物体做简谐运动的图像,下列说法正确的是( )
A.由P→Q位移在增大
B.由P→Q速度在增大
C.由M→N速度是先减小后增大
D.由M→N位移始终减小
答案:A
解析:由题图可知从P→Q物体远离平衡位置向外运动,位移增大,速度减小,选项A正确,B错误;由M→N,物体由正位移处向平衡位置移动,速度增大,位移减小,再由平衡位置沿负方向运动,位移增大,速度减小,选项C、D错误。
模型方法 素养提升
简谐运动的对称性及应用——模型构建
方法归纳
简谐运动的对称性的理解
举例:如图所示,物体在A与B间做简谐运动,O点为平衡位置,C和D两点关于O点对称
时间的对称 tOB=tBO=tOA=tAO,tOD=tDO=tOC=tCO,tDB=tBD=tAC=tCA
速度的
对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等,方向相反
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)的速度大小相等,方向可能相同,也可能相反
位移和加速度的对称 ①物体经过同一点(如C点)时,位移和加速度均相同
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,位移与加速度均大小相等,方向相反
做简谐运动的物体,在两个不同的时刻速度相等,一定是到达了同一位置吗
提示:不是。做简谐运动的物体,在两个不同的时刻速度相等,这两个时刻所处的位置可能为同一位置,也可能处于相对平衡位置对称的两个不同位置。
典例剖析
弹簧振子做简谐运动,其振动图像如图所示,则( )
A.t1、t2时刻振动物体的速度大小相等,方向相反
B.t1、t2时刻振动物体加速度大小相等,方向相反
C.t2、t3时刻振动物体的速度大小相等,方向相反
D.t2、t3时刻振动物体的加速度大小相等,方向相同
答案:A
解析:从题图可以看出,t1、t2时刻振动物体处于同一位置,位移大小相同,方向一致,则加速度大小相等,方向一致;由振动的对称性知,速度大小相等,方向相反,故选项A正确,B错误。t2、t3时刻振动物体处于平衡位置两边的对称位置,位移大小相等,方向相反,则加速度大小相同,方向相反;由振动的对称性知,速度大小相等,方向相同,都沿x轴负方向,故选项C、D错误。
规律总结
简谐运动中几个特殊位置的运动参量的关系
1.位移、速度、加速度都是矢量,当振动物体通过某一位置时,位移和加速度方向是一定的,速度方向有两种可能。 2.当振动物体通过关于平衡位置对称的位置时,位移、加速度大小相等,方向相反,而速度方向可能相同,也可能相反。
学以致用
一弹簧振子做简谐运动,以下说法正确的是( )
A.若位移为负值,则速度一定为正值,加速度也一定为正值
B.振动物体每次经过平衡位置时,加速度相同,速度也一定相同
C.振动物体每次通过同一位置时,其速度不一定相同,但加速度一定相同
D.振动物体在平衡位置两侧对称的位置上,其速度、位移都反向
答案:C
解析:加速度的方向与位移方向相反,位移方向为负时,加速度方向一定为正,但速度方向为物体运动方向,与位移方向无关,可正可负,选项A错误;振动物体每次经过平衡位置时,加速度为零且速度大小相等,但速度方向不一定相同,选项B错误;每次通过同一位置时,位移相同,故加速度相同,速度大小相同,但方向不一定相同,选项C正确;同理在平衡位置两侧对称的位置上,位移方向相反,速度方向可能相同,也可能相反,选项D错误。
随 堂 训 练
1.小球和弹簧做如下连接,下列说法正确的是( )
A.只有甲可以被看成弹簧振子
B.甲、乙都可以看成弹簧振子,丙、丁不可以
C.甲在任何情况下都可以看成弹簧振子
D.在一定条件下甲、乙、丙、丁都可以看成弹簧振子
答案:D
解析:只要满足弹簧振子的振动规律的小球和弹簧的组合都可以看成弹簧振子,弹簧振子可以是水平的、竖直的、倾斜的,也可以是多个弹簧和小球的组合体,如题图丁所示,故选项A、B、C错误,D正确。
2.装有砂粒的试管竖直静立于水面,如图所示,将试管竖直提起少许,然后由静止释放并开始计时,在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向,则下列描述试管振动的图像中可能正确的是( )
答案:D
解析:试管在竖直方向上做简谐运动,平衡位置是其重力与浮力相等的位置,开始时向上提起试管的距离,就是其偏离平衡位置的位移,即正向最大位移,故选项D正确。
3.下图为某质点在0~4 s内的振动图像,则( )
A.质点在3 s末的位移为2 m
B.质点在4 s末的位移为8 m
C.质点在4 s内的路程为8 m
D.质点在4 s内的路程为零
答案:C
解析:振动质点的位移指的是质点离开平衡位置的位移,位移是矢量,有大小,也有方向,因此3 s末质点的位移为-2 m,4 s末质点的位移为零,选项A、B错误;路程是指质点运动轨迹的长度,在4 s内质点的路程是从平衡位置到最大位移处这段距离的4倍,即为8 m,故选项C正确,D错误。
4.(多选)关于简谐运动的图像,下列说法正确的是( )
A.表示质点振动的轨迹是正弦曲线
B.由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移的大小与方向
C.表示质点的位移随时间变化的规律
D.由图像可判断任一时刻质点的速度方向
答案:BCD
解析:简谐运动的图像表示质点的位移随时间变化的规律,而不是运动轨迹,选项A错误,C正确;由简谐运动的图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移的大小与方向,还可判断任一时刻质点的速度方向,选项B、D正确。(共43张PPT)
2 简谐运动的描述
课前·基础认知
课堂·重难突破
素养·目标定位
随 堂 训 练
素养·目标定位
目 标 素 养
1.知道简谐运动的振幅、周期和频率以及圆频率的含义。
2.通过观察演示实验,总结出频率与振幅无关的结论,培养学生的观察、概括能力。
3.知道相位和相位差,理解简谐运动的表达式,培养学生综合分析问题的能力,体会物理和数学的美妙联系。
知 识 概 览
课前·基础认知
一、描述简谐运动的物理量
1.振幅。
(1)定义:振动物体离开平衡位置的最大距离,常用字母A表示,单位是米。
(2)物理意义:表示振动幅度大小的物理量,是标量。
2.全振动。
(1)振子以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程,即一个完整的振动过程。
(2)不管以哪里作为开始研究的起点,做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。
3.周期和频率。
(1)周期:做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间,用T表示,国际单位是秒。
(2)频率:物体完成全振动的次数与所用时间之比,用f表示,单位是赫兹,简称赫,符号是Hz。
(3)周期T与频率f的关系: 。
(4)物理意义:周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量,周期越小,频率越大,表示振动越快。
4.圆频率:ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量,叫作简谐运动的“圆频率”。它也表示简谐运动的快慢。ω= = 2πf 。
5.相位。
(1)相位:(ωt+φ)代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态,物理学中把(ωt+φ)叫作相位。
