2023-2024学年人教A版高二上学期真题汇编：空间向量与立体几何（含答案）

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2023-2024学年人教A版高二上学期真题汇编：空间向量与立体几何
一、选择题
1．（2023高二上·彭山月考）已知直线过点和点Q（2，2，0），则点到的距离为（　　）
A．3 B． C． D．
2．（2023高二上·绍兴期中）平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·南海月考）在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023高二上·广州期中）已知向量，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
5．（2023高二上·广州期中）如图，在平行六面体中，底面是边长1的正方形，侧棱且，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·南海期中）已知动点在正方体的对角线（不含端点）上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·东莞期中） 在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，，则（　　）
A． B． C．2 D．3
8．（2023高二上·东莞期中） 如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（　　）
A． B． C． D．4
二、多项选择题
9．（2023高二上·辽源月考） 下面四个结论正确的是（　　）
A．向量，若，则
B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
C．已知向量，，若，则
D．任意向量，满足
10．（2023高二上·德阳月考） 在空间直角坐标系中，，，，则（　　）
A．直线OB与平面ABC所成角的正弦值为
B．点O到平面ABC的距离为
C．异面直线OA与BC所成角的余弦值为
D．点A到直线OB的距离为2
11．（2023高二上·永川月考） 若构成空间的一个基底，则下列向量可以作为空间的另一个基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
12．（2023高二上·广州月考）如图，已知，分别是正方体的棱和的中点，则（　　）
A．与是异面直线
B．与所成角的大小为
C．与平面所成角的正弦值为
D．二面角的余弦值为
三、填空题
13．（2023高二上·罗湖月考）已知平面经过原点，且法向量为，点，则点到平面的距离为　 　.
14．（2023高二上·广州月考）已知，，，则　 　.
15．（2023高二上·永川月考）如图，在平行六面体中，为的中点，若该六面体的棱长都为2，，则　 　.
16．（2023高二上·永川月考）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，E为SC的中点，点D在SO上，若，则　 　．
四、解答题
17．（2024高二上·重庆市期末）图1是由正三角形和正方形组成的一个平面图形，将其沿折起使得平面底面，连结、，如图2．
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值．
18．（2023高二上·闽清月考）如图，已知正方体的棱长为2，点M为正方形的内切圆上的动点．
（1）在线段上是否存在点N，使得恒成立，若存在，求出点N的位置，若不存在，说明理由；
（2）当点M落在线段靠近点上时，求二面角的余弦值．
19．（2023高二上·广西壮族自治区月考）如图，在三棱锥中，是正三角形，，，D是AB的中点．
（1）证明：；
（2）若二面角为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．
20．（2023高二上·南山期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，
（1）求；
（2）求．
21．（2023高二上·深圳期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．
（1）设，，，用，，表示；
（2）若求．
22．（2022高二上·通州期中）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点.
（1）求；
（2）求；
（3）求的长.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】A,B,C
10．【答案】B,C
11．【答案】C,D
12．【答案】A,D
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】2
17．【答案】（1）解：由题可知：在正方形中，有
又平而平面，平而平面
平面，所以平面
又平面，所以
（2）解：根据（1）可知：过点作轴垂直平面
建立如图所示空间直角坐标系
设，所以
所以
设平面的一个法向量为
所以，令，所以
所以
平面的一个法向量为
所以二面角的余弦值为
18．【答案】（1）如图，连接AC，BD，设，连接，
分别以OA，OB，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
可得，
设，，且有，
，，
，
可得
所以线段上存在点N使得恒成立，
且
（2）可得，连接，
，，
设平面的法向量为，则，故
取，，所以是平面AMB的一个法向量．
设平面的法向量为，则，故
取，则，，所以是平面的一个法向量．
所以有，
由于二面角为钝角，所以二面角的余弦值为
19．【答案】（1）证明：取AC的中点O，连接OP，OD，
因为是正三角形，所以，
因为D是AB的中点，所以，
因为，所以，
又，PO，面POD，所以面POD，
又因为面POD，所以．
（2）解：以OA，OD为x轴，y轴，过O作z轴底面ABC，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
易得，又，则，
由得直线BC的一个方向向量为，
设平面PAB的法向量为，，，
则，令，则平面PAB的一个法向量为，
记直线BC与平面PAB所成角为，那么．
20．【答案】（1）解：记，则：
，
，，
，
，即有；
（2）解：．
21．【答案】（1）解：连接，．．
因为为的中点，，所以，，
所以；
（2）解：因为，
所以
因为平面，平面，平面，平面，
所以，，．
又，
所以，
即．
22．【答案】（1）解：.
（2）解：因为为平行六面体，所以四边形为平行四边形，∥，，
在三角形中，，，，所以，所以，
又∥，所以.
（3）解：由题意知，，则
，
所以.
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