2023-2024学年人教A版高二上学期第三章圆锥曲线的方程能力提升卷（真题演练）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年人教A版高二上学期第三章圆锥曲线的方程能力提升卷（真题演练）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 353.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-18 16:52:06 | ||
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文档简介
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2023-2024学年人教A版高二上学期第三章圆锥曲线的方程能力提升卷（真题演练）
一、选择题
1．（2024高二上·密山期末）已知椭圆C：，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
2．（2024高二上·密山期末）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·辽源月考）双曲线：的一条渐近线方程是，则E的离心率是（ ）
A．5 B． C．2 D．
4．（2023高二上·广州月考）是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
5．（2023高二上·广州月考）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·广州月考）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部．则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·河北月考）已知，双曲线的左、右焦点分别为，点P是双曲线右支上一点，则周长的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
8．（2023高二上·河北月考）以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2023高二上·广州月考）已知抛物线的准线为，焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，于，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则
D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条
10．（2023高二上·河北月考）已知平面直角坐标系中，，点P为平面内一动点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，点P的轨迹为一条直线
B．当时，点P的轨迹为一条射线
C．当时，点P的轨迹不存在
D．当时，点P的轨迹是双曲线
11．（2023高二上·河北月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则（ ）
A．双曲线C的离心率为2 B．焦点到渐近线的距离为2
C．四边形可能为正方形 D．四边形的面积为定值2
12．（2023高二上·逊克月考） 已知曲线：，：，则（ ）
A．的长轴长为4 B．的渐近线方程为
C．与的焦点坐标相同 D．与的离心率互为倒数
三、填空题
13．（2023高二上·酒泉期末）抛物线的准线方程是 .
14．（2023高二上·丰城月考）若双曲线（）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为 .
15．（2023高二上·广州月考）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 ．
16．（2023高二上·重庆市月考）已知A，B分别是椭圆M：的左、右顶点，P是M的上顶点，若，则的面积为 .
四、解答题
17．（2023高二上·广州月考）已知抛物线上的点到的距离等于到直线的距离．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线与交于两点，且以为直径的圆过点，求直线的方程．
18．（2023高二上·河北月考）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若动点M在y轴右侧，定点，求的最小值．
19．（2023高二上·逊克月考）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为2．
（1）求M的轨迹方程；
（2）记M的轨迹为曲线，过点能否作一条直线l，与曲线交于两点D、E，使得点P是线段DE的中点？
20．（2023高二上·西城月考）已知椭圆的焦点是，，且，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C与直线交于M，N两点，且，求实数的值.
21．（2023高二上·上海市月考）某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号秒（注：信号每秒传播米），在时刻时，测得机器鼠距离O点为4米．
（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时机器鼠所在位置的坐标；
（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”风险，如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
22．（2023高二上·上海市月考）已知椭圆：（）的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与x轴垂直的直线交于A、B两点，交于C、D两点，且．
（1）求的离心率；
（2）设E是与的公共点，若，求与的标准方程；
（3）直线l：与交于M、N，与交于P、Q，且在直线l上按M、P、N、Q顺序排列，若，求．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】A,B,C
10．【答案】A,B
11．【答案】B,C,D
12．【答案】B,D
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】9
16．【答案】
17．【答案】（1）解：由题意抛物线的焦点，准线方程是，
所以的标准方程为．
（2）解：显然的斜率不为0，设，
联立，得
，
又，所以，即，
即，
即，解得，
所以直线的方程为，即或．
18．【答案】（1）解：由题意得：，
化简得：
（2）解：过点作垂直于直线，垂足为，
设，则，即，
所以，
显然，当三点共线时，取得最小值，
为
19．【答案】（1）：设 ， 则
由 得
整理得
所以， 点 得轨迹方程为 .
（2）解：设 ， 可得
两式相减得 由题意， ， 所以 直线 A B 方程为
代入 得， . ，
不存在这样的直线 .
20．【答案】（1）解：由题意得：，，解得，
故，
故椭圆C的方程为；
（2）解：联立与得，，
，解得，
设，则，
故
，
又，
所以，解得，满足，
故实数的值为
21．【答案】（1）解：设机器鼠位置为点P，由题意可得，即，
可得P的轨迹为双曲线的左支，且，，即有，，，
则P的轨迹方程为（），
时刻时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为；
（2）解：设直线l的平行线的方程为，
联立双曲线方程（），可得，
即有，且，可得，
即：与双曲线的左支相切，切点即为双曲线左支上距离l最近的点，
此时l与的距离为，即机器鼠距离l最小的距离为，
则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．
22．【答案】（1）解：设椭圆的焦距为2c，则，
将代入椭圆的方程得可得，所以，
设抛物线的标准方程为（），则，可得，
所以，抛物线的方程为，
将代入抛物线的方程可得，解得，所以，，
因为，即，所以，，即，
因为，解得，故椭圆的离心率为．
（2）解：设点，则，则，
则，
由抛物线的定义可得，
所以，解得，则，，
所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为．
（3）解：若，则直线l与抛物线只有一个交点，不合乎题意．
所以，，由题意可知，P为MN的中点，N为PQ的中点，
设点、，则、，
设（），则，，抛物线的方程为，
联立可得，，可得，
由韦达定理可得，，
椭圆的方程为，即，
因为点M、N均在椭圆上，则，
可得，即．
若，则，可得，
所以，则，
所以，，则点，
将点N的坐标代入椭圆的方程可得，
化简可得，
显然，所以，不成立．
所以，，则必有或，
此时直线l过原点，则直线l的方程为，则M、N关于原点对称，
所以，点P为坐标原点，故，
联立解得，即点，故点．
将点N的坐标代入椭圆的方程可得，
可得，解得，
所以，，
所以，．
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2023-2024学年人教A版高二上学期第三章圆锥曲线的方程能力提升卷（真题演练）
一、选择题
1．（2024高二上·密山期末）已知椭圆C：，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
2．（2024高二上·密山期末）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·辽源月考）双曲线：的一条渐近线方程是，则E的离心率是（ ）
A．5 B． C．2 D．
4．（2023高二上·广州月考）是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
5．（2023高二上·广州月考）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·广州月考）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部．则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·河北月考）已知，双曲线的左、右焦点分别为，点P是双曲线右支上一点，则周长的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
8．（2023高二上·河北月考）以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2023高二上·广州月考）已知抛物线的准线为，焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，于，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则
D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条
10．（2023高二上·河北月考）已知平面直角坐标系中，，点P为平面内一动点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，点P的轨迹为一条直线
B．当时，点P的轨迹为一条射线
C．当时，点P的轨迹不存在
D．当时，点P的轨迹是双曲线
11．（2023高二上·河北月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则（ ）
A．双曲线C的离心率为2 B．焦点到渐近线的距离为2
C．四边形可能为正方形 D．四边形的面积为定值2
12．（2023高二上·逊克月考） 已知曲线：，：，则（ ）
A．的长轴长为4 B．的渐近线方程为
C．与的焦点坐标相同 D．与的离心率互为倒数
三、填空题
13．（2023高二上·酒泉期末）抛物线的准线方程是 .