(2)初相位:φ是t=0时的相位,称作初相位或初相。
(3)相位差:如果两个简谐运动的频率相同,其初相分别是φ1和φ2,当φ1>φ2时,它们的相位差是Δφ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)= φ1-φ2 。
微思考扬声器发声时,手摸喇叭的发音纸盆会感觉到它在振动,把音响声音调大,发觉纸盆的振动更加剧烈,想想这是为什么
提示:扬声器发出的声音是由其喇叭的纸盆振动形成的,振动越剧烈,振幅越大,手感觉纸盆振动得越厉害。
二、简谐运动的表达式
x=________________
式中:x是位移,A是振幅,T是周期, 是相位,φ0是初相位。
课堂·重难突破
一 描述简谐运动的物理量及其关系
重难归纳
1.对全振动的理解。
正确理解全振动的概念,应注意把握振动的五个特征。
(1)振动特征:一个完整的振动过程。
(2)物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(3)时间特征:历时一个周期。
(4)路程特征:振幅的4倍。
(5)相位特征:增加2π。
2.振幅、位移和路程的关系。
项目 振幅 位移 路程
定义 振动物体离开平衡位置的最大距离 从平衡位置指向振动物体所在位置的有向线段 运动轨迹的长度
矢、
标性 标量 矢量 标量
变化 在稳定的振动系统中不发生变化 大小和方向随时间做周期性变化 随时间增加
联系 (1)振幅等于位移最大值的数值
(2)振动物体在一个周期内的路程等于4个振幅
(3)振动物体在一个周期内的位移等于零
名师点睛
在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关。
做简谐运动的物体连续两次通过同一位置的过程,是否就是一次全振动
提示:不一定。只有连续两次以相同的速度通过同一位置的过程,才是一次全振动。
典例剖析
如图所示,弹簧振子在B、C间振动,O为平衡位置,lBO=lOC=5 cm,若振子从B到C的运动时间是1 s,则下列说法正确的是
( )
A.振子从B经O到C完成一次全振动
B.振动周期是1 s,振幅是10 cm
C.经过两次全振动,振子通过的路程是20 cm
D.从B开始经过3 s,振子通过的路程是30 cm
答案:D
解析:振子从B→O→C仅完成了半次全振动,所以周期T=2×1 s=2 s,振幅A=lBO=5 cm,选项A、B错误;弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程为4A=20 cm,所以两次全振动中通过路程为40 cm,选项C错误;3 s的时间为1.5T,所以振子通过的路程为30 cm,选项D正确。
规律总结
振幅与路程的关系
振动中的路程是标量,是随时间不断增大的。一个周期内的路程为4倍的振幅,半个周期内的路程为2倍的振幅。 (1)若从特殊位置开始计时,如平衡位置、最大位移处, 周期内的路程等于振幅。 (2)若从一般位置开始计时, 周期内的路程与振幅之间没有确定关系,路程可能大于、等于或小于振幅。
学以致用
一质点在平衡位置O附近做简谐运动,从它经过平衡位置起开始计时,经0.13 s质点第一次通过M点,再经0.1 s第二次通过M点,则质点振动周期的值为多少
答案:0.72 s或0.24 s
解析:设质点从平衡位置O向右运动到M点,那么质点从O点到M点运动时间为0.13 s,再由M点经最右端A点返回M点经历时间为0.1 s,如图甲所示。
根据以上分析,可以看出从O→M→A历时0.18 s,根据简谐运动的对称性,可得到
T1=4×0.18 s=0.72 s
另一种可能如图乙所示,由O→A→M历时t1=0.13 s,由M→A'→M历时t2=0.1 s
所以周期的可能值为0.72 s和0.24 s。
二 对简谐运动表达式的理解
重难归纳
1.简谐运动的表达式。
2.各量的物理含义。
(1)圆频率:表达式中的ω被称作简谐运动的圆频率,它表示做简谐运动的物体振动的快慢。与周期T及频率f的关系为
(2)φ0表示t=0时,简谐运动质点所处的状态,称为初相位或初相。(ωt+φ0)代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态,所以代表简谐运动的相位。
3.从运动方程中得到的物理量。
可得到振幅、周期、圆频率、初相位,因此可应用运动方程和 ,对两个简谐运动比较周期、振幅和计算相位差。
4.做简谐运动的物体运动过程中的对称性。
(1)瞬时量的对称性:各物理量关于平衡位置对称。以水平弹簧振子为例,振子通过关于平衡位置对称的两点,位移、速度、加速度大小相等。
(2)过程量的对称性:振动质点来回通过相同的两点间的时间相等,如tBC=tCB;质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等,如tBC=tB'C',如图所示。
5.做简谐运动的物体运动过程中的周期性。
简谐运动是具有重复性和周期性的运动,比较两个时刻t1、t2做简谐运动的质点的运动情况,按其周期性可得如下判断。
(1)若t2-t1=nT,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况完全相同。
(2)若t2-t1=nT+ T,则t1、t2两时刻,描述运动的物理量(x、a、v)均大小相等,方向相反。
(3)若 ,则当t1时刻物体到达最大位移处时,t2时刻物体到达平衡位置;当t1时刻物体在平衡位置时,t2时刻物体到达最大位移处;若t1时刻物体在其他位置,t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。
简谐运动的函数表达式的一般形式为x=Asin (ωt+φ0),简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示
提示:简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示,也可以用余弦函数表示,只是对应的初相位不同。
典例剖析
一半径为10 cm的小球漂浮在水面上时恰好有一半体积浸在水中,如图所示。现将小球向下按压5 cm后放手,忽略空气阻力与水的阻力,小球在竖直方向上的运动可视为简谐运动,测得其振动周期为0.4 s,以竖直向上为正方向,从某时刻开始计时,其振动图像如图乙所示,其中A为振幅。
(1)写出小球位移的函数表达式。
(2)求小球12 s内所经历的路程和位移。
(2)12 s相当于30个周期,则位移为0,一个周期内小球的路程是4A,即总路程s=600 cm=6 m。
规律总结
用简谐运动表达式解答振动问题的方法
1.明确表达式中各物理量的意义,可直接读出振幅、圆频率、初相。 2. 是解题时常涉及的表达式。 3.解题时画出其振动图像,会使解答过程简洁、明了。
学以致用
一弹簧振子做简谐运动,周期为T,则( )
A.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则Δt一定等于T的整数倍
B.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反,则Δt一定等于 的整数倍
C.若Δt=T,则在t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的加速度一定相等
D.若Δt= ,则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长度一定相等
答案:C
