2023-2024学年人教A版高二上学期真题汇编：圆锥曲线的方程（含答案）

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2023-2024学年人教A版高二上学期真题汇编：圆锥曲线的方程
一、选择题
1．（2023高二上·成都月考）已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短轴长为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．（2023高二上·成都月考）已知直线与双曲线无公共交点，则的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·成都月考） 若方程表示椭圆，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023高二上·成都月考） 下列方程表示的椭圆中，形状最接近圆的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·九省高考模拟）设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
6．（2024·九省高考模拟）椭圆的离心率为，则（　　）
A． B． C． D．2
7．（2023高三上·闽清月考）已知双曲线：的虚轴长与实轴长的差为2，点，，坐标原点到直线的距离为，则的焦距为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·闽清月考） 已知抛物线：的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2023高二上·成都月考） 方程()表示的曲线可能是（　　）
A．一条直线 B．圆 C．椭圆 D．线段
10．（2023高二上·成都月考）已知抛物线过点的焦点为.直线与抛物线交于两点（均不与坐标原点重合），且，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．两点的纵坐标之积为-64 D．直线恒过点
11．（2023高二上·闽清月考）已知双曲线：的右焦点为，以坐标原点为圆心，线段为半径作圆与双曲线在第一、二、三、四象限依次交于A，B，C，D四点，若，则（　　）
A． B．
C．四边形的面积为 D．双曲线的离心率为
12．（2024高二上·海南高考模拟）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．直线和的斜率之和为0
C．内切圆圆心不可能在轴上
D．当直线的斜率为1时，
三、填空题
13．（2024高二上·济南模拟）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为　 　．
14．（2024高二上·昌乐模拟）已知抛物线 的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p=　 　， 的最小值为　 　．
15．（2024·南宁模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，斜率为1的直线l过F与C交于A，B两点，AB的中点到抛物线准线的距离为8，则p＝　 　．
16．（2024咸阳高考模拟）如图，在平面直角坐标系中，，圆过坐标原点且与圆外切，若抛物线与圆，圆均恰有一个公共点，则　 　.
四、解答题
17．（2023高二上·成都月考）动点P与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为E.
（1）求E的方程；
（2）已知，过点的直线与曲线E交于不同的两点A，B，点A在第二象限，点B在x轴的下方，直线，分别与x轴交于C，D两点，求四边形面积的最大值.
18．（2023高二上·成都月考） 在平面直角坐标系中，动点Р到点的距离与到直线的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过作两条垂直直线，分别交曲线C于和，且分别为线段的中点，证明直线过定点，并求出定点的坐标.
19．（2023高二上·成都月考）已知椭圆左焦点、右顶点，过且斜率为的直线l与椭圆交于两点，求的面积.
20．（2024·九省高考模拟）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（1）证明：直线过定点；
（2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
21．（2023高三上·闽清月考）已知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为.
（1）求双曲线的方程；
（2）记为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线相交于不同的两点，求的面积.
22．（2024·安徽模拟）已知双曲线的离心率为，过点的直线与左右两支分别交于，两个不同的点异于顶点．
（1）若点为线段的中点，求直线与直线斜率之积为坐标原点
（2）若，为双曲线的左右顶点，且，试判断直线与直线的交点是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】B,C
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】B,D
13．【答案】
14．【答案】8；
15．【答案】4
16．【答案】
17．【答案】（1）解：设点，依题意可得，
所以，
化简得，即E的方程为.
（2）解：如图所示：
设直线的方程为，，，，
联立方程组，可得，
则
，
由韦达定理有，，
且由求根公式有，
直线的方程为，，同理，
∵，，∴，
，
∴
，
又，且，
所以，
当且仅当时，四边形的面积最大，最大值为4.
18．【答案】（1）解：令，则，两边平方，
得，则，
所以曲线C的方程为.
（2）解：若两条直线斜率都存在时，设直线，则，
联立，可得，
则，
所以，则，
故，同理可得，
所以，所以，
则，此时过定点；
若一条直线斜率为0，另一条斜率不存在，易知都在轴上，此时也过定点；
综上，直线过定点，得证.
19．【答案】解：如下图所示：
易知，直线的方程为，
设，
联立直线与椭圆方程，消去可得，
由勾股定理可得，
可得，
点到直线的距离为，
所以的面积为.
即的面积为.
20．【答案】（1）解：由，故，由直线与直线垂直，
故两只直线斜率都存在且不为，
设直线、分别为、，有，
、、、，
联立与直线，即有，
消去可得，，
故、，
则，
故，，
即，同理可得，
当时，
则，
即
，
由，即，
故时，有，
此时过定点，且该定点为，
当时，即时，由，即时，
有，亦过定点，
故直线过定点，且该定点为；
（2）解：由、、、，
则，由、，
故，
同理可得，联立两直线，即，
有，
即，
有，由，同理，
故
，
故，
过点作轴，交直线于点，
则，
由、，
故，
当且仅当时，等号成立，
下证：
由抛物线的对称性，不妨设，则，
当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方，
有，由直线过定点，
此时，
同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方，
有，故此时，
当且仅当时，，
故恒成立，且时，等号成立，
故，
21．【答案】（1）双曲线的一条渐近线为，
所以，虚轴长，所以，
所以双曲线的方程为.
（2）直线的方程为，
由消去并化简得，
解得，
所以由解得，
所以.
22．【答案】（1）解：由题意得 ，所以 ，
设 ， ， ，
则 作差得 ，
又 的斜率 ， ，所以 ；
（2）解： ，
设直线的方程为 ，， ， ，
联立 得 ，
所以 ，所以
设直线 ，
所以 ，所以．
故直线 与直线 的交点 在定直线上
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