2023-2024学年人教A版高一上学期第四章指数函数与对数函数能力提升卷（真题演练）（含答案）

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2023-2024学年人教A版高一上学期第四章指数函数与对数函数能力提升卷（真题演练）
一、选择题
1．（2024高一上·南山期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·南山期末）设函数的零点为，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·泊头期末）已知，是方程的两个不等实根，则的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．3
4．（2023高一上·肇东期末）函数的图象恒过定点，若点的横坐标为，函数的图象恒过定点，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·辽源期末）函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023高一上·鹤山月考）若，且，则k的值为（　　）
A． B． C．15 D．225
7．（2023高一上·杭州月考）对于函数，若，则称为函数的“不动点”：若，则称为函数的“稳定点”．已知的稳定点都是它的不动点，则实数的范围是（　　）．
A． B． C． D．
8．（2023高一上·齐齐哈尔月考）函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．（2024高一上·南山期末）已知函数，若，则下列结论可能成立的为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024高一上·辽源期末）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值可能为（　　）
A． B．1 C．2 D．
11．（2023高一上·杭州月考）函数的零点所在的区间可能为（　　）
A． B． C． D．
12．（2023高一上·齐齐哈尔月考）下列说法正确的是（　　）
A．函数的零点是，
B．方程有两个解
C．函数的图象关于对称
D．已知函数的一个零点，用二分法求精确度为0.01的的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最少需要的次数为8次
三、填空题
13．（2024高一上·闵行期末）已知，则　 　.（用表示）
14．（2024高一上·南山期末）已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为　 　.
15．（2024高一上·涟源期末）若函数在内恰有一个零点，则实数a的取值范围为　 　．
16．（2024高一上·辽源期末）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征.其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度为，满足公式.现有一壶水温为的热水用来沏茶，由经验可知茶温为时口感最佳，若空气的温度为，那从沏茶开始，大约需要　 　分钟饮用口感最佳.
（参考数据；，，结果精确到位）
四、解答题
17．（2024高一上·吉林期末）计算下列各式的值
（1）
（2）
18．（2023高一上·鹤山月考）已知函数.
（1）判断函数的单调性，并证明你的结论；
（2）若函数在区间（，1）上有零点，求a的取值范围.
19．（2023高一上·武汉月考） 已知函数且.
（1）若的值域为，求的取值范围.
（2）试判断是否存在，使得在上单调递增，且在上的最大值为1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，请说明理由.
20．（2023高一上·杭州月考）若函数满足：对任意，则称为“函数”．
（1）判断是不是函数（直接写出结论）；
（2）已在函数是函数，且当时，．求在的解析式；
（3）在（2）的条件下，时，关于的方程（为常数）有解，求该方程所有解的和．
21．（2023高一上·齐齐哈尔月考）已知函数，其中均为实数．
（1）若函数的图像经过点，求的值；
（2）若，函数在区间上有最小值，求实数的值．
22．（2023高一上·永年月考） 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示燕子的耗氧量.
（1）试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】A,B,D
10．【答案】B,C
11．【答案】A,C
12．【答案】B,C,D
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】（1）解：.
（2）解：.
18．【答案】（1）解：在上单调递增，
对任意 ，令，
则 ，
因为，则，
可得，即，
所以在上单调递增.
（2）由（1）可知：在上单调递增，
若 函数在区间（，1）上有零点，
则 ，解得，
所以 a的取值范围 为.
19．【答案】（1）解：设函数的值域为，因为的值域为，所以.
当时，的值域为，符合题意.
当时，由，解得.
综上，的取值范围为.
（2）解：当时，，因为，所以不符合题意，舍去.
当时，，不符合题意.
下面只讨论的情况.
若，则在上单调递增，由，
解得，
此时，
得，即当时，存在，符合题意，当时，不存在符合题意的.
若，则在上单调递减，
由，解得，
此时，
得，则当，即时，存在，符合题意.
综上，当或时，存在，符合题意；当时，不存在符合题意的.
20．【答案】（1）解：是函数，证明如下：
因为，又，，所以，故是函数，
是函数，证明如下：
因为，
，所以，故是函数.
（2）解：因为，所以函数的周期为，又，所以函数关于直线对称，
因为时，所以，
当，即时，，
当，即时，，
又时，，所以，
综上，在上的解析式为；
（3）解：由（2）知，当时，，所以，得到，
又函数的周期为，所时，的图像如图，
由图知，当时，有5个解，其和为，
当时，有8个解，由对称知，其和为，
当时，有12个解，由对称知，其和为，
当时，有16个解，由对称知，其和为，
当时，有8个解，由对称知，其和为，
综上，方程所有解的和.
21．【答案】（1）解：因为函数的图像经过点，，
所以，解得．
（2）解：因为，所以函数在区间上单调递减，
所以当时，取得最小值，
即，
解得．
22．【答案】（1）解：由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，
代入题目所给公式可得，解得，
即燕子静止时的耗氧量为10个单位.
（2）解：将耗氧量代入公式得，
即当一只燕子粍氧量为80个单位时，它的飞行速度为.
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