2023-2024学年人教A版高二上学期真题汇编：一元函数的导数及其应用（含答案）

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2023-2024学年人教A版高二上学期真题汇编：一元函数的导数及其应用
一、选择题
1．（2022高二上·丽水期末）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·余姚期末）曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·武汉期末）已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（　　）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
4．（2023高二上·温州期末）已知为不相等的正实数，则下列命题为真的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2023高二上·长春期末）设函数在点处附近有定义，且为常数，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·汉中期末）函数的极大值为（　　）
A．0 B． C． D．
7．（2023高二上·孝义期末）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·孝义期末）是函数的导函数，则（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．（2022高二上·丽水期末）下列求导数的运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023高二上·魏县期末）若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2023高二上·宁波期末）已知，若整数满足，则的大小关系可能为（　　）
A． B．
C． D．
12．（2023高二上·平江月考）下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2023高二上·江汉开学考）设函数，则使得成立的的取值范围是　 　．
14．（2022高二上·丽水期末）若曲线在处的切线经过点，则实数　 　．
15．（2023高二上·武汉期末）年月，第届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了金银铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪瞬时速度为　 　．
16．（2023·） 已知函数，点是函数图象上不同的两个点，设为坐标原点，则的取值范围是　 　．
四、解答题
17．（2023高二上·福州期中） 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）证明：当时，，使得．
18．（2023高二上·福州期中）设f（x）=﹣x3+x2+2ax
（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．
（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值.
19．（2023高二上·潮安）已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若函数有三个零点，求的取值范围．
20．（2023高二上·魏县期末）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若对恒成立，求a的取值范围；
（3）若，证明：．
21．（2022高二上·舟山期末）已知函数.
（1）求在点处的切线方程；
（2）求在上的最值.
22．（2023高二上·温州期末）已知F是双曲线C：的右焦点，过F的直线l交双曲线右支于P，Q两点，PQ中点为M，O为坐标原点，连接OM交直线于点N．
（1）求证：；
（2）设，当时，求三角形面积S的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】A,C
10．【答案】A,B,C
11．【答案】B,C,D
12．【答案】A,C
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】（1）解：易知，，
当时，，函数在上单调递减；
当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）证明：由（1）可知，当时，在处取得最小值，
若，使得，只需，
令，由，
可得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，，
所以，，使得．
18．【答案】（1）解：f′（x）=﹣x2+x+2a
f（x）在存在单调递增区间
∴f′（x）＞0在有解
∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为
∴在递减
∴
解得．
（2）解：当0＜a＜2时，△＞0；
f′（x）=0得到两个根为；（舍）
∵
∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0
当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）
当x=4时最小∴=解得a=1
所以当x=时最大为
19．【答案】（1）解：函数的导数，
当时，；
当时，.
所以的单调递减区间为.
（2）解：由（1）得：当时，取得极大值；
当时，取得极小值.
由三次函数性质知：当时，；
当时，.
所以若有三个零点，则，解得.
所以的取值范围为.
20．【答案】（1）解： ，显然有 ，当 时， ，单调递增，
当 时， ，单调递减；
（2）解：由 得： ， ，
令 ，则有 ，令 ，
显然 是减函数， ， 当 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减；
，a的取值范围是 ；
（3）证明：当 时， ，由（1）的结论作函数图象如下：
，
对于 ，得 ，不妨设 ，则有 ，
由图可知当 时，对应的自变量有2个值 ，其中 ，
要证明 ，只需 取 中较小的数 即可，
， ， ， ，
要证明 ，只需证明 ，在 时， 单调递增，
只需证明 ， ， 只需证明 ，
即 ，构造函数 ，
，
，
， 是增函数，又 当 时， ，
即，命题得证；
综上，（1）当 时，单调递增，当 时，单调递减；（2） .
21．【答案】（1）解：，.
，所以切线方程为，即.
（2）解：
在单调递增；
在单调递减，
时，取极大值也是最大值，
，
.
22．【答案】（1）证明：由题知，在双曲线中，，，，
所以，因此.因为过F的直线l交双曲线右支于P，Q两点，
故可设PQ的方程为，设，，
由得
，，
，，得
∴，得直线OM的方程为，从而得
由，，得
，
所以
即，故
（2）解：因直线PQ与双曲线右支交于两点，得
由，，得
又因，得，
，
得，又因，
得，，，
由，，
不妨设，
令， ，
在该区间内单调递增，
故.
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