2023-2024学年数学九年级下册苏科版 第5章 二次函数试卷（含解析）

2023-2024学年数学九年级下册苏科版第5章二次函数
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数中，y与x的部分对应值如下：则一元二次方程的一个解x满足条件（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y 0.25 0.76
A． B．
C． D．
3．把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．二次函数图象的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
5．下列二次函数解析式中，其图象与y轴的交点在x轴下方的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 ， 是函数上的点，则
A． B． C． D．， 的大小关系不确定
8．在函数，y随x增大而减小，则x的取值范围为( )
A． B． C． D．
二、填空题
9．函数中，当时，y随x的增大而 ．（填增大或减小）．
10．已知二次函数，它与轴的交点坐标是 ．
11．如果二次函数的图象开口向下，则a的取值范围是 ．
12．已知二次函数的图象过，对称轴直线，那么这个二次函数的图象一定经过除外的另一点，这点的坐标是 ．
13．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．

14．一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为 ．
15．用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：
…… 0 1 2 ……
…… 6.5 ……
当时，二次函数的函数值
16．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB//x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm则右轮廓线DFE所在抛物线的函数表达式为 （不用写x的取值范围）．
三、解答题
17．已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式．
18．已知函数．
（1）当为何值时，这个函数是关于的一次函数；
（2）当为何值时，这个函数是关于的二次函数．
19．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集；
（3）若方程无实数根，写出的取值范围．
20．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
21．如图，已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点为C．
(1)求该图象的解析式；
(2)求AC长．
22．已知，如图，直线AB经过点，点，与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为6．
（1）求a的值；
（2）若将抛物线沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查图象法求一元二次方程的近似根．找到表格中相邻的两个自变量的值，对应的两个函数值一个大于0，一个小于0，即可．
【详解】解：由表格可知：时，，时，，
∴当，存在一个的值，使，
∴一元二次方程的一个解x满足条件为；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查抛物线图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．熟记相关结论即可．
【详解】解：平移后抛物线的解析式为：，
故选：D．
4．C
【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．
【详解】解：∵是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，
对称轴为直线．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记顶点式顶点坐标是，对称轴是直线是解题的关键．
5．B
【分析】令，即可求出各二次函数图象与y轴的交点，即可求解．
【详解】解：A：令，，交点在x轴上方，不符合题意；
B：令，，交点在x轴下方，符合题意；
C：令，，交点在x轴上方，不符合题意；
D：令，，交点在坐标原点，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数图象与y轴的交点坐标．注意计算的准确性．
6．C
【分析】由二次函数的开口向上，对称轴为直线，得到坐标为，再结合选项中的图象逐一分析即可．
【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为直线，得到坐标为，
∴C符合题意；A，B，D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握的图象与性质是解本题的关键．
7．B
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出a，b的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：∵，是函数上的点，
∴，，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征求出a，b的值是解题的关键．
8．D
【分析】根据抛物线的开口方向和顶点式判断即可．
【详解】解：在中，
∵，
∴函数图像开口向上，
当时，随的增大而减小．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数（，，为常数，），当时，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大；当时，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小．
9．减小
【分析】根据二次函数图象的性质进行解答即可；
【详解】解：∵函数数中，
∴该函数图像开口向上，
∴在该函数对称轴左侧y随x的增大而减小，
∴当时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握相关知识是解题的关键．
10．
【分析】根据函数图像与轴相交，则，由此即可求解．
【详解】解：二次函数的图像与轴，则，
∴，
∴交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握二次函数图像与坐标轴的交点的计算方法是解题的关键．
11．/
【分析】根据二次函数图象开口方向即可判断；
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．
12．
【分析】先确定点关于直线的对称点的坐标为，然后根据抛物线的对称性求解．
【详解】解：点关于直线的对称点的坐标为， 所以这个二次函数的图象一定点．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．
13．，
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键．由关于x的方程可化为，根据二次函数与一次函数的交点坐标可直接求解方程的解．
【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，，
∴联立二次函数及一次函数解析式可得，即，
∴关于x的方程的解为，；
故答案为，．
14．
【分析】根据题意列出函数解析式即可．
【详解】解：∵一台机器原价为万元，每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，
∴与之间的函数关系式为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价．
15．-4
【分析】由表格得出抛物线的对称轴，根据二次函数的对称性解答可得．
【详解】解：由表格可知当x=0和x=2时，y=-2.5，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴x=3和x=-1时的函数值相等，为-4，
故答案为：-4．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据表格得出抛物线的对称轴是解题的关键．
16．
【分析】根据题意可以求得点C、点B的坐标，然后根据眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，从而可以求得点D和点F的坐标，然后设出右轮廓线DFE所在抛物线的函数顶点式，从而可以解答本题．
【详解】解：∵眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，AB∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，
∴点C的坐标为（﹣3，0），点B（﹣1，1），
∴点D（1，1），点F（3，0），
设右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为：y＝a（x﹣3）2，
则1＝a（1﹣3）2，
解得，a＝，
∴右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为：
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出抛物线的顶点坐标和经过的点D的坐标，利用二次函数的顶点式解答．
17．
【分析】设出顶点式，代入求解即可．
【详解】解：由题意设函数的解析式是
把代入函数解析式得，
解得：，
则抛物线的解析式是.
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法,关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．
18．（1）；（2）且．
【分析】（1）根据一次函数的定义列出不等式组，然后求解即可；
（2）根据一次函数的定义列出不等式，然后求解即可．
【详解】解：（1）∵函数是一次函数，
∴，解得：．
即当时，这个函数是关于的一次函数．
（2）函数是二次函数，
∴，解得：且．
即当且时，这个函数是关于的二次函数．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解答本题的关键．
19．（1），；（2）或；（3）
【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可；
（3）根据图象可以看出k取值范围．
【详解】解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标，
∴，．
（2）观察图象可知：不等式的解集为或．
（3）由图象可知，时，方程无实数根．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．
20．售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润
【分析】设销售单价为x元，月销售利润为y元，根据月销售利润＝单件利润×月销量，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：设销售单价为x元，销售利润为y元，依题意得，单件利润为元，月销量为件，
月销售利润，
整理得，
配方得，
所以时，y取得最大值4500．
故售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润为4500元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是能够根据题意构建二次函数解决最值问题．
21．(1)
(2)3
【分析】（1）把点代入中，利用待定系数法把问题转化为解方程组即可求解．
（2）令求出A，C两点坐标即可解决问题．
【详解】（1）把点代入中，得
解之得
∴二次函数的解析式为：
（2）对于二次函数
令得
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握求函数与坐标轴的交点坐标的方法，属于中考常考题型．
22．（1）；（2）6．
【分析】（1）首先求得直线的解析式，然后根据面积求得点的纵坐标，然后代入求得其横坐标，代入二次函数即可求解；
（2）根据题意得平移后的抛物线为，把代入即可得到结论．
【详解】解：设点，直线的解析式为，
将、分别代入，
得，，
故，
的面积
，
再把代入，得，
所以，
把代入到中得：；
（2）设向下平移个单位才能使得平移后的抛物线经过点，
则平移后的抛物线为，
把代入得，
向下平移6个单位才能使得平移后的抛物线经过点．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数与图象相结合的应用，难度中等．解题关键是利用三角形面积求出点P的坐标．