河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

华实验学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1．计算的值是( )
A.252 B.70 C.56 D.21
2．P是正四面体ABCD的面ABC内一动点,E为棱AD中点,记DP与平面BCE成角为定值,若点P的轨迹为一段抛物线,则( )
A. B. C. D.
3．已知双曲线(,)的左,右焦点分别为E,F,以OF(O为坐标原点)为直径的圆C交双曲线于A,B两点,若直线AE与圆C相切,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
4．已知双曲线的左顶点为A,右焦点为F,以F为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线相切于第一象限内的一点B.若直线AB的斜率为,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
5．是直线与平行的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知,是椭圆的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
7．已知P为双曲线左支上一点,双曲线的左右顶点分别为A,B,直线BP交双曲线的一条渐近线于点Q,直线APA,BAQ的斜率为,若以AB为直径的圆经过点Q,且,则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
8．公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率的范围是:,为纪念祖冲之在圆周率方面的成就,把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列,整数部分3不变,那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为( )
A.720 B.1440 C.2280 D.4080
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．若与的夹角为钝角,则x的取值可能为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10．若曲线与直线有两个交点,则实数k的取值可以是( )
A.0.3 B.0.75 C.0.8 D.0.6
11．已知直线,直线,下列说法正确的是( )
A.直线在y轴上的截距等于直线在x轴上的截距
B.若点在直线上,则点也在直线上
C.若,则
D.若,则
12．在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则( )
A.平面的一个法向量为 B.平面的一个法向量为
C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知直线,直线,若直线l与m的交点在第一象限,则实数k的取值范围为___________.
14．已知F为抛物线的焦点,M,N都是抛物线上的点,O为坐标原点,若的外接圆与抛物线C的准线l相切,且该圆的面积为,点,则的最小值为______________.
15．圆与圆的公共弦所在直线的方程为__________.
16．已知抛物线光学性质:从焦点出发的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线,一条光线从点沿平行于x轴的方向射出,与拋物线相交于点M,经点M反射后与C交于另一点N.若,则M,N两点到y轴的距离之比为__________.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）
17（10分）．经过直线,的交点M,且满足下列条件的直线的方程:
（1）与直线平行;
（2）与直线垂直.
18（12分）．已知焦点在x轴的抛物线C经过点.
（1）求抛物线C的标准方程.
（2）过焦点F作直线l,交抛物线C于A,B两点,若线段AB中点的纵坐标为-1,求直线l的方程.
19（12分）．某农场主拥有两个面积都是200亩的农场——“生态农场”与“亲子农场”，种植的都是黄桃，黄桃根据品相和质量大小分为优级果、一级果、残次果三个等级.农场主随机抽取了两个农场的黄桃各100千克，得到如下数据：“生态农场”优级果和一级果共95千克，两个农场的残次果一共20千克，优级果数目如下：“生态农场”20千克，“亲子农场”25千克.
（1）根据所提供的数据，判断是否有的把握认为残次果率与农场有关？
（2）种植黄桃的成本为5元/千克，且黄桃价格如下表：
等级 优级果 一级果 残次果
价格（元/千克） 10 8 -0.5（无害化处理费用）
①以样本的频率作为概率，请分别计算两个农场每千克黄桃的平均利润；
②由于农场主精力有限，决定售卖其中的一个农场，请你根据以上数据帮他做出决策.（假设两个农场的产量相同）
参考公式：，其中.
附表：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
20（12分）．已知椭圆的左焦点为,离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）设O为坐标原点,T为直线上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q．当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积．
21（12分）．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,E为AD的中点,,,,,.
（1）求点A到平面PCD的距离;
（2）求直线PE与平面PBC所成角的余弦值;
（3）在线段PE上是否存在点M,使得平面PBC 若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.
22（12分）．已知抛物线的焦点为F,点M为抛物线C上一点,且线段FM的中点为,该抛物线的焦点到准线的距离不大于3.
