2023-2024学年数学九年级下册苏科版 第6章 图形的相似试卷（含解析）

2023-2024学年数学九年级下册苏科版第6章图形的相似
一、单选题
1．如图，小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，则放大后的矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，与位似的位置有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个及个以上
3．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大为原图形的2倍，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，DE，AC相交于点F，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（ ）．
A．50 B．25 C．15 D．
7．如图，在中，，两点分别在，边上，且，则与面积的比值是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，点在轴上，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在阳光下，身高为的欣欣的影长为，贝贝此时在同一地点的影长为，那么贝贝的身高为 ．
10．将一个三角形的高分为四等份，过高线上的每个分点作高所在的底边的平行线，将三角形分成四个部分，则这四个部分的面积（由小到大）的比是 ．
11．已知是矩形的边上一点，，连接，将沿翻折．若点的对应点正好落在矩形的对角线上，则的值为 ．
12．若为非零数，且，则 ．
13．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是 .（结果保留根号）

14．如图，为的两条高，若，，则的长为 ．
15．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ．
16．如图，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，过点作分别交于点．请完成下列问题：
（1） ；
（2）若，则 ．
三、解答题
17．在中，，是斜边上的高．
(1)证明：；
(2)若，，求的长．
18．已知是等腰三角形，过底边的中点作，垂足为，并延长到，使得，连接．
求证：．
19．以的边为直径的交于点，交于点，过点的的切线交的延长线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．如图，在等腰中，，为边上一点，为延长线上一点，且，连接，，，延长交于点，为的中点，为射线上一点，连接，交延长线于点，且．
(1)求证：；
(2)若为的中点，求的值；
(3)在（2）的条件下，当时，求证：．
21．已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接．
(1)问题发现：如图1所示，若和均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是______；
(2)类比探究：如图2所示，若，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：如图3所示，若，，，，当点三点共线时，请直接写出的长．
22．如图1，在中，，，.点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动．
(1)点、出发几秒后，的面积为面积的；
(2)经过几秒后，以，，为顶点的三角形与相似
(3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，
参考答案：
1．A
【分析】本题考查相似多边形，根据原矩形的长放大后矩形的长即可得到相似比，熟练掌握相似图形面积比是相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵放大前后的两个矩形相似，
∴相似比为，
∵放大前的矩形图片的面积为，
∴放大后的矩形图片的面积为，
故选：．
2．C
【分析】本题考查了位似图形的定义，根据位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，即可判断，解题的关键在于位似图形对应顶点的连线交于一点，因此需熟练掌握位似图形的定义才能更好的解决本题．
【详解】解：旋转的过程中，只有当点落在线段和线段的延长线上时，与位似，
∴有两个位置，
故选：．
3．C
【分析】此题主要考查了以原点为中心的位似图形．根据以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以，即可得出点的坐标．
【详解】解：根据以原点为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以，
故点的坐标是，则点的坐标是，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案．
【详解】解：∵
∴
∵，，
∴
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中线的性质，由平行四边形的性质得出，得到，得出，再根据三角形中线平分三角形面积即可得出．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是平行四边形，E为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
设点到的距离为，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形以及矩形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义于相似三角形的性质；
根据反比例函数系数k的几何意义可得：，再根据相似三角形的性质得，进而可求出，由矩形的性质即可解答．
【详解】解：过点D作，垂直为E，如图所示：
则，
，
，
，
，
，
矩形的面积为，
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据，即可证得，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查的是位似变换，以点为坐标原点，原来的轴为轴建立新的平面直角坐标系，根据位似变换的性质求出点在新坐标系中的坐标，进而求出点的坐标，解题的关键是正确理解在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
【详解】以点为坐标原点，原来的轴为轴建立新的平面直角坐标系，则在新坐标系中，点的坐标为，点的坐标为 ，
∵与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，