解析:弹簧振子做简谐运动的图像如图所示,图中A点与B、E、F、I等点的振动位移大小相等,方向相同。由图可知,A点与E、I等点对应的时间差为T或T的整数倍,A点与B、F等点对应的时间差不为T或T的整数倍,因此选项A错误。
图中A点跟B、C、F、G等点的振动速度大小相等,方向相反,由图可知A点与C、G等点对应的时间差为 的整数倍,A点与B、F等点对应的时间差不为 的整数倍,因此选项B错误。t时刻和(t+Δt)时刻相差一个周期T,则这两个时刻的振动情况完全相同,加速度一定相等,选项C正确。t时刻和(t+Δt)时刻相差半个周期,则这两个时刻振动的位移大小相等,方向相反,弹簧的长度显然是不相等的,选项D错误。
随 堂 训 练
1.如图所示,弹簧振子以O为平衡位置,在B、C间做简谐运动,则( )
A.从B→O→C为一次全振动
B.从O→B→O→C为一次全振动
C.从C→O→B→O→C为一次全振动
D.从D→C→D→O→B为一次全振动
答案:C
解析:根据全振动的定义,振子从某一点开始,至再次回到该点且与开始时有相同的速度方向才是一次全振动,故选项C正确,A、B、D错误。
2.质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=3sin t (cm),则下列关于质点运动的说法正确的是( )
A.质点做简谐运动的振幅为6 cm
B.质点做简谐运动的周期为2 s
C.在t=2 s时质点的速度最大
D.在t=2 s时质点的加速度最大
答案:C
3.如图甲所示,悬挂在竖直方向上的弹簧振子,周期T=2 s,从最低点位置向上运动时开始计时,在一个周期内的振动图像如图乙所示。关于这个图像,下列说法正确的是( )
A.t=1.25 s时,振子的加速度为正,速度也为正
B.t=1.7 s时,振子的加速度为负,速度也为负
C.t=1.0 s时,振子的速度为零,加速度为负的最大值
D.t=1.5 s时,振子的速度为零,加速度为负的最大值
答案:C
解析:由x-t图像可知,t=1.25 s时,振子的加速度和速度均沿-x方向,选项A错误;t=1.7 s时,振子的加速度沿+x方向,选项B错误;t=1.0 s时,振子在最大位移处,加速度为负向最大,速度为零,选项C正确;t=1.5 s时,振子在平衡位置,速度最大,加速度为零,选项D错误。
4.一物体沿x轴做简谐运动,振幅为12 cm,周期为2 s。当t=0时,位移为6 cm,且向x轴正方向运动,求:
(1)初相位;
(2)t=0.5 s时物体的位置。(共40张PPT)
3 简谐运动的回复力和能量
课前·基础认知
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素养·目标定位
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素养·目标定位
目 标 素 养
1.掌握简谐运动回复力的特征,能准确分析回复力的来源,形成正确的物理观念,培养科学思维能力。
2.理解简谐运动的规律,掌握在一次全振动过程中位移、加速度、速度和能量的变化规律。
3.会用能量守恒的观点,分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律,培养分析解决实际问题的能力。
知 识 概 览
课前·基础认知
一、简谐运动的回复力
1.回复力。
2.简谐运动的动力学定义。
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动。
微思考1做简谐运动的质点,任意时刻回复力(不为零)的方向总与位移的方向相反吗
提示:是的。回复力是指向平衡位置的,而位移是以平衡位置为起点指向质点所在位置的,所以二者的方向总是相反的。
二、简谐运动的能量
1.弹簧振子的状态与能量的关系。
(1)弹簧振子中小球的速度在不断变化,因而它的动能在不断变化。
(2)弹簧的伸长量或压缩量在不断变化,因而它的势能也在不断变化。
2.弹簧振子的能量。
沿水平方向振动的弹簧振子的势能为弹性势能,其大小取决于弹簧的形变量。
(1)小球到达最大位移时,动能为0,势能最大。
(2)小球通过平衡位置时,动能最大,势能为0。
(3)在弹簧振子运动的任意位置,系统的动能与势能之和都是一定的,遵守机械能守恒定律。实际的运动都有一定的能量损耗,所以简谐运动是一种理想化的模型。
微思考2对于一个确定的振动系统,简谐运动的能量由什么决定
提示:振幅。振幅越大,系统的能量越大。
课堂·重难突破
一 对回复力和加速度的理解
重难归纳
1.回复力的来源。
(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力,同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。
(2)回复力可以由某一个力提供,如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力;也可以是几个力的合力,如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力;还可以是某一力的分力。归纳起来,回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。分析物体的受力时不能再加上回复力。
2.简谐运动的回复力的特点。
(1)由F=-kx知,简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比,回复力的方向与位移的方向相反,即回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)公式F=-kx中的k指的是回复力与位移的比例系数,而不一定是弹簧的劲度系数,系数k由振动系统自身决定,与振幅无关。
(3)根据牛顿第二定律得, ,表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比,加速度方向与位移方向相反。
3.回复力的规律:因x=Asin (ωt+φ),故回复力F=-kx=-kAsin (ωt+φ),可见回复力随时间按正弦规律变化。
弹簧振子从平衡位置到达最大位移处的过程中,回复力如何变化 从最大位移处向平衡位置运动的过程中呢
提示:由回复力F=-kx可知,从平衡位置到达最大位移处的过程中,回复力逐渐增大,方向一直指向平衡位置;从最大位移处向平衡位置运动的过程中,回复力逐渐减小,方向一直指向平衡位置。
典例剖析
一质量为m的小球,通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上,如图所示。
(1)小球在振动过程中的回复力实际上是 。
(2)该小球的振动是否为简谐运动
答案:(1)弹簧的弹力和小球的重力的合力 (2)是简谐运动
解析:(1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与小球的重力的合力。
(2)设向下为正方向,小球静止时弹簧已经有了一个伸长量h,设弹簧的劲度系数为k,由平衡条件得kh=mg①
当小球向下偏离平衡位置的距离为x时,
回复力即合外力为F回=mg-k(x+h)②
将①代入②式得F回=-kx,可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点,该小球的振动是简谐运动。
规律总结
判断振动是否为简谐运动的方法
1.运动学方法:找出质点的位移与时间的关系,若遵从正弦函数的规律,即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线,就可判定此振动为简谐运动。不过通常的问题中很少应用这个方法进行判断。
