2023-2024学年数学七年级下册人教版第六章实数试卷（含解析）

2023-2024学年数学七年级下册人教版第六章实数
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．无限小数是无理数 B．分数不是有理数
C．有理数都是有限小数 D．面积为3的正方形的边长是无理数
2．下列各数：3.14，，，，，0.737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1），其中无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．实数的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
4．求的平方根，用式子来表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知a是的负的平方根，，，则中最大的实数与最小的实数的差是（ ）
A．6 B． C． D．
6．“a的算数平方根”表示为（ ）
A． B． C． D．
7．一个正方体的棱长为，体积为，则下列说法正确的是（ ）
A．的立方根是 B．是的立方根 C． D．
8．已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……依此类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．的平方根是 ， ．
10．若正数的两个平方根分别是和，则的立方根是 ．
11．正数的平方根是与，则 ．
12．写出比大且比小的整数是 ．
13．实数的算术平方根的整数部分是 ．
14．用“&”定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如，那么 ．
15．若是正整数，且，则的最小值为 ．
16．若点A在数轴上对应的数是2，那么点B在数轴上对应的数是，则A、B两点的距离是 ．
三、解答题
17．求中的x的值．
18．已知的算术平方根是3，的立方根是2．
(1)求m，n的值；
(2)求的平方根．
19．已知的算术平方根是3，的立方根是，求的平方根．
20．如图，每个小正方形的边长为1，阴影部分是一个正方形．
(1)图中阴影正方形的面积是________，边长是________．
(2)已知x为阴影正方形的边长的小数部分，y为的整数部分．求：
①x，y的值；
②的相反数．
21．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片.沿着大正方形纸片边的方向裁出一个长方形纸片，能否使裁得的长方形纸片长、宽之比为，且面积为？请说明理由.
22．小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，．小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说；“你的理解完全正确．”
(1)计算：①，②，③；
(2)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整：
绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 ，异号得 ，并 ；
绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值．
(3)小东已经掌握了“乘减法”的运算法则，接下来，他想要继续研究“乘减法”的运算律，请你一起思考：交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立吗？若成立请说明你的理由，若不成立请举反例．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了实数中无理数的定义，以及算术平方根的应用．根据无理数的定义，以及无限小数的定义分析各选项即可作出判断．
【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，原说法错误，故本选项不符合题意；
B、分数是有理数，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、有理数都是有限小数或无限循环小数，故本选项不符合题意；
D、面积为3的正方形的边长是，是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题考查无理数的识别，实数的分类及相关概念是基础且重要知识点．无理数即无限不循环小数，整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可．
【详解】解：，3.14，，都是有理数，
所以，0.737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1），它们均为无限不循环小数，是无理数；
综上，无理数的个数为2个，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义，可得出答案，解题的关键是正确理解一个数的平方根和算术平方根，一个正数的算术平根即为这个数正的平方根．
【详解】解：实数的算术平方根是，
故选：．
4．C
【分析】本题考查了平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；熟练掌握平方根定义是解题关键．根据平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：根据平方根的定义可知，
的平方根为．
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查平方根、立方根、绝对值以及有理数的加减运算，根据题意分别求得，再找到最大值和最小值作差即可．
【详解】解：∵a是的负的平方根，，，
∴，，，
∴中最大的实数为2与最小的实数的差；
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：“a的算数平方根”表示为．
故选C．
7．B
【分析】本题考查正方体体积公式，立方根和算术平方根计算．根据题意先列出棱长和体积表达式，再逐一对选项进行分析即可．
【详解】解：∵一个正方体的棱长为，体积为，
∴，即：，
∴是的立方根，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了绝对值以及实数计算中的规律问题，用所给的计算方式，依次计算出等，观察规律即可解决问题．
【详解】
由此可见，和（为偶数）相等，且都等于
所以．
故选：D．
9． 6
【分析】本题考查了平方根，立方根，根据定义计算求解即可．
【详解】∵，
∴16的平方根是，
，
故答案为：，6．
10．4
【分析】本题考查了立方根以及平方根的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据一个正数的平方根有个，且互为相反数求出a的值，即可确定出正数的立方根．
【详解】解：∵正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得，
∴，
64的立方根是4．
故答案为：4．
11．
【分析】本题考查了正数有两个平方根，且这两根互为相反数的知识．
根据正数的两个平方根互为相反数，可得方程，即可求得的值，进而即可求解．
【详解】解：∵正数x的平方根是与，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．3
【分析】本题考查了无理数的大小估算，找到被开方数在哪两个完全平方数之间是解题关键．
【详解】解：∵，
∴
∴比大且比小的整数是，
故答案为：
13．
【分析】本题考查了无理数的估算；设，则原式为，对此式进行估算即可．利用换元思想使解题得到简化．
【详解】解：设，则原式为，
∵，
∴，
∴的整数部分为a，即；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查定义新运算，实数的计算．根据题意将整理后计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了立方根的概念，根据题意可得，推出一定是正整数；据此即可求出当时，满足题意，且此时最小，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∵是正整数，
∴一定是正整数，
∵
∴当时，满足题意，且此时最小，
∴
故答案为：
16．
【分析】本题考查实数与数轴，根据数轴上两点间的距离公式，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：A、B两点的距离是；
故答案为：．
17．或
【分析】本题考查了平方根的定义，利用平方根的定义可得x﹣1=4或，再解两个一次方程即可．
【详解】解：，
∴或，
解得：或．
18．(1)，；
(2)的平方根是．
【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的知识．
（1）由于的算术平方根是3，则；的立方根是2，则，联立解方程即可；
（2）根据（1）中、的值，代入可得16，然后求平方根即可．
【详解】（1）解：的算术平方根是3，
，
解得：；
又的立方根是2，
，
即，
解得：，
，；
（2）解：由（1），，
，
的平方根是．
19．
【分析】本题考查了平方根，立方根，根据定义计算即可．
【详解】解：由题意得：，得：；
由，得：；
，
的平方根是．
20．(1)13，
(2)①，y=3；②的相反数为
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小、算术平方根、相反数等知识点，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
（1）根据题意可得阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个小三角形的面积，再根据算术平方根的定义即可解答；
（2）①根据估算无理数大小估计可得：、，再结合题意即可得出和的值；②代入计算并根据相反数的定义即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可得：，
则阴影部分正方形的边长为：．
故答案为：13，．
（2）解：①∵、，
，，
，；
②∵，
∴的相反数为．
21．不能，理由见解析
【详解】不能.理由如下：
因为大正方形纸片的面积为，
所以大正方形的边长为6cm.
设截出的长方形的长为，宽为，
则.所以（取正值）.
因为，所以.
由上可知.
所以不能截得长、宽之比为，且面积为的长方形纸片.
22．(1)①3；②；③1；
(2)正，负，把绝对值相减；
(3)成立，理由见解析
【详解】（1）解：
（2）解：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并把绝对值相减；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值．
故答案为：正，负，把绝对值相减；
（3）解：成立，理由如下：
当且a，b同号时，，
∴
当且a，b异号时，，，
∴
当时，，
∴
当，
∴
综上所述，交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，
∴交换律在有理数的“乘减法”中成立．