∴点在新坐标系中的坐标为 ，即 ，
则点在原坐标系中的坐标为，
故选：．
9．165
【分析】本题考查了平行投影． 设贝贝的身高为，根据“在同一时刻物高与影长的比相等”，即可求解．
【详解】解：设贝贝的身高为，
由题意知：，
解得，
故答案为：165．
10．
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】
解：，
，
同理可得： ，，
∴四个部分面积之比是，
故答案为：．
11．或
【分析】设，分两种情况：①点在上，求出，证明，根据相似三角形的性质可得答案；②点在上，证明，根据相似三角形的性质求出即可得出答案．
【详解】解：设，分两种情况：
①点在上，如图1，由翻折可知，，，
，
，
，
，，
，
；
②点在上，如图2，由翻折可知，
垂直平分，
，
，
，
，
，即，
，
，
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，正确分类讨论是解题的关键．
12．8
【分析】本题考查了等比性质的应用，设，转化为方程组计算即可．
【详解】解：设，
那么，
得，
则.
解得，
故，
那么，
故答案为：8．
13．
【分析】本题主要考查黄金分割，根据黄金分割比例直接求解即可得到答案，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的比例关系较长线段的平方等于较短边乘以整条线段．
【详解】∵为的黄金分割点()，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了同弧对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质；由，
得点在以为直径的圆上，由同弧对的圆周角相等，得，从而证明，即可求解．
【详解】解：∵，
∴点在以为直径的圆上，
，
，
．
又，
，
，
即，解得．
15．
【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【详解】解：如图：
，
，即相似比为,
，
,
故答案为：．
16． 45
【分析】（1）证明，得出，求出即可；
（2）过点作，垂足为点，证明，得出，证明，得出，设，得出，即，求出，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：（1）由题意得，，，
又，
，
，
．
故答案为：45．
（2）过点作，垂足为点．如图所示：
由折叠的性质知，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和相似三角形的判定方法．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵是斜边上的高，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
（2）由（1）知，
∴，
∴，即，
∴．
18．见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判定与性质，根据是等腰三角形，点是底边的中点得，，利用证明，得，，根据得，则，即可得，根据，得，根据可得，即可得；掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：∵是等腰三角形，点是底边的中点，
∴，，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∵
∴，
∴．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
（1）连接，根据切线的性质，圆周角定理得出结论即可；
（2）证明，得出比例式，即可求出的半径．
【详解】（1）证明：连接．设与交于点．
是的切线，
．
，
，
解法1：为的直径，
，
，
．
解法2：
，
，
．
，
．
（2）解：设的半径为．
在中，
，
，
解得．
，
，即
．
．
20．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）本题考查三角形全等的判定，根据等腰三角形的性质的到边相等角相等，结合即可得到证明；
（2）本题考查三角形相似的性质与判定，证明，结合三角形全等的性质得到即可得到答案；
（3）本题考查三角形相似的性质与判定，延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵在等腰中，，
，，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
，
，
，
，
为的中点，
垂直平分，
，
在中，，
，
，
，
；
（3）证明：如图，延长至点，使得，连接，
，
，
，
由（1）可知，
∴，
∴，
，
由（2）可知
，，
，
，
，
，
即．
21．(1)
(2)，见解析
(3)或
【分析】（1）由等边三角形的性质可得出，，，进而可求出，即可证，从而得出结论；
（2）由题意易证，得出，，进而可证，得出，即；
（3）分类讨论：当点落在线段上时和当点落在线段上时，分别画出图形，根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：；理由如下：
，，
∴，
，
∵，
∴，
，
，
．
（3）解：的长为或．
当点落在线段上时，如图所示：
，，，
，，
，，
，
，
；
如图，当点落在线段上时，同理可得，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线构造全等或相似三角形是解题关键．
22．(1)
(2)经过秒或秒，以，，为顶点的三角形与相似
(3)运动时间为0.6秒时，．
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式、平行线的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论思想是解题的关键．
（1）设经过秒后的面积为面积的，其中，则，，根据三角形面积公式得出一元二次方程，解方程即可得到答案．
（2）设经过秒后，则，，分两种情况：①当时，②当时，分别利用相似三角形的性质求解即可．
（3）过点A作，连接，求得是等腰三角形，得到，设，则，，根据勾股定理得，即可得到，再根据垂直定理得出，再求出即可解答．
【详解】（1）设经过秒后的面积为面积的，其中，
由题意得：，，
，
解得：．
（2）设经过秒后，以，，为顶点的三角形与相似，其中，
①当时，
则有，
．
解得．

②当时，
则有，
．
解得．
因此，经过秒或秒，以，，为顶点的三角形与相似．
（3）如图②，过点A作，连接，

图②
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，，
在中，，，
，
，
设，则，，
在中，，即，
解得，即，
，，
，
，即．
解得．
因此，运动时间为0.6秒时，．