2.动力学方法:找出回复力和位移的关系,若满足F=-kx的规律,就可以判定此振动为简谐运动。此方法是既简单又常用的方法,操作步骤如下: (1)物体静止时的位置即为平衡位置,并且规定正方向; (2)在振动过程中任选一位置(平衡位置除外),对物体进行受力分析; (3)将力沿振动方向进行分解,求出振动方向上的合力; (4)判定振动方向上的合力与位移的关系是否符合F=-kx。
学以致用
(多选)如图所示,弹簧振子中小球在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动,下列说法正确的是( )
A.小球运动过程中受重力、支持力
和弹簧弹力的作用
B.小球运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.小球由A向O运动过程中,回复力逐渐增大
D.小球由O向B运动过程中,回复力的方向指向平衡位置
答案:AD
解析:回复力是根据效果命名的力,不是做简谐运动的物体受到的具体的力,它是由物体受到的具体的力所提供的,在此情景中弹簧的弹力充当回复力,故选项A正确,B错误;回复力与位移的大小成正比,由A向O运动过程中位移的大小在减小,故此过程回复力逐渐减小,选项C错误;回复力总是指向平衡位置,故选项D正确。
二 简谐运动中各物理量的变化规律
重难归纳
1.对简谐运动的能量的理解注意以下几点。
决定因素 简谐运动的能量由振幅决定
能量的获得 最初的能量来自外部,通过外力做功获得
能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化,机械能守恒
理想化模型 (1)力的角度:简谐运动不考虑阻力
(2)能量转化角度:简谐运动不考虑因克服阻力做功带来的能量损耗
2.决定能量大小的因素。
振动系统的机械能跟振幅有关,对一个给定的振动系统,振幅越大,振动越强,振动的机械能越大;振幅越小,振动越弱,振动的机械能越小。
3.根据水平弹簧振子图,可分析各个物理量的变化关系如下。
振子的运动 A→O O→A' A'→O O→A
位移 方向 向右 向左 向左 向右
大小 减小 增大 减小 增大
回复力 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
加速度 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
速度 方向 向左 向左 向右 向右
大小 增大 减小 增大 减小
振子的动能 增大 减小 增大 减小
弹簧的势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
(1)在简谐运动中,位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小,与速度和动能的变化步调相反。
(2)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点。
(3)最大位移处是速度方向变化的转折点。
(4)简谐运动的位移与前面学过的位移不同,简谐运动的位移是从平衡位置指向某一位置的有向线段,位移起点是平衡位置,是矢量。
(5)各个物理量对应关系不同:位置不同,位移不同,加速度、回复力不同;但是速度、动能、势能可能相同,也可能不同。
如图所示,在弹簧振子的运动过程中,在最大位移处和在平衡位置处,位移x、回复力F、加速度a、速度v、弹性势能Ep、动能Ek有何区别
提示:在最大位移处,x、F、a、Ep最大,v=0,Ek=0;在平衡位置处,x=0,F=0,a=0,Ep最小,v、Ek最大。
典例剖析
下图是弹簧振子做简谐运动的振动图像,可以判定( )
A.从t1到t2时间内系统的动能不断增大,势能不断减小
B.从t2到t3时间内振幅不断增大
C.t3时刻振子处于平衡位置处,动能为0
D.t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
答案:A
解析:由题图看出,从t1到t2时间内振子的位移减小,振子向平衡位置运动,则系统的动能不断增大,势能不断减小,故选项A正确;弹簧振子做简谐运动的振幅不变,等于位移的最大值,故选项B错误;t3时刻振子处于平衡位置处,动能最大,故选项C错误;t1、t4时刻振子的位移相同,说明振子经过同一位置,势能相同,则动能相同,但速度方向相反,故选项D错误。
规律总结
位移增大时,回复力、加速度和势能增大,速度和动能减小;位移减小时,回复力、加速度和势能减小,速度和动能增大。
学以致用
(多选)如图所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,平衡位置为O,已知振动物体的质量为m0,若振动物体运动到B处时将一质量为m的物体轻放到振动物体上面,且物体和振动物体间无相对运动地一起振动,下列叙述正确的是( )
A.振幅不变
B.振幅减小
C.最大动能不变
D.最大动能减少
答案:AC
解析:振动物体运动到B点时速度恰为0,此时放上质量为m的物体,系统的机械能不变,即为此时弹簧储存的弹性势能,由于简谐运动中机械能守恒,所以振幅保持不变,因此选项A正确,B错误。由于机械能守恒,最大动能不变,所以选项C正确,D错误。
随 堂 训 练
1.(多选)关于做简谐运动的物体的说法正确的是( )
A.加速度与位移方向有时相同,有时相反
B.速度方向与加速度方向有时相同,有时相反
C.速度方向与位移方向有时相同,有时相反
D.加速度方向总是与位移方向相反
答案:BCD
解析:回复力的方向与位移的方向始终相反,加速度的方向与回复力的方向一致,选项A错误,D正确;当离开平衡位置时,速度与位移的方向相同,速度与加速度的方向相反,当向平衡位置运动时,速度与位移的方向相反,速度与加速度的方向相同,故选项B、C正确。
2.如图甲所示,光滑水平杆上套着一个小球和一个弹簧,弹簧一端固定,另一端连接在小球上,忽略弹簧质量。小球以点O为平衡位置,在A、B两点之间做往复运动,它所受的回复力F随时间t变化的图像如图乙所示,则在2~3 s的时间内,振子的动能Ek和势能Ep的变化情况是( )
A.Ek变小,Ep变大
B.Ek变大,Ep变小
C.Ek、Ep均变小
D.Ek、Ep均变大
答案:B
甲
乙
解析:在2~3 s的时间内,振子的回复力减小,则振子向平衡位置运动,速度变大,动能Ek变大,弹性势能Ep减小,故选项B正确,A、C、D错误。
3.公路上匀速行驶的货车受一扰动,车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向上的振动可视为简谐运动,周期为T。竖直向上为正方向,以某时刻为计时起点,其振动图像如图所示,则( )
答案:C
4.(多选)如图所示,轻质弹簧下面挂一个质量为m的物体,物体在竖直方向做振幅为A的简谐运动,当物体振动到最高点时,弹簧正好为原长。在物体做简谐运动的过程中,弹簧一直处于弹性限度内,重力加速度为g,则在物体振动过程中( )
A.物体在最低点时弹簧的弹力大小为2mg
B.弹簧的弹性势能和物体的动能总和不变
C.弹簧的最大弹性势能等于2mgA
D.物体的最大动能等于mgA
答案:AC
解析:物体振动的平衡位置是物体静止时所受的重力和弹力相等的位置,由于物体到达最高点时,弹簧正好为原长,所以物体的振幅为 ,当物体在最低点时,弹力大小为2kA=2mg,选项A正确;由于只有重力和弹力做功,所以物体的动能、重力势能、弹簧的弹性势能之和保持不变,选项B错误;从最高点振动到最低点,物体的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能,所以弹簧的最大弹性势能等于2mgA,选项C正确;物体在平衡位置时动能最大,由于从最高点到平衡位置物体下降的高度为A,弹簧的弹性势能增大,所以物体的最大动能一定小于mgA,选项D错误。(共44张PPT)
