2023-2024学年人教A版高一上学期第三章函数概念与性质能力提升卷（真题演练）（含答案）

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2023-2024学年人教A版高一上学期第三章函数概念与性质能力提升卷（真题演练）
一、选择题
1．（2024高一上·泊头期末）定义在上的函数是偶函数的一个必要不充分条件为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·南山期末）设函数，则的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·芦溪期末）已知定义在R上的偶函数满足且时有，而在区间上至多有10个零点，至少有8个零点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023高一上·肇东期末）函数 的定义域为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·辽源期末）已知函数的定义域为的图象关于点对称，，且对任意的，满足.则不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023高一上·抚松月考）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（　　）
A．-8 B．-4 C．4 D．8
7．（2023高一上·武汉月考）设，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·大理模拟）已知为偶函数，且在上为增函数，，满足不等式的x取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．（2024高一上·南山期末）已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（　　）
A． B．为偶函数
C．为单调递增函数 D．的值域为
10．（2024高一上·南山期末）已知函数满足如下两个性质：①，其中函数是函数的反函数；②若，则，则下列结论正确的为（　　）
A．若，则
B．若点在曲线上，则
C．存在点，使得曲线与关于点对称
D．方程恰有9个相异实数解
11．（2024高一上·泊头期末）已知函数为上的奇函数，当时，，记，则下列结论正确的是（　　）
A．是偶函数
B．当时，
C．在区间上有3个零点
D．大于0的零点从小到大排列依次为，，，…，则
12．（2024高一上·辽源期末）下列有关幂函数的结论中，正确的是（　　）
A．的图象都经过点
B．的图象可能会出现在第四象限
C．当时，在是增函数
D．当时，在是减函数
三、填空题
13．（2024高一上·泊头期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为　 　．
14．（2023高一上·肇东期末）已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，并且，则的取值范围是　 　
15．（2023高一上·武汉月考） 已知函数，则的值为　 　.
16．（2023高一上·鹤山月考）已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为　 　.
四、解答题
17．（2024高一上·南山期末）已知函数为定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）（i）证明：为单调递增函数；
（ii），若不等式恒成立，求非零实数的取值范围.
18．（2024高一上·南山期末）已知某产品在过去的32天内的日销售量（单位：万件）与第天之间的函数关系为①；②这两种函数模型中的一个，且部分数据如下表：
（天） 2 4 10 20
（万件） 12 11 10.4 10.2
（1）请确定的解析式，并说明理由；
（2）若第天的每件产品的销售价格均为（单位：元），且，求该产品在过去32天内的第天的销售额（单位：万元）的解析式及的最小值.
19．（2024高一上·泊头期末）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）当时，求函数的值域．
20．（2024高一上·泊头期末）已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求的值，并判断函数的单调性（给出判断即可，不需要证明）；
（2）若对于任意，，且，都有恒成立，求实数的取值范围．
21．（2023高一上·浦东月考）已知函数
（1）写出的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）
（2）解不等式
（3）若满足，且，求证：
22．（2023高一上·浦东月考）设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是型函数，是这个型函数的常数
（1）判断函数是不是型函数，并说明理由：如果是，给出一个常数；
（2）设函数是定义在区间上的型函数，是一个常数，求证：函数也是型函数；
（3）设函数是定义在上的型函数，其常数，且的值域也是，求的解析式
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】A,C
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】A,C,D
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】3
16．【答案】
17．【答案】（1）解：（方法一）为定义在上的奇函数，
，即，
，
，显然有
为奇函数，
实数的值为1.
（方法二）为定义在上的奇函数，
，
，此时为奇函数，符合题设.
（2）解：（i）任取实数，则，
，
又
，即，
为单调递增函数.
（ii），
令，则，且，
只需不等式恒成立，
即不等式恒成立，
，
为单调递增函数，
，即，
（方法一）不等式（*）即，
欲使不等式成立，则
解得实数的取值范围为.
（方法二）①若，欲使不等式（*）成立，可为任意非零实数；
②若，则不等式等价于，
欲使恒成立，只需即可，，
综上所述，实数的取值范围为.
18．【答案】（1）解：选择模型②，理由如下：
由题表可知，随着增大时，销售量逐渐减少，若，则当时，非单调递减函数，不符合题意.
对于，根据题意，将点代入可得
解得，此时，
易知点均在的图象上，
.
（2）解：
由（1）知
即
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，为单调递减函数，
的最小值为，
综上可知，的最小值为484万元.
19．【答案】（1）令，则，，
由，得，即，解得，
即，解得，所以的取值范围是．
（2）当时，，即，，
当时，，
当时，，
所以函数的值域为．
20．【答案】（1）由于函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得，
经检验，是定义在上的奇函数，所以．
由于，
所以函数在上单调递增．
（2）由（1）可知恒成立，
所以恒成立，所以，
由于，当且仅当时，等号成立，
所以实数的取值范围为．
21．【答案】（1）解：在上单调递增，在上单调递减
（2）解：由题意
①，不等式即
②，不等式即
综上，
（3）解：函数大致图像如图
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减
则若满足，则
由图像知
①若，则显然
②若，要证明，则要证
注意到，且在上递减
则可证明
，则可证明
构造函数，则
对任意的
在上单调递减，
时，即
，从而得证
22．【答案】（1）解：假设是型函数，
则任取，都有恒成立
即
当时，
当时，
综上所述，
（2）解：设，
任取
则
则
则也是型函数。
（3）解：假设且
则
由于
或
①当时，假设存在且
若，则
若，则
均矛盾，故对任意，都有
此时，的解析式为
②同理，当时，的解析式为
综上，的解析式为或
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