14．（2023高二上·丰城月考）若双曲线（）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为 .
15．（2023高二上·广州月考）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 ．
16．（2023高二上·重庆市月考）已知A，B分别是椭圆M：的左、右顶点，P是M的上顶点，若，则的面积为 .
四、解答题
17．（2023高二上·广州月考）已知抛物线上的点到的距离等于到直线的距离．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线与交于两点，且以为直径的圆过点，求直线的方程．
18．（2023高二上·河北月考）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若动点M在y轴右侧，定点，求的最小值．
19．（2023高二上·逊克月考）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为2．
（1）求M的轨迹方程；
（2）记M的轨迹为曲线，过点能否作一条直线l，与曲线交于两点D、E，使得点P是线段DE的中点？
20．（2023高二上·西城月考）已知椭圆的焦点是，，且，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C与直线交于M，N两点，且，求实数的值.
21．（2023高二上·上海市月考）某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号秒（注：信号每秒传播米），在时刻时，测得机器鼠距离O点为4米．
（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时机器鼠所在位置的坐标；
（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”风险，如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
22．（2023高二上·上海市月考）已知椭圆：（）的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与x轴垂直的直线交于A、B两点，交于C、D两点，且．
（1）求的离心率；
（2）设E是与的公共点，若，求与的标准方程；
（3）直线l：与交于M、N，与交于P、Q，且在直线l上按M、P、N、Q顺序排列，若，求．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】A,B,C
10．【答案】A,B
11．【答案】B,C,D
12．【答案】B,D
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】9
16．【答案】
17．【答案】（1）解：由题意抛物线的焦点，准线方程是，
所以的标准方程为．
（2）解：显然的斜率不为0，设，
联立，得
，
又，所以，即，
即，
即，解得，
所以直线的方程为，即或．
18．【答案】（1）解：由题意得：，
化简得：
（2）解：过点作垂直于直线，垂足为，
设，则，即，
所以，
显然，当三点共线时，取得最小值，
为
19．【答案】（1）：设 ， 则
由 得
整理得
所以， 点 得轨迹方程为 .
（2）解：设 ， 可得
两式相减得 由题意， ， 所以 直线 A B 方程为
代入 得， . ，
不存在这样的直线 .
20．【答案】（1）解：由题意得：，，解得，
故，
故椭圆C的方程为；
（2）解：联立与得，，
，解得，
设，则，
故
，
又，
所以，解得，满足，
故实数的值为
21．【答案】（1）解：设机器鼠位置为点P，由题意可得，即，
可得P的轨迹为双曲线的左支，且，，即有，，，
则P的轨迹方程为（），
时刻时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为；
（2）解：设直线l的平行线的方程为，
联立双曲线方程（），可得，
即有，且，可得，
即：与双曲线的左支相切，切点即为双曲线左支上距离l最近的点，
此时l与的距离为，即机器鼠距离l最小的距离为，
则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．
22．【答案】（1）解：设椭圆的焦距为2c，则，
将代入椭圆的方程得可得，所以，
设抛物线的标准方程为（），则，可得，
所以，抛物线的方程为，
将代入抛物线的方程可得，解得，所以，，
因为，即，所以，，即，
因为，解得，故椭圆的离心率为．
（2）解：设点，则，则，
则，
由抛物线的定义可得，
所以，解得，则，，
所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为．
（3）解：若，则直线l与抛物线只有一个交点，不合乎题意．
所以，，由题意可知，P为MN的中点，N为PQ的中点，
设点、，则、，
设（），则，，抛物线的方程为，
联立可得，，可得，
由韦达定理可得，，
椭圆的方程为，即，
因为点M、N均在椭圆上，则，
可得，即．
若，则，可得，
所以，则，
所以，，则点，
将点N的坐标代入椭圆的方程可得，
化简可得，
显然，所以，不成立．
所以，，则必有或，
此时直线l过原点，则直线l的方程为，则M、N关于原点对称，
所以，点P为坐标原点，故，
联立解得，即点，故点．
将点N的坐标代入椭圆的方程可得，
可得，解得，
所以，，
所以，．
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