4 单摆
课前·基础认知
课堂·重难突破
素养·目标定位
随 堂 训 练
素养·目标定位
目 标 素 养
1.知道什么是单摆及单摆做简谐运动的条件,形成正确的物理观念。
2.会分析单摆做简谐运动的回复力以及摆球受的合外力,培养科学思维能力。
3.掌握单摆做简谐运动的周期公式,并能求常见情况下单摆的周期,培养分析解决实际问题的能力。
知 识 概 览
课前·基础认知
一、单摆的回复力
1.单摆模型。
细线的长度不可改变,细线的质量与小球相比可以忽略,球的直径与线的长度相比也可以忽略,这样的装置叫作单摆。单摆是实际摆的理想化模型。
2.单摆的回复力。
(1)回复力的提供:摆球的重力沿圆弧切线方向的分力,即F= mgsin θ 。
(2)回复力的特点:在摆角很小时,单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比,方向总指向平衡位置。
(3)运动规律:单摆在摆角很小的情况下做简谐运动,其振动图像遵循正弦函数规律。
微思考1单摆的回复力是由摆球所受的合外力提供的吗
提示:不是。单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的,沿半径方向的合力提供向心力。
二、单摆的周期
1.影响单摆周期的因素。
(1)单摆的周期与摆球质量和振幅无关。
(2)单摆做简谐运动的周期与摆长有关,摆长越长,周期越大。
2.周期公式。
T=____________。
微思考2摆钟的结构如图所示,发现它走时不准时,为什么要调整摆锤下面的螺母
提示:调整摆锤下面的螺母,以改变摆的摆长,从而改变摆的周期,以调整摆的走时快慢。
课堂·重难突破
一 对单摆回复力及运动特征的理解
重难归纳
1.单摆的回复力。
(1)单摆受力:如图所示,摆球受细线拉力FT和重力G作用。
(2)向心力来源:细线拉力和重力沿径向的分力的合力。
(3)回复力来源:重力沿圆弧切线方向的分力G1=mgsin θ。
2.单摆运动特点。
(1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动,因此在运动过程中只要速度v≠0,半径方向都有向心力。
(2)摆球以平衡位置为中心做往复运动,因此在运动过程中只要不在平衡位置,轨迹的切线方向都有回复力。
3.摆球的受力。
(1)任意位置。
如图所示,G2=Gcos θ,F-G2的作用就是提供摆球绕O'做变速圆周运动的向心力;G1=Gsin θ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力。
(2)平衡位置。
摆球经过平衡位置时,G2=G,G1=0,此时F应大于G,F-G提供向心力,因此,在平衡位置,回复力F回=0,与G1=0相符。
(3)单摆的简谐运动。
摆球经过平衡位置时,合外力是否为0 摆球到达最大位移处时,v=0,加速度是否等于0
提示:单摆摆动中的平衡位置不是平衡状态,有向心加速度,回复力为零,合外力不为零。摆球在最大位移处速度等于零,但摆球的重力沿圆弧切线方向的分力提供了摆球振动的回复力,所以加速度不等于零。
典例剖析
下列关于单摆的说法正确的是( )
A.单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅),从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为-A
B.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力
C.单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D.单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
答案:C
解析:简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点的,摆球在正向最大位移处时位移为A,在平衡位置时位移为零,选项A错误。摆球的回复力由合外力沿圆弧切线方向的分力(等于重力沿圆弧切线方向的分力)提供,选项B错误,C正确。合外力在摆线方向的分力提供向心力,摆球经过平衡位置时回复力为零,但向心力不为零,有向心加速度,所以摆球的加速度不为零,选项D错误。
特别提醒
1.单摆振动中的回复力不是它受到的合外力,而是重力沿圆弧切线方向的分力。单摆振动过程中,有向心力,这是与弹簧振子不同之处。 2.在最大位移处时,因速度为零,所以向心力为零,故此时合外力也就是回复力。 3.在平衡位置处时,由于速度不为零,故向心力也不为零,即此时回复力为零,但合外力不为零。
学以致用
(多选)单摆的摆球通过平衡位置时,关于小球受到的回复力、合力及加速度的说法正确的是( )
A.合力不为零,方向指向悬点
B.合力不为零,方向沿轨迹的切线
C.回复力为零,合力也为零
D.加速度不为零,方向指向悬点
答案:AD
解析:单摆的回复力不是它的合力,而是重力沿圆弧切线方向的分力;当摆球运动到平衡位置时,回复力为零,但合力不为零,因为小球还有向心力和向心加速度,方向指向悬点(即指向圆心),故选项A、D正确。
二 对单摆周期公式的理解及应用
重难归纳
1.单摆的周期。
单摆的振动周期与振幅和摆球质量无关,只决定于摆长与该处的重力加速度g,即
3.影响g的主要因素。
(1)公式中的g由单摆所在的空间位置决定。
g在地球表面不同纬度、不同高度可能取不同的值,在不同星球上也不相同,因此应求出单摆所在处的等效值g'代入公式,即g不一定等于9.8 m/s2。
(2)g由单摆系统的运动状态决定。
如单摆处在向上加速发射的航天飞机内,设加速度为a,此时摆球处于超重状态,沿圆弧切线方向的回复力变大,摆球质量不变,则重力加速度的等效值g'=g+a。
(3)g由单摆所处的物理环境决定。
如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中,回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力,所以g'也应根据受力重新求得。
把单摆从赤道处移至两极处时,要保证单摆的周期不变,应如何调整摆长
提示:两极处重力加速度大于赤道处重力加速度,由 知,应增大摆长,才能使周期不变。
典例剖析
如图所示,一单摆悬于O点,摆长为l,若在O点正下方的O'点钉一个光滑钉子,使OO'长为 ,将单摆拉至A处由静止释放,小球将在A、C间来回摆动,B为最低点,若振动中摆线与竖直方向的夹角小于5°,重力加速度为g,则此摆的周期是( )
答案:D
规律总结 确定单摆周期的方法 1.明确单摆的运动过程,判断是否符合简谐运动的条件。 2.运用 时,注意l和g是否发生变化,若发生变化,则分别求出不同l和g时的运动时间。 3.单摆振动周期改变的途径。 (1)改变单摆的摆长。 (2)改变单摆的重力加速度(改变单摆的地理位置或使单摆超重或失重)。 4.明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系。
学以致用
如图所示,三根细线于O点处打结,A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上,△AOB为直角三角形,∠BAO=30°,已知OC线长l,下端C点系着一个小球(直径可忽略)。下列说法正确的是( )
答案:A
随 堂 训 练
