2023-2024学年人教A版高二下学期真题汇编：计数原理（含答案）

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2023-2024学年人教A版高二下学期真题汇编：计数原理
一、选择题
1．（2023高二下·鄠邑期末）7支不同的笔全部放入两个相同的笔筒中，每个笔筒至少放2支，则不同的方法有（　　）种.
A．56种 B．84种 C．112种 D．28种
2．（2023高二下·十堰期末）记为的任意一种排列，则使得为偶数的排列种数为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．18
3．（2023高二下·十堰期末）的展开式中的系数为（　　）
A． B． C．672 D．112
4．（2023高二下·十堰期末）已知，则（　　）
A．1 B．0 C． D．
5．（2023高二下·舟山期末）现随机将1，2，3，…，9这9个整数填入给定的三角形网格内，每个数字只能使用一次，则中间一行均为奇数的填法的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高二下·江门期末）将5名教育志愿者分配到甲、乙、丙和丁4个学校进行支教，每名志愿者只分配到1个学校，每个学校至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
7．（2023高二下·江门期末）若，则（　　）
A．30 B．20 C．35 D．21
8．（2023高二下·遂宁期末）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午（前4节），体育课排在下午（后2节），不同排法种数是（　　）
A．720 B．192 C．180 D．144
二、多项选择题
9．（2023高二下·百色期末）若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（　　）
A．共计有720种不同的排法
B．男生甲排在两端的排法总数共有120种
C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种
D．男女生相间排法总数为72种
10．（2023高二下·天河期末）已知，则（　　）
A．
B．
C．
D．展开式中所有项的二项式系数的和为
11．（2023高二下·嘉兴期末） 一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔向左或向右移动一个单位，向左移动的概率为，向右移动的概率为.则下列结论正确的有（　　）
A．第八次移动后位于原点O的概率为
B．第六次移动后位于4的概率为
C．第一次移动后位于-1且第五次移动后位于1的概率为
D．已知第二次移动后位于2，则第六次移动后位于4的概率为
12．（2023高二下·清远期末）已知，则（　　）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．（2023高三上·农安模拟）某校在高二开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为　 　.
14．（2023高三上·闵行开学考） 的二项展开式中的常数项为　 　.(用数字作答)
15．（2023高二下·虹口期末）现有4个医疗小组和4个需要援助的国家，若每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法共有　 　种.
16．（2023高二下·舟山期末）二项式的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含的项是　 　．
四、解答题
17．（2023高二下·虹口期末）若：
（1）当时，求的值；
（2）求的值.
18．（2023高二下·鄠邑期末）在下列两个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答.条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去所有项的系数之和等于64；问题：已知二项式，若____，求：
（1）求n；
（2）展开式中的常数项.
19．（2023高二下·湛江期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为.该局比赛甲乙依次轮换发球权(甲先发球)，每人发两球后轮到对方进行发球.
（1）求在前4球中，甲领先的概率；
（2）12球过后，双方战平(6：6)，已知继续对战奇数球后，甲率先取得11分获得胜利(获胜要求净胜2分及以上).设净胜分为(甲，乙的得分之差)，求的分布列.
20．（2023高二下·哈尔滨期末）某中学高二年级参加市数学联考，其中甲 乙两个班级优秀率分别为和，现在先从甲 乙两个班中选取一个班级，然后从选取的班级中再选出一名同学.选取甲 乙两个班级的规则如下：纸箱中有大小和质地完全相同的个白球 个黑球，从中摸出1个球，摸到白球就选甲班，摸到黑球就选乙班.
（1）分别求出选取甲班 乙班的概率；
（2）求选出的这名同学数学成绩优秀的概率.
21．（2023高二下·百色期末）已知，N，若的展开式中，____．
在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在上面（横线处）问题中，解决上面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
（1）求的值；
（2）求的值．
22．（2023高二下·中山期末）“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据．某公司为量化考核员工绩效等级设计了两套测试方案，现各抽取100名员工参加两套测试方案的预测试，统计成绩（满分100分），得到如下频率分布表．
成绩频率
方案 0.02 0.11 0.22 0.30 0.24 0.08 0.03
方案 0.16 0.18 0.34 0.10 0.10 0.08 0.04
参考公式与数据：（1）．（2）线性回归方程中，．（3）若随机变量，则，，．
（1）从预测试成绩在的员工中随机抽取3人，求恰有1人参加测试方案的概率；
（2）由于方案的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案进行业务技能测试．测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩与绩效等级优秀率，如下表所示：
32 41 54 68 74 80 92
0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94
根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得，．
（ⅰ）若某部门测试的平均成绩为60，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？
（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率为多少？
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】A,D
10．【答案】A,D
11．【答案】B,C,D
12．【答案】A,C,D
13．【答案】150
14．【答案】160
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】（1）解：因为，
令，可得.
（2）解：令可得，
所以.
18．【答案】（1）解：选①：由题意得，
即，
解得或（负值舍去）；
选②：令，可得展开式中所有项的系数之和为0.
由，即，
解得
（2）解：展开式的通项为（，1，2，3，4，5，6），
令，解得，
则常数项为.
19．【答案】（1）甲与乙的比分是4：0的概率为
比分是3：1的概率为
故前4球中，甲领先的概率
（2）依题意，接下来由甲先发球.继续对战奇数球后，甲获得11分胜利，即甲11：6或11：8获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜.
记比分为5：0为事件，则
记比分为5：2为事件，即前6场比赛中，乙获胜两场，期间甲发球4次，乙发球两次
故甲依题意获胜的概率为
的所有可能取值为3，5
由条件概率有，，故的分布列为
3 5
20．【答案】（1）解：记事件“选取甲班”，事件“选取乙班”
则，
故选取甲、乙两个班的概率分别为和.
（2）解：由（1）可知“这名同学来自甲班”，“这名同学来自乙班”，
“这名同学数学成绩优秀”，
则，且与互斥，根据题意得，，，
，，
由全概率公式得
因此，选出的这名同学数学成绩优秀的概率为.
21．【答案】（1）解：在二项式的展开式中，
若选填①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即；
若选填②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，即；
若选填③，所有二项式系数的和为，则，即．故；
（2）解：由（1）知，于是中，取，得；
取，得
∴所求
22．【答案】（1）解：由图表可得方案测试成绩在的员工的有人，
方案测试成绩在的员工的有人，
所以从预测试成绩在的员工中随机抽取3人，求恰有1人参加测试方案的概率.
（2）解：（ⅰ）由题意两边取对数得，即，
根据所给公式可得，
又因为，，
所以，即，
故，当时，，
即若某部门测试的平均成绩为60，则其绩效等级优秀率的预报值为.
（ⅱ）由（ⅰ）及参考数据可得，，
由即可得，解得，
又，，
由正态分布的性质得，
即绩效等级优秀率不低于0.78的概率为0.1587.
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