（1）求抛物线C的方程;
（2）设点A,B为抛物线上的动点,若,当AB的中点到抛物线的准线距离最短时,求AB所在直线方程.
参考答案
1．答案：C
解析：
故选:C.
2．答案：B
解析：由题意设四面体ABCD的棱长为2,设O为BC的中点,
以O为坐标原点,以OA为x轴,以OB为y轴,过O垂直于面ABC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则可得,,取OA的三等分点G,F如图,
则,,,,
所以,,,,,
由题意设,,
和都是等边三角形,E为AD的中点,,,
,平面BCE,为平面BCE的一个法向量,
因为DP与平面BCE所成角为定值,则,
由题意可得,
因为P的轨迹为一段抛物线且为定值,则也为定值,
,可得,此时,则,.
故选:B.
3．答案：D
解析：连接CA,AF,
则,,
所以,
在中,,,
故
在中,由余弦定理
可得.
根据双曲线的定义,得,
所以双曲线的离心率
故选:D
4．答案：C
解析：双曲线C的渐近线方程为,则直线OB的斜率为（O为坐标原点）,
所以,直线BF的斜率为,易知点、,
所以,直线BF的方程为,
联立,解得,即点,
由题意可得,即,
所以,,则,故.
故选：C.
5．答案：A
解析:因直线与平行,
由题得,
所以或,经检验均满足题意,
所以或.
当时,直线与平行,
所以是直线与平行的充分条件;
当直线与平行时,不一定成立,
所以是直线与平行的非必要条件.
故选:A
6．答案：D
解析:分析:先根据条件得,再利用正弦定理得a,c关系,即得离心率.
解析:因为为等腰三角形,,所以,
由AP斜率为得,,,,
由正弦定理得,
所以,
,,
故选D.
7．答案：D
解析：设点,则,即有,①
以AB为直径的圆经过点Q可知,所以,即,
由,,则,,可得,
由,则,所以,②
由①和②得,由,得双曲线的离心率.
故选:D.
8．答案：C
解析：一共有7个数字,且其中有两个相同的数字1.
这7个数字按题意随机排列,可以得到个不同的数字.
当前两位数字为11或12时,得到的数字不大于3.14
当前两位数字为11或12时,共可以得到个不同的数字,
则大于3.14的不同数字的个数为
故选:C
9．答案：ABC
解析：根据题意,若与共线,则有,
无解,即两个向量不会共线,
若与的夹角为钝角,必有,
解可得:,分析选项:,2,3符合,
故选:ABC.
10．答案：BD
解析：设直线为l,圆心为M,曲线可化为,,
所以曲线是以为圆心,2为半径的半圆,
直线l与半圆相切,C为切点时,圆心到直线l的距离,
即,解得,
直线恒过点,
当直线l过点B时,直线l的斜率为,
所以曲线与直线有两个交点,实数k的取值范围为,
故选：BD.
11．答案：BD
解析：直线在y轴上的截距为-2,直线在x轴上的截距为2,不相等,故A错误;
若点在直线上,则,所以点在直线上,故B正确;
当时, 与重合,故C错误;
若,则,故D正确.
故选：BD.
12．答案：AC
解析：由题意，知，，，，，，.，平面，故A正确；
，且，不是平面的法向量，故B不正确；
，，，，又，是平面的一个法向量，故C正确；
，且，不是平面的法向量，故D不正确.
13．答案：
解析：由题意得两直线不平行,即,得,
由得,
由于直线l与m的交点在第一象限,
所以,解得,则实数k的取值范围为,
故答案为：.
14．答案：或
解析：依题意作下图:
外接圆半径,
的外接圆与抛物线C的准线l相切,外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径,
又圆心在OF的中垂线上,中垂线的方程为,准线方程为,,,并且点Q是准线与x轴的交点;
抛物线C的方程为:,过M作得,
,
最小即最大,显然当与抛物线相切时最大,
设直线的方程为,联立得:,
令,解得,即,,故的最小值为;
故答案为:.
