2023-2024学年人教A版高二下学期真题汇编：随机变量及其分布（含答案）

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2023-2024学年人教A版高二下学期真题汇编：随机变量及其分布
一、选择题
1．（2023高二下·郑州月考）某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023高二下·西安开学考）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023高二下·鄠邑期末）随机变量ζ的分布列如下图，若则（　　）
A．6 B．2 C．0 D．
4．（2023高二下·鄠邑期末）数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动6次，则质点位于2的位置的概率是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023·月考）元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球．若摸出的红球个数为，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·月考）已知随机变量，且，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2023高二下·顺德月考）现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（　　）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件
C． D．
8．（2024·重庆市月考）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（　　）
A．Y的数据较X更集中
B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大
C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大
D．
二、多项选择题
9．（2024·重庆市月考）在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（　　）
A．当，时，
B．时，有
C．当，时，当且仅当时概率最大
D．时，随着的增大而增大
10．（2023高二下·重庆市月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．一组数据5，8，8，9，12，13，15，16，20，22的第80百分位数为18
B．若随机变量，且，则．
C．袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回地依次抽取2个球，记事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，则
D．设随机事件A，B，已知，，，则．
11．（2023高二下·东莞期中）下列命题中正确是（　　）
A．命题的否定
B．线性回归直线必过样本点的中心
C．若随机变量服从正态分布，，则；
D．函数在处的切线方程为
12．（2024高二下·昌乐模拟）甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．甲类水果的平均质量
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数
三、填空题
13．（2023高二下·金华模拟）一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为　 　．
14．（2023高二下·牡丹江月考）已知随机变量，且，若，则的最小值为　 　．
15．（2023高二下·北辰月考）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球若从中任取3球，则恰有一个白球的概率是　 　，若从中不放回的取球2次，每次任取1球，记“第一次取到红球”为事件， “第二次取到红球”为事件，则　 　.
16．（2023·高二下·北辰月考）今年3月23-24日东华港澳台高三年级与外校进行了一次联合联考模拟考试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀.若此次联考共有900名学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是　 　.
四、解答题
17．（2024·九省高考模拟）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
（2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望．
18．（2024·安徽模拟）第届世界杯于年月日到月日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的人，接球者接到球后再等可能地随传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
试证明：为等比数列；
设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
19．（2024·潍坊期末）某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝 软翅风筝 串式风筝 板式风筝 立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝 板式风筝 立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为，摸取其余3种风筝的概率为.
（1）若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为分，求的分布列与期望；
（2）假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为中的任意一个数，记乙累计得分的概率为，当时，求.
20．（2023高二下·海南月考）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径（单位：厘米），如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
28.7 27.2 31.5 35.8 24.3 33.5 36.3 26.7 28.9 27.4 25.2 34.5
计算得：.
（1）求这12棵红松树的树干直径的样本均值与样本方差.
（2）假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.记事件：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间.
①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求；
②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.在这个条件下，求，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.
参考公式：若，则.
参考数据：.
21．（2024·扬州模拟）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：
（1）求出n维“立方体”的顶点数；
（2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于．
（已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为）
22．（2024高二下·昌乐模拟）某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障．各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为．
（1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；
（2）为提高生产效益，该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修．已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元．此外，统计表明，每月在不出现故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润．以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个 (实际获利=生产线创造利润－维修工人工资)
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】B,C,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】B,C,D
12．【答案】A,B,C
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】；
16．【答案】135
17．【答案】（1）解：记“取出的个小球上的数字两两不同”为事件，
先确定个不同数字的小球，有种方法，
然后每种小球各取个，有种取法，
所以.
（2）解：由题意可知，的可取值为，
当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，
所以；
当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，
所以；
当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，
所以，
所以的分布列为：
所以.
18．【答案】（1）解：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为，，，，易知，
所以，，
故的分布列为：
所以的期望．
（2）解：第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
由可知，所以，
所以，故．
19．【答案】（1）解：的可能取值为，
则 3分
所以的分布列为
2 3 4
故
（2）解：当时，得分累计分，即在得到分后再得1分，或在得到分后再得2分，
所以，
则
因为，所以，
所以为等比数列，且首项为，公比为，
则
，
则，故当时，
20．【答案】（1）解：样本均值，
样本方差
.
（2）解：①由题意可得，树干直径（单位：近似服从正态分布.
在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间的概率是0.9545，
所以.
②若树干直径近似服从正态分布，
则
此时发生的概率远小于（1）中根据测量结果得出的概率估计值.是一个小概率事件，但是第一次随机选取的12棵生长了4年的红松树，事件发生了，所以认为护林员给出的结论是错误的.
21．【答案】（1）解：对于n维坐标有两种选择（）．
故共有种选择，即个顶点
（2）解：①对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同，
即，剩下个坐标值满足．
此时所对应情况数为种．
即
故分布列为：
0 1 2 …
…
数学期望
倒序相加得
即．
②当n足够大时，．
设正态分布，正态分布曲线为，
由定义知该正态分布期望为，方差为．
设题中分布列所形成的曲线为．
则当与均在处取最大值，若当时，
且，则可认为方差．
I．：当时，有
即．
II．
当n足够大时，有
当时，
当时，
故．
综上所述，可以认为．
22．【答案】（1）解：设3条生产线中出现故障的条数为，
则.
因此.
（2）解：①当时，设该企业每月的实际获利为万元.
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
又，，
，
此时，实际获利的均值
②当时，设该企业每月的实际获利为万元.
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
因为.
于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在与之中选其一，
应选用.
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