1.关于单摆的运动,下列说法正确的是( )
①单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力
②单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力
③单摆的周期与摆球质量无关,与振幅无关,与摆长和当地的重力加速度有关
④单摆的运动是简谐运动
⑤在山脚下走时准确的摆钟移到高山上走时将变快
A.③④ B.②③
C.③④⑤ D.①④⑤
答案:B
2.(多选)长度为l的轻绳上端固定在O点,下端系一可以看成质点的小球。在O点正下方,距O点为 处的P点固定一颗小钉子。现将小球拉到A点,轻绳被拉直,然后由静止释放小球。B点是小球运动的最低位置,C点(图中未标出)是小球能够到达的左方最高位置。已知A点与B点之间的高度
差为h,h l。A、B、C、P、O始终在同一竖
直平面内,当地的重力加速度为g,不计空气阻
力。下列说法正确的是( )
A.B点与C点高度差小于h
B.若钉子可在O、B间移动且与B点距离合适,小球有可能绕P点做完整的圆周运动
答案:BC
3.某单摆的简谐运动图像如图所示,取π2=10,g取10 m/s2,下列描述正确的是( )
A.摆长为1 m
B.摆长为2 m
C.t=3 s时,小球的速度最大,回复力为0
D.t=4 s时,小球的速度最大,回复力为0
答案:D
4.如图所示,光滑圆弧轨道的半径为2 m,C点为圆心正下方的点,A、B两点与C点的距离分别为6 cm与2 cm,a、b两直径相同的小球分别从A、B两点由静止同时释放,则两小球相碰的位置是( )
A.C点 B.C点右侧
C.C点左侧 D.不能确定
答案:A
解析:根据题目的信息知两球运动都可以看作简谐运动,根据
可知周期相同,所以到达平衡位置C的时间相同,即相遇点为C,故选项A正确。(共35张PPT)
5 实验:用单摆测量重力加速度
实验热点 探究突破
随 堂 训 练
实验探究 方案梳理
实验探究 方案梳理
实验目的
利用单摆测定当地的重力加速度,巩固和加深对单摆周期公式的理解。
实验原理
实验器材
带横杆的铁架台、铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、停表、细线、刻度尺、游标卡尺。
实验步骤
1.在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大些的结,将细线穿过球上的小孔,并把细线上端固定在横杆上,并用铁夹夹住,制成一个单摆。
2.将横杆固定在铁架台的上端,铁架台放在实验桌边,使横杆伸到桌面以外。
3.用刻度尺测量悬挂点与小球上端之间的距离l',用游标卡尺测量摆球的直径d,然后计算出悬点到球心的距离l=l'+ ,即摆长。
4.把此单摆从平衡位置拉开一个较小的角度,再释放小球。当摆球摆动稳定以后,在最低点位置时,用停表开始计时,测量单摆全振动30次(或50次)的时间,然后求出一次全振动的时间,即单摆的振动周期。
5.改变摆长,重做几次。
6.根据单摆的周期公式,计算出每次实验的重力加速度;求出几次实验得到的重力加速度的平均值,即本地区的重力加速度的值。
7.将测得的重力加速度数值与当地重力加速度数值加以比较,如有误差,分析产生误差的原因。
数据处理
注意事项
1.摆线要选1 m左右,不要过长或过短,太长测量不方便,太短摆动太快,不易计数。
2.摆长要悬挂好摆球后再测,不要先测摆长再系小球,因为悬挂摆球后细绳会发生形变。
3.计算摆长时要将摆线长加上摆球半径,不要把摆线长当作摆长。
4.摆球要选体积小、密度大的,不要选体积大、密度小的,这样可以减小空气阻力的影响。
5.摆角要小于5°,不要过大,因为摆角过大,单摆的振动不再是简谐运动,公式 就不再适用。
6.单摆要在竖直平面内摆动,不要使之成为圆锥摆。
7.要从平衡位置计时,不要从摆球到达最高点时开始计时。
8.要准确记好摆动次数,不要多记或少记。
误差分析
1.本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求,即悬点是否固定,球、线是否符合要求,振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等等。
2.本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量。要从摆球通过平衡位置开始计时,不能多记或漏记振动次数。为了减小偶然误差,进行多次测量后取平均值。
实验热点 探究突破
热点1 实验原理与操作
典例剖析
某实验小组在做利用单摆测量当地重力加速度的实验。
(1)用游标卡尺测定摆球的直径,测量结果如图所示,则该摆球的直径为 cm。
(2)小组成员在实验过程中有如下说法,其中正确的是 。(填选项前的字母)
A.把单摆从平衡位置拉开30°的摆角,并在释放摆球的同时开始计时
B.测量摆球通过最低点100次的时间t,则单摆周期为
C.用悬线的长度加摆球的直径作为摆长,代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大
D.选择密度较小的摆球,测得的重力加速度值误差较小
答案:(1)0.97 (2)C
解析:(1)游标卡尺读数=主尺读数+游标尺读数
=0.9 cm+7×0.01 cm=0.97 cm。
(2)要使单摆做简谐运动,摆角应小于5°,要在摆球通过最低点时开始计时,选项A错误;应选择密度较大的摆球,阻力的影响较小,测得的重力加速度误差较小,选项D错误;摆球通过最低点100次,完成了50次全振动,周期是 ,选项B错误;单摆的摆长应是悬线的长度加摆球的半径,若用悬线的长度加摆球的直径作为摆长,则测出的重力加速度值偏大,选项C正确。
学以致用
(多选)在用单摆测重力加速度的实验中,下列措施可以提高实验精度的是( )
A.单摆摆动时保持摆线在同一竖直平面内
B.拴好摆球后,令其自然下垂时测量线长为摆长
C.计时起止时刻,选在最大摆角处
D.计时初始时刻应选在摆球通过平衡位置时
答案:AD
解析:由于单摆与圆锥摆的周期不同,本实验是利用单摆的简谐运动周期公式 测量g,所以单摆摆动时必须保持摆线在同一竖直平面内,不能形成圆锥摆,选项A正确;由于细线有伸缩性,所以应拴好摆球后,令其自然下垂时测量悬点到球心的距离作为摆长,不能将线长作为摆长,选项B错误;摆球经过平衡位置时,速度最大,相同的距离误差引起的时间误差最小,故应从平衡位置开始计时和停止计时,选项C错误,D正确。
热点2 数据处理与误差分析
典例剖析
在做用单摆测量重力加速度的实验时,用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g= 。若已知摆球直径为2.00 cm,让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点,摆线竖直下垂,如图甲所示,则单摆摆长是 m。若测定了40次全振动的时间如图乙中停表所示,则停表读数是 s,单摆摆动周期是 s。
甲
乙
为了提高测量精度,需多次改变l值,并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上,如图丙所示。试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线,根据图线可求出g= m/s2。(结果取2位有效数字)
丙
特别提醒
1.在读数时,要注意有效数字问题,毫米刻度尺的分度值为1 mm,需估读,而停表的分度值为0.1 s,不估读。 2.在作图像时,由于有测量误差,会造成并非所有的点都在一条直线上,作图时应让误差较大的点均匀分布在直线两侧,提高实验的准确性。
