2023-2024学年九年级下册苏科版第7章锐角三角函数试卷（含解析）

2023-2024学年数学九年级下册苏科版第7章锐角三角函数
一、单选题
1．的值是（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
3．在中，，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在一块直角三角板中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，，那么的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，是电杆一根拉线，米，，则拉线长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
9． （填写＜或＞或＝）
10．为一锐角，且，那么 ．
11．若，则 ．
12．在中，，，，则 ．
13．在中，，，，则的值为 ．
14．如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，（即BC：AC=1：2），若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为 米．
15．△ABC中，，，则△ABC的形状是 ．
三、解答题
16．计算：．
17．在中，，求的长．
18．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值．
19．我国第一艘国产航空母舰山东舰2019年12月17日在海南三亚某军港交付海军，中国海军正式迈入双航母时代．如图，在一次海上巡航任务中，山东舰由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，再航行一段距离到达处，测得小岛位于它的北偏东方向，且与山东舰相距海里。求山东舰从到航行了多少海里？（精确到）(参考数据：，，，．)
20．如图，我市常璩广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，在C点上方E处加固另一条钢缆ED，钢缆ED与地面夹角为60°，现在要在EC处放置一个广告牌，请问广告牌EC的高度为多少？（sin40°≈0.6，cos40°≈0.8，tan40°≈0.8）
21．如图，育才学校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，教学楼在建筑物的墙上留下高的影子，而当光线与地面夹角是时，教学楼顶点在地面上的影子点与墙角点有的距离（，，在同一条直线上，结果精确到，参考数据：，，）
（1）求教学楼的高度；
（2）请你求出点，之间的距离．
参考答案：
1．B
【分析】根据我们熟练记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
2．D
【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案．
【详解】解：为锐角，且，
，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
3．C
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：∵，是的内角，又，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．
4．A
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
5．C
【分析】先根据勾股定理求出，根据余弦的定义解答即可．
【详解】解：在中，，，，
有勾股定理得到，
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．B
【分析】根据余弦的定义即可求解．
【详解】由题意可知．
∵，米，
∴米．
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．掌握余弦的定义并利用数形结合的思想是解题关键．
7．B
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：∵O为AB的中点，AB=1.6，
∴OB=AB=0.8，
在Rt△OCB中，sin∠OBC=，
∴OC=OB sin∠OBC=0.8sin20°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．B
【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可．
【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E，
∵BE平行于地面，
∴∠ABE＝∠α，
∵BE＝5米，
∴AB＝＝．
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题．解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形．
9．＞
【分析】根据余弦函数的增减性比较大小即可．
【详解】解：因为，在直角三角形中，锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比，若斜边长不变，随着锐角的增大，它的邻边会变小，
所以，余弦函数值的随角度的增大而减小，
，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了余弦函数的增减性，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的增减性．
10．
【分析】直接根据tan45°＝1进行解答即可．
【详解】解：∵为锐角，且，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
11．
【分析】根据特殊角三角函数值解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
故答案为：80 ．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，解题关键是熟记特殊角三角函数值，准确进行计算．
12．
【分析】根据正切的定义，已知的邻边，根据勾股定理可求得的对边，从而可求得它的正切值．
【详解】在中，由勾股定理得：
所以
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理、三角函数—求正切值．在直角三角形中，已知两边，由勾股定理可求出第三边，则可求出任一锐角的三角函数．
13．
【分析】根据正切值的定义求出结果．
【详解】解：∵，，，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握正切值的求解．
14．
【分析】根据坡面AB的坡比以及AC的值，求出BC，再利用勾股定理即可求出斜面AB的长．
【详解】解：∵大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，AC=12米，
∴，
∴BC=6，
∴（米）
故答案为：．
【点睛】本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，能根据坡度求出BC是解题关键．
15．直角三角形
【分析】根据特殊的三角函数值，求得∠A，∠B的度数，再进行判断．
【详解】∵，，
∴ ∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，
故△ABC是直角三角形，
故填：直角三角形．
【点睛】本题考查特殊的三角函数值，熟练记忆是关键．
16．-1
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式的性质、绝对值的性质，实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．
【分析】由，求解 再利用勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解： ，
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
18．（1）12；（2）
【分析】（1）根据三角函数得出BD=12即可；
（2）利用勾股定理得出AD=5，进而得出DC=8，利用三角函数解答即可．
【详解】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
∴
即
解得：BD＝12；
（2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，
∴AD＝5，
∴DC＝8，
∴tan∠C＝
【点睛】此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出BD的值．
19．山东舰从A到B航行约20.8海里．
【分析】过C作CD⊥AB交其延长线于点D，根据已知条件可得∠BCD=30°，∠ACD=54°，再根据直角三角形的性质求出BD=15即CD= ，再根据Rt△ACD的三角函数求出AD的值，由AB=ADBD即可求出AB的值.
【详解】解：过C作CD⊥AB交其延长线于点D．由题可知∠BCD=30°，∠ACD=54°
在Rt△BCD中，∵∠BCD=30°，∠BDC=90°，BC=30，
∴BD=15，CD=
在Rt△ACD中，∵∠ACD=54°，∠BDC=90°，CD=，
tan∠ACD=，
∴AD=1.38×15×1.7335.81（海里）
∴AB=ADBD=35.8115=20.8120.8（海里）
答：山东舰从A到B航行约20.8海里.
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题关键是求出AD的值.
20．4.66m
【分析】根据锐角三角函数的定义可求出BC与BE的长度．
【详解】解：在Rt△CDB中，tan∠BDC＝，
∴BC＝BDtan40°≈4，
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝，
∴BE＝BDtan∠BDE＝5，
∴CE＝BE﹣BC≈4.66（m），
答：广告牌EC的高度约为4.66m．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
21．（1）约为；（2）约为
【分析】（1）过点E作EM⊥AB于M，则四边形MBCE是矩形，设教学楼AB的高为x，由等腰直角三角形的性质可知BF=AB=x，ME=BC=( x+20 )m，AM=( x 3 )m，在Rt△AME中，利用锐角三角函数的定义得出x的值，进而可得出结论；
（2）在Rt△AME中，根据锐角三角函数的定义即可求出A、E之间的距离．
【详解】解：（1）如图所示，过点作于点，
四边形为矩形，
，，
设，
在中，，
，
，
在中，
，，
，
，
解得，
答：办公楼的高度约为．
（2）在中，，
，
答：，之间的距离约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．