15．答案：
解析：将所给的两圆的方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为：,
即.
16．答案：或
解析：依题意,由抛物线性质知直线MN过焦点,
设,,,,直线MN的方程为,
由,得:,
所以,,
则,又,所以,故抛物线方程为
而,故,所以,
所以M,N两点到y轴的距离之比为.
故答案为:.
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：由,解得,
设所求直线为l
直线的斜率为
（1）直线l与直线平行
直线l的方程为:,即
（2）直线l与直线垂直
直线l的方程为:,即
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由题意可设抛物线方程为：,
抛物线过点, ,
;
（2）设l的方程为,,,
则由,,
所以,
由题意,,
故,
即直线l的方程为.
19．答案：（1）有
（2）①“生态农场”每千克黄桃的平均利润为2.975元；“亲子农场”每千克黄桃的平均利润为2.225元
②应该售卖“亲子农场”
解析：（1）作出列联表如下：
农场 非残次果 残次果 总计
生态农场 95 5 100
亲子农场 85 15 100
总计 180 20 200
因为，
所以有的把握认为黄桃的残次果率与农场有关.
（2）①对于“生态农场”，抽到的产品中盈利为5元的频率为0.2，盈利为3元的频率为0.75，盈利为-5.5元的频率为0.05，
所以该农场每千克黄桃的平均利润为（元）；
对于“亲子农场”，抽到的产品中盈利为5元的频率为0.25，盈利为3元的频率为0.60，盈利为-5.5元的频率为0.15，
所以该农场每千克黄桃的平均利润为（元）.
②由于两个农场的产量相同，所以“生态农场”的盈利能力更大，应该售卖“亲子农场”.
20．答案：(1);
（2）
解析：（1）由已知得：,,所以
又由,解得,所以椭圆的标准方程为：.
（2）椭圆方程化为.
设T点的坐标为,则直线TF的斜率.
当时,直线PQ的斜率,直线PQ的方程是
当时,直线PQ的方程是,也符合的形式.
将代入椭圆方程得：.
其判别式.
设,
则,,.
因为四边形OPTQ是平行四边形,所以,即.
所以,解得.
此时四边形OPTQ的面积
.
21．答案：（1）
（2）
（3）当点M为PE的中点时,有平面PBC.
解析：（1）作平面ABCD,又,所以以,的方向分别为x轴,y轴的正方向,建立如下图所示的空间直角坐标系:
因为平面平面ABCD,平面平面,且,平面PAD,
所以平面ABCD,
又因为E为AD的中点,,且,,,
所以由题意有,,,,
所以有,,,
不妨设平面PCD的法向量为,
所以有,即,
取,解得,
所以点A到平面PCD的距离为.
（2）如图所示:
由题意有,,,,
所以有,,,
不妨设平面PBC的法向量为,
所以有,即,
取,解得,
不妨设直线PE与平面PBC所成角为,
所以直线PE与平面PBC所成角的正弦值为,
所以直线PE与平面PBC所成角的余弦值为.
（3）如图所示:
由题意有,,,
所以,,
由题意不妨设,
所以,
又由（2）可知平面PBC的法向量为,
若平面PBC,则,
即,解得,
所以当点M为PE的中点时,有平面PBC.
22．答案：（1）
（2）或
解析：（1）依题意得,焦点到准线的距离不大于3,所以,
设,由FM的中点坐标为,
得,解得,
因为在抛物线,所以
即,解得或（舍）,
所以抛物线C的方程为.
（2）如图所示,
根据题意直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为,
设,,AB,中点,
由,
,
,
所以,
则
所以,
又因为AB的中点到准线的距离等于,
所以当最小时,的中点到准线的距离最短.
因为,
当且仅当时,解得,则.
所以直线AB的方程为或.