2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十八章锐角三角函数试卷（含解析）

2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十八章锐角三角函数
一、单选题
1． 的值是（　　）
A． B． C．1 D．
2．若，则锐角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（　　）
A． B． C． D．
4．在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．李红同学遇到了这样一道题：，你猜想锐角α的度数应是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，若，，则是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，米，则树高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D． 米
8．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．，则 ．
10．一个斜坡的坡角为度，它的坡比 ．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA＝ ．
12．公园有一个亭子的底面是边长为2m的正六边形，这个正六边形底面的面积是 m2．
13．在中，，，，则AC的长是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝，AC＝12，则BC= ．
15．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为 ．
16．如果是锐角，且，那么 度
三、解答题
17．计算：
18．在Rt△ABC中，C = 90，， AC =24，求BC的长．
19．如图所示，在RtABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝20，解这个直角三角形．
20．如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点，在河南岸选了相距100m的，两点．现测得，，求这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．
21．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
22．小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆影子恰好落在水平地面和斜坡坡面上，测得旗杆在水平地面上的影长，在斜坡坡面上的影长，太阳光线与水平地面成角，且太阳光线与斜坡坡面互相垂直，请你帮小明求出旗杆的高度（结果保留根号）．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了正切．熟练掌握特殊角的正切是解题的关键．
根据，作答即可．
【详解】解：，
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．并且根据特殊的三角函数值求解．
【详解】为锐角，，
．
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了解直角三角形．由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：由图可得：，
∴．
故选：D．
4．B
【分析】根据余弦的定义计算即可．
【详解】解：如图，

∵中，，，，
∴
在中，，
故选B．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做角A的余弦是解题的关键．
5．D
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：
∴
∴
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
6．B
【分析】根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴是等边三角形
故选：B．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，等边三角形的判定，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键．
7．C
【分析】利用三角函数值中正切，可得到与的关系，计算即可．
【详解】在中， ，
，
故选C．
【点睛】本题考查三角函数值的应用，注意区分三边对应关系．
8．D
【分析】根据题意以及矩形的性质，勾股定理求得，进而根据得出即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∵对角线的垂直平分线分别交于点，
∴，，
∵，则，
∴，
∴，
解得：，
故选：D
【点睛】本题考查了矩形的性质，正切的定义，勾股定理，垂直平分线的性质，得出是解题的关键．
9．30
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：，
，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了由三角函数值求锐角，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
10．
【分析】坡比，即坡面的垂直高度和水平宽度的比，即坡角的正切值，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，，，，

∴设，则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查坡比的概念及计算方法，掌握其概念和计算方法是解题的关键．
11．
【分析】先画出图形，再根据正弦三角函数的定义即可得．
【详解】解：由题意，画出图形如下：
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正弦，熟练掌握正弦的概念是解题关键．
12．
【分析】如图，连接正六边形对角顶点交于O点，将正六边形分成6个全等的等边三角形，过O点作AB边垂线于H点，计算出三角形AOB的面积，乘以6即可求出答案．
【详解】解：如图，连接正六边形对角顶点交于O点，过O点作AB边垂线于H点，
易知为等边三角形，，，
，
这个正六边形底面的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形面积计算、利用锐角三角函数解直角三角形等知识点，通过作图将正六边形分成6个全等的等边三角形是解题的突破口．
13．9
【分析】首先根据锐角三角函数得出，再将AB的值代入计算即可.
【详解】在Rt△ABC中，.
∵AB=15，
∴，
解得AC=9.
故答案为：9.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的知识，正确的选择锐角三角函数是解题的关键.
14．9
【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD=∠A，根据正切的定义计算即可
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A，
在Rt△ACB中，
∵tanA=tan∠BCD==，
∴BC=AC=×12=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了解直角三角形：掌握正切的定义是解题的关键．
15．/0.8
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH=4，CH=3，
∴AC==5，
∴sin∠ACH=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
16．48
【分析】根据锐角三角函数关系：，即可求解．
【详解】∵是锐角，，
又∵，
∴48°．
故答案是48．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的关系，掌握，是解题的关键．
17．1
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案即可．
【详解】
，
，
．
【点睛】本题考查实数运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．10
【分析】根据∠C=90°，，设BC=5x，AB=13x，再根据勾股定理求出AC =12x，求出x的值，再代入BC=5x，进行计算即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，C = 90，
∴
设BC=5x，AB=13x.
由勾股定理得AC =12x.
∵AC =24,
∴12x=24 解得x=2
∴BC=5x=10
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，解此题的关键是得出关于x的方程，难度适中．
19．∠A＝60°，，c＝40
【分析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C=90°则∠A=90-∠B=60°，解直角三角形就是求直角三角形中除直角以外的两锐角，三边中的未知的元素．
【详解】由∠C＝90°知，∠A+∠B＝90°，而∠B＝30°，
∴∠A＝90°-30°＝60°，
，
∴，
∴c＝40，
由勾股定理知，
∴，
解得：．
【点睛】考查了解直角三角形的条件，已知三角形的一边与一个锐角，就可以求出另一个锐角与三角形的另外两边．
20．63.4m
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据∠ABC＝60°，∠ACB＝45°即可求出BD、CD与AD关系，根据BC＝100m，可以求得AD的长度．
【详解】解：过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ADB中，∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD tan30°＝AD，
在Rt△ADC中，∠C＝45°，
∴CD＝AD，又BC＝100m，
∴BD+CD＝AD+AD＝100．
解得AD≈63.4m．
答：这段河的宽约为63.4米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当构建直角三角形，利用三角函数求解．
21．这辆小汽车超速了．
【分析】求出BC的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速．
【详解】解：根据题意：∠ACB= 90°
由勾股定理可得：
BC=米
40米= 0.04千米，
2秒=小时；
0.04÷= 72千米/时> 70千米/时；
所以超速了．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握构造直角三角形，确定直角边，斜边即可．
22．
【分析】延长，交于点，在中，由含30°角的直角三角形的性质求出，得出，再由三角函数求出即可．
【详解】解：延长，交于点，如图所示：
根据平行线的性质得：，
∵在中，，
∴，
则，
在中，
，
答：旗杆的高度为．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质，由含30°角的直角三角形的性质求出，得出是解决问题的关键．