2023-2024学年人教A版高二上学期第一章空间向量与立体几何能力提升卷（真题演练）（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年人教A版高二上学期第一章空间向量与立体几何能力提升卷（真题演练）
一、选择题
1．（2023高二上·闽清月考）已知空间向量，，，下列命题中正确的（　　）
A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行
B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面
C．若存在不全为0的实数使得，则，，共面
D．对于空间的任意一个向量，总存在实数使得
2．（2024高二上·密山期末）如果存在三个不全为零的实数x、y、z，使得，则关于、、（　　）
A．两两相互垂直 B．只有两个向量互相垂直
C．共面 D．有两个向量互相平行
3．（2023高二上·定州月考）已知直线的方向向量为，为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．1
4．（2023高二上·罗湖月考）已知在长方体中，，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
5．（2023高二上·汕头月考）已知A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的一个单位法向量是（　　）
A．(1，1，1) B．（，，）
C．（，，） D．（，，）
6．（2023高二上·永川月考） 已知直线l经过点，平面的一个法向量为，则（　　）
A． B．
C． D．l与相交，但不垂直
7．（2023高二上·永川月考）菱形的边长为4，，E为AB的中点（如图1），将沿直线DE翻折至处（如图2），连接，，若四棱锥的体积为，点F为的中点，则F到直线BC的距离为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·闽清月考）如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．（2024高二上·密山期末）给出下列命题，其中正确命题有（　　）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底
C．，，，是空间四点若不能构成空间的一个基底那么，，，共面
D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
10．（2023高二上·逊克月考） 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，AB的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．点B到直线的距离为
B．直线CF到平面的距离为
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．直线与直线所成角的余弦值为
11．（2023高二上·彭山月考）已知正方体的棱长为2，，点在底面上运动．则下列说法正确的是（　　）
A．存在点，使得
B．若//平面时，长度的最小值是
C．若与平面所成角为时，点的轨迹长度为
D．当点为底面的中心时，三棱锥的外接球的表面积为
12．（2023高二上·东莞月考）如图（1）是一副直角三角板.现将两个三角板沿它们的公共边翻折成图（2）的四面体，设，与面所成角分别为，，在翻折的过程中，下列叙述正确的是（　　）
A．若，当时，点到面的距离是2
B．存在某个位置使得
C．若，当二面角时，则
D．当在面的射影在三角形的内部（不含边界），则
三、填空题
13．（2023高二上·宝山月考）四棱锥中，，则这个四棱锥的高是　 　.
14．（2023高二上·丰城月考）如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则　 　.
15．（2023高二上·重庆市月考）在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点分别为，，，则点D的坐标为　 　.
16．（2023高二上·定州月考）如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是　 　.
四、解答题
17．（2023高二上·闽清月考）如图，平行六面体的底面是菱形，且
（1）用空间的一个基底表示，并求的长；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
18．（2023高二上·顺义期中）对于空间向量，定义，其中表示x，y，z这三个数的最大值.
（1）已知，.
①直接写出和（用含的式子表示）；
②当，写出的最小值及此时的值；
（2）设，，求证：；
（3）在空间直角坐标系中，，，，点Q是内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）.
19．（2023高二上·福州期中）如图在四面体中，，，，为线段中点，
（1）用基底表示向量，并求线段的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
20．（2023高二上·上海市期中）如图，三棱柱中，M，N分别是上点，且．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若，求MN的长．
21．（2023高二上·灞桥月考）如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点．
（1）求的值；
（2）证明：C，E，F，G四点共面．
22．（2024高二上·重庆市期末）如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，M为的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点D到平面的距离．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】A,C,D
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】（1）由题，，，构成空间的一个基底．
因为，
所以
，
所以．
（2）又，，
所以
∴
∴异面直线与所成的角为，余弦值为0．
18．【答案】（1）解：①，；
②，，此时
（2）解：
因为，，
所以，
所以.
（3）解：
19．【答案】（1）解： 是的中点
，
所以.
（2）解：
，
.
故异面直线与所成角的余弦值.
20．【答案】（1）解：，且，
则；
（2）由（1）知：，则，
又因为，
所以
故MN的长度为：
21．【答案】（1）解：解：在直四棱柱中，，
易得，，，两两垂直.
故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，，，．
．
（2）证明：由（1）得：．
令，即，解得，
．
故C，E，F，G四点共面．
22．【答案】（1）解：以点D为原点，分别以直线为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得 ，
即，∴.
（2）解：设为平面的法向量，
则即
取得
，
.
（3）解：设点到平面的距离为，由(2)可知为平面的一个法向量，
即点到平面的距离为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)