学以致用
用单摆测量重力加速度的实验装置如图所示。
(1)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)l及单摆完成n次全振动所用的时间t,则重力加速度g= (用l、n、t表示)。
(2)下表是某同学记录的3组实验数据,并做了部分计算处理。
组次 1 2 3
摆长l/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振动时间t/s 90.0 95.5 100.5
振动周期T/s 1.80 1.91
重力加速度g/(m·s-2) 9.74 9.73
请计算出第3组实验中的T= s,g= m/s2。
随 堂 训 练
1.(1)在用单摆测定当地的重力加速度的实验中除带横杆的铁架台、铁夹、停表、游标卡尺、刻度尺之外,还必须选用的器材是 。
A.约1 m的不可伸长的细线,半径约1 cm的小铁球
B.约0.1 m的不可伸长的细线,半径约1 cm的小铁球
C.约0.1 m的不可伸长的细线,半径约1 cm的小塑料球
D.约1 m的不可伸长的细线,半径约1 cm的小塑料球
(2)某同学在处理数据的步骤中,以 为纵坐标,以周期T为横坐标,作出如图所示的图像,已知该图线的斜率为k=0.500,则重力加速度为 m/s2。(结果保留三位有效数字,π=3.14)
答案:(1)A (2)9.86
解析:(1)本实验应选择细、轻、不易伸长的线,长度一般在1 m左右,小球应选用直径较小、密度较大的金属球,故选项A正确。
2.在利用单摆测定重力加速度的实验中,由单摆做简谐运动的周期公式得到 ,只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T,作出T2-l图像,就可以求出当地的重力加速度,理论上T2-l图像是一条过坐标原点的直线,某同学根据实验数据作出的图像如图甲所示:
(1)由图像求出的重力加速度g= m/s2(取π2=9.87)。
(2)由于图像没有经过坐标原点,求出的重力加速度g值与当地真实值相比 ;若利用 ,采用公式法计算,则求出重力加速度g值与当地真实值相比 。(均选填“偏大”“偏小”或“不变”)
(3)某同学在家里做用单摆测定重力加速度的实验,但没有合适的摆球,他找到了一块外形不规则的长条状的大理石块代替了摆球(如图乙),以下实验步骤中存在错误或不当的步骤是
(只填写相应的步骤代号即可)。
A.将石块用细尼龙线系好,结点为N,将尼龙线的上端固定于O点
B.用刻度尺测量ON间尼龙线的长度l作为摆长
C.将石块拉开一个大约α=5°的角度,然后由静止释放
答案:(1)9.87 (2)不变 偏小 (3)BDF
(3)B选项:用刻度尺测量ON间尼龙线的长度l作为摆长是错误的,摆长等于悬点到石块重心的距离;D选项:从石块摆到最低点时开始计时并记为n=0,当石块第n=30次到达最低点时结束记录总时间t,由 得出周期;F选项:求出多次实验中测得的l和T的值,作出T2-l图像,根据图像的斜率求出重力加速度g。(共42张PPT)
6 受迫振动 共振
课前·基础认知
课堂·重难突破
素养·目标定位
随 堂 训 练
素养·目标定位
目 标 素 养
1.知道什么是阻尼振动和阻尼振动中能量转化的情况。
2.知道什么是受迫振动,知道受迫振动的频率跟固有频率无关,而等于驱动力的频率,形成正确的物理观念,培养科学思维能力。
3.知道共振以及发生共振的条件,知道共振的应用和防止的实例,培养分析和解答实际问题的能力。
知 识 概 览
课前·基础认知
一、振动中的能量损失
1.固有振动。
弹簧振子与单摆在没有外力干预的情况下做简谐运动,周期或频率与振幅无关,仅由系统自身的性质决定,把这种振动称为固有振动,其振动频率称为固有频率。
2.阻尼振动。
由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用,振幅必然逐渐减小。这种振幅随时间逐渐减小的振动称为阻尼振动。
3.振动系统能量衰减的方式。
(1)由于振动系统受到摩擦阻力的作用,使振动系统的机械能逐渐转化为内能。
(2)由于振动系统引起邻近介质中各质点的振动,使能量向四周辐射出去,从而自身机械能减少。
微思考1前面我们学习过的弹簧振子的运动是属于简谐运动还是阻尼振动呢
提示:实际的弹簧振子在运动中除受到弹力之外,还受到摩擦力等阻力的作用,振幅逐渐减小,即做的是阻尼振动。如果阻力很小,可以忽略,那么振子的运动就是只在回复力作用下的运动,是简谐运动。
二、受迫振动
1.驱动力:周期性的外力。
2.受迫振动:系统在驱动力作用下的振动。
3.受迫振动的频率:物体做受迫振动达到稳定后,物体振动的频率等于驱动力的频率,与物体的固有频率无关。
微判断1.在外力作用下的振动就是受迫振动。( )
2.受迫振动的频率与振动系统的固有频率无关。( )
3.阻尼振动的频率不断减小。( )
×
√
×
微训练1.(多选)下列说法正确的是( )
A.实际的自由振动必然是阻尼振动
B.在外力作用下的振动是受迫振动
C.阻尼振动的振幅越来越小
D.受迫振动稳定后的频率与自身物理条件无关
答案:ACD
解析:实际的自由振动中,由于阻力不可避免,故是阻尼振动,选项A正确;只有在周期性外力(驱动力)的作用下物体所做的振动才是受迫振动,选项B错误;阻尼振动的振幅越来越小,选项C正确;受迫振动稳定后的频率等于驱动力的频率,与自身固有频率无关,选项D正确。
三、共振现象及其应用
1.共振。
当驱动力的频率等于固有频率时,物体做受迫振动的振幅达到最大值,这种现象称为共振。
2.共振的应用与防止。
(1)共振的应用。
①采用方法:在应用共振时,驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率。
②实例:转速计、共振筛。
(2)共振的防止。
①采用方法:在防止共振时,驱动力频率与系统的固有频率相差越大越好。
②实例:部队过桥时用便步;火车过桥时减速。
微思考2要防止共振,需要采取什么措施
提示:尽量使驱动力的频率与固有频率间的差距增大。
课堂·重难突破
一 阻尼振动和简谐运动的比较
重难归纳
振动类型 阻尼振动 无阻尼振动(简谐运动)
产生条件 受到阻力作用 不受阻力作用
振动能量 振动能量有损失 振动能量保持不变
振幅 如果没有能量补充,振幅越来越小 振幅不变
频率 不变 不变
振动图像
常见例子 用锤敲锣,锣面的振动 弹簧振子的振动
某弹簧振子如图所示。
(1)周期性的驱动力会使振子如何振动
(2)撤掉外力后,振子的振动发生怎样的变化
提示:(1)使振子周期性振动。
(2)撤去外力后,振子在振动过程中由于克服阻力做功,振幅越来越小。
典例剖析
(多选)一单摆在空气中振动,振幅逐渐减小。下列说法正确的是( )
A.机械能逐渐转化为其他形式的能
B.后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C.后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D.后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
答案:AD
解析:单摆振动过程中,因不断克服空气阻力做功,使机械能逐渐转化为内能,选项A、D正确。虽然单摆总的机械能在逐渐减小,但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化,动能转化为势能时,动能逐渐减小,势能逐渐增大;而势能转化为动能时,势能逐渐减小,动能逐渐增大,所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能),故选项B、C错误。
特别提醒
1.阻尼振动的频率:阻尼振动中振幅虽逐渐减小,但振动频率不会变化,此频率称为固有频率,由振动系统决定。 2.阻尼振动与简谐运动的关系:实际的振动都会受到阻力的作用,是阻尼振动;当阻力很小时,可认为是简谐运动。
学以致用
(多选)一单摆做阻尼振动,则在振动过程中( )
A.振幅越来越小,周期也越来越小
B.振幅越来越小,周期不变
C.通过某一位置时,机械能始终不变
D.机械能不守恒,周期不变
答案:BD
解析:单摆做阻尼振动时,振幅会减小,机械能减小,振动周期不变,故选项B、D正确,A、C错误。
二 受迫振动和共振
重难归纳
1.自由振动、受迫振动及共振的比较。
振动类型 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力 周期性驱动力 周期性驱动力
振动周期
或频率 由系统本身性质决定,即固有周期或固有频率 由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或f=f驱 T=T驱=T固或f=f驱=f固
振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆 机械运转时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2.对共振条件的理解。
(1)从受力角度来看:驱动力的频率跟物体的固有频率越接近,使物体振幅增大的力的作用次数就越多;当驱动力的频率等于物体的固有频率时,它的每一次作用都使物体的振幅增加,从而振幅达到最大。
(2)从功能关系来看:驱动力的频率越接近物体的固有频率,驱动力对物体做正功就越多,振幅就越大;当驱动力的频率等于物体的固有频率时,驱动力始终对物体做正功,从而振幅达到最大。
3.共振曲线的理解和应用。
(1)两坐标轴的意义。
纵轴:受迫振动的振幅,如图所示。横轴:驱动力频率。
(2)f0的意义:表示固有频率。
(3)认识曲线形状:f=f0,共振;f>f0或f(4)结论:驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0,受迫振动的振幅越大,反之振幅越小。
洗衣机启动和停止时,随着电机转速的变化,有时洗衣机会振动得很厉害,这是什么原因
提示:当洗衣机电机转动的频率等于洗衣机的固有频率时,发生了共振现象,这时洗衣机振动得很厉害。
典例剖析
(多选)如图所示,一根绷紧的水平绳上挂五个摆,其中A、E摆长均为l,先让A摆振动起来,其他各摆随后也跟着振动起来,则( )
A.其他各摆振动周期跟A摆相同
B.其他各摆振动的振幅大小相等
C.其他各摆振动的振幅大小不同,E摆的振幅最大
D.B、C、D三摆振动的振幅大小不同,B摆的振幅最小
答案:ACD
规律总结 分析共振问题的方法 1.在分析解答有关共振问题时,要抓住产生共振的条件分析:驱动力的频率等于固有频率时产生共振,此时振动的振幅最大。 2.在解决有关共振的实际问题时,要抽象出受迫振动这一物理模型,弄清驱动力频率和固有频率,然后利用共振的条件进行求解。 3.图像法解决问题直观方便,利用共振图线可以找出最大振幅,以及振动的固有频率或固有周期,然后再利用周期公式进行分析。
学以致用
下图为一单摆的共振曲线,图中横轴表示周期性驱动力的频率,纵轴表示单摆的振幅,求此单摆的摆长。
答案:1.55 m
解析:由题图可以看出,当驱动力的频率为0.4 Hz时,单摆的振幅最大,此时单摆共振。
由共振的条件可知,单摆的固有频率为0.4 Hz,
随 堂 训 练
1.如图所示,曲轴上悬挂一弹簧振子,转动摇把,曲轴可以带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把,让振子上下自由振动,测得振动频率为2 Hz,然后匀速转动摇把,转速为240 r/min,当振子振动稳定后,它的振动周期为( )
答案:B
解析:匀速转动摇把后,振子将做受迫振动,驱动力的周期跟把手转动的周期是相同的,振子做受迫振动的周期又等于驱动力的周期,其频率也等于驱动力的频率,与原自由上下振动频率无关。摇把匀速转动的转速为240 r/min=4 r/s,所以驱动力的周期
2.下列说法正确的是( )
A.用弹簧连接一物体沿水平方向做简谐运动,该物体做的是匀变速直线运动
B.做简谐运动的单摆通过平衡位置时,小球受到的回复力为零,合外力不为零
C.做简谐运动的物体,当它每次经过同一位置时,速度一定相同
D.单摆在周期性外力作用下做受迫运动,外力的频率越大,单摆的振幅就越大
答案:B
解析:简谐运动是变加速运动,故选项A错误;摆球受到的回复力是重力沿圆弧切线方向上的分力,经过平衡位置时,回复力为零,由于单摆做圆周运动,在平衡位置,合力不为零,合力提供向心力,方向指向悬点,故选项B正确;做简谐运动的物体,物体每次通过同一位置时其速度大小相等,方向不一定相同,故速度不一定相同,故选项C错误;在周期性的外力作用下做受迫运动,则外力的频率越大,单摆的振幅可能变大,也可能变小,故选项D错误。
3.一个单摆在地面上做受迫振动,其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示,则( )
A.此单摆的固有周期约为0.5 s
B.此单摆的摆长约为1 m
C.若摆长增大,单摆的固有频率增大
D.若摆长增大,共振曲线的“峰”将向右移动
答案:B
解析:单摆发生共振时的频率与固有频率相等,由题图可知固有频率为0.5 Hz,则周期为2 s,由 ,可得l≈1 m,故选项A错误,B正确;若摆长增大,则单摆的固有周期增大,固有频率减小,其共振曲线的“峰”将向左移动,故选项C、D错误。
4.如图所示,摆球质量相同的四个摆的摆长分别为l1=2 m、l2=1.5 m、l3=1 m、l4=0.5 m,悬于同一根水平横杆上,把一周期为2 s的驱动力作用在横杆上,使它们做受迫振动,稳定时
( )
A.摆1的周期最长
B.摆2的振幅最大
C.摆3的振幅最大
D.四个摆的周期不同,但振幅相等
答案:C
解析:根据单摆的周期公式 可知,将四个单摆的摆长代入公式,分别求得它们的周期是2.8 s、2.5 s、2.0 s、1.4 s。由于四个摆的摆长不同,所以四个摆的固有周期不同,但四个摆振动起来后,驱动力使得摆做受迫振动,振动的周期都等于2 s,所以各摆振动的振动周期都相等;由于摆3的固有周期与驱动力的周期相等,故摆3发生共振,振幅最大,故选项C正确。(共2张PPT)
章末知识体系构建
-kx
Asin(ωt+φ)
平衡位置
一次全振动
单位时间
位移
时间
弹力
圆弧切线方向的分力
逐渐减小
周期性驱动力
驱动力的频率
f固
受力特点：F=①
特征
运动特点：a=-
kx
(变加速运动)，周期性和对称性
振动位移随时间的变化规律：正弦函数规律x=②
位移x:以③
为参考点
振幅A:离开平衡位置的最大距离
周期T:完成④
需要的时间
物理量
T=6
频率f:⑤
内完成全振动的次数
简谐运动
描述
相位：描述周期性运动在各时刻所处状态
相位差：指两个相位之差
正弦曲线
振动图像
物理意义：描述振动物体的⑦
随⑧
的变化规律
图像信息：振幅A、周期T、各时刻位移x
振动的能量：动能与势能之和
机械振动
水平弹簧振子：由弹簧和小球组成，忽略阻力，由⑨
提供回复力的理想化模型
回复力来源：重力沿⑩
两个理想化模型
做简谐运动的条件：0<5°
单摆
等时性
周期公式：T=①
用单摆测量重力加速度的实验：g=②
振幅③
阻尼振动
机械能逐渐转化为其他形式的能
外力作用下的振动
作用下的振动
受迫振动
受迫振动的频率等于⑤
共振：f驱=⑥
时，受迫振动的振幅最大
