(共17张PPT)
1.1 等腰三角形
第2课时
第一章 三角形的证明
学习导航
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
新课导入
一、学习目标
1.会利用等腰三角形的性质证明线段相等（重点）
2.掌握等边三角形的性质并会应用性质解决问题（难点）
二、新课导入
回顾与思考：
等腰三角形的两底角相等，简称“等边对等角”.
应用格式：
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
你还记得什么是“等边对等角”吗
思考：等腰三角形中还有哪些线段相等？
三、自主学习
1.等腰三角形中相等的线段:
等腰三角形两腰上的中线相等.
等腰三角形两底角的平分线相等.
等腰三角形两腰上的高线相等.
A
B
C
D
E
2.等边三角形的性质定理：
我们知道，等腰三角形是轴对称图形，对称轴有1条，由等边对等角可知等腰三角形的两底角相等.
A
B
C
问题1：等边三角形的三条边以及三个内角之间有什么关系？
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的三条边相等.
三、自主学习
问题2：等边三角形是否有“三线合一”性质？
A
B
C
三条对称轴
A
B
C
一条对称轴
如图，我们知道等腰三角形顶角的平分线、底边的高、底边的中线互相重合.
你能得出什么结论？
三、自主学习
结论：
A
B
C
通过作图可以发现：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高或所对角的平分线所在直线.
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线互相重合，即“三线合一”.
三条对称轴
三、自主学习
问题3：对于一个命题“等腰三角形两腰上的中线相等”，能得出什么结论？要做出证明需要哪些步骤？
得出的结论是两腰上的高相等，要做出证明有以下步骤：
(1)分清命题的条件和结论;
(2)依据条件画出图形,并在图上标出有关的字母与符号;
(3)结合图形,写出已知、求证;
(4)有条理地写出证明过程.
三、自主学习
四、合作探究
探究一 等腰三角形中相等的线段的证明
1.如图，△ABC是一个等腰三角形，已知EC、BD是它两腰上的中线.证明：EC=BD.
已知：△ABC中，AB=AC，AD=DC，AE=EB，
证明如下：∵AB=AC，AD=DC，AE=EB，
∴DC=BE，∠DCB=∠EBC．
∵BC=CB，∴△BDC≌△CEB（SAS）．
∴BD=CE．
结论：等腰三角形的两腰上的中线相等．
解：∵AB=AC,若AD= AC，AE= AB，
则可得DC=EB,∴△DBC≌△ECB(SAS),∴BD=CE.
结论：无论几等分等腰三角形的两条腰，腰的等分线都相等.
讨论：若AD= AC，AE= AB，BD=CE成立吗？
2.如图，△ABC是一个等腰三角形.
(2)若AD= AC，AE= AB，证明BD=CE.
BD=CE仍成立,因为无论腰被分成几等分，都可以证明△DBC≌△ECB.
四、合作探究
练一练:
1.如图，△ABC是一个等腰三角形.
若∠ABD= ∠ABC,∠ACE= ∠ACB，证明:BD=CE.
解：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
若∠ABD= ∠ABC,∠ACE= ∠ACB,则得∠DBC=∠ECB,
∴△DBC≌△ECB(ASA),∴BD=CE.
思考：若∠ABD= ∠ABC,∠ACE= ∠ACB，BD=CE成立吗？由此你能得到什么结论？
四、合作探究
结论:
无论几等分等腰三角形的两个底角,角的等分线都相等.
若∠ABD= ∠ABC,∠ACE= ∠ACB，BD=CE仍成立，因为无论几等分等腰三角形的两个底角，都可以证明△DBC≌△ECB.
四、合作探究
2.如图，在△ABC中，D、E为BC的三等分点，△AED为等边三角形，则∠BAC等于 度.
120
1.AD，AE分别是等边三角形ABC的高和中线，
(1)若AD=4，则AE= .
(2)若AB=6，该三角形的周长为： .
4
18
五、当堂检测
3.如图，△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD.
证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线，
∴AE=AD，AD为∠BAC的角平分线，
即∠CAD=∠BAD=30°，∴∠BAE=∠BAD=30°，
∴△ABE≌△ABD（SAS），
∴BE=BD．
在△ABE和△ABD中，
五、当堂检测
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，
E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．
证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°-90°-30°=60°，
∴∠FAE=∠EBC，
∵E为AB的中点，∴AE=BE，
∵∠AEF＝∠BEC,∴△AEF≌△BEC(ASA）．
五、当堂检测
六、课堂总结
1.等腰三角形的性质：
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线互相重合，即“三线合一”.
等边三角形三个内角相等，且均等于60°
2.等边三角形的性质：
等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的中线相等；两腰上的高线相等.
等边三角形的三条边相等.(共22张PPT)
1.1 等腰三角形
第1课时
第一章 三角形的证明
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学习目标
新课导入
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
一、学习目标
1.熟悉两个三角形全等的判定方法,会用角角边定理进行证明
2.掌握等腰三角形的性质并会用性质解决简单的问题 (重点)
3.会证明角角边定理及等腰三角形的有关性质（难点）
二、新课导入
思考：如图，在△ABC中，AB=AC，利用折叠的方法，将它沿AD折叠可以得到一个与之完全重合的△ADC，我们可以说△ABC≌△ADC，你能说出理由吗？
三、自主学习
1.等腰三角形的定义：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.证明两个三角形全等的方法：
边边边(SSS)、边角边（SAS）、角角边（AAS）、角边角（ASA）、HL.
三、自主学习
3.全等三角形的判定：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）
思考：
如图，已知AB=AC，∠B=∠C，要运用定理AAS，要证明△ABD≌△ACD，需要添加什么条件？
要添加的条件是：∠ADB=∠ADC (AAS)
三、自主学习
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
讨论：
如图，若△ABD≌△ACD，你能得到什么结论？
①∠BAD=∠CAD，②∠ADB=∠ADC，③BD=CD. 由此我们还可以总结出：
4.全等三角形的性质：
5.等腰三角形的性质定理
性质1：等腰三角形的两底角相等，简称“等边对等角”.
三、自主学习
因此我们可以总结出这样的结论：
我们得到的结论：
∠BAD=∠CAD
若∠ADB=∠ADC=90°，你能联想到什么？
BD=CD
AD为顶角平分线；
AD为底边上的中线.
若∠ADB=∠ADC=90°
AD为底边上的高线；
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.简称“三线合一”.
四、合作探究
已知：△ABC 中，AB=AC,求证：∠B=∠C .
C
A
B
D
证法1：作底边BC边上的中线AD.
在△ABD与△ACD中：
AB=AC（已知），
BD=DC（作图），
AD=AD（公共边），
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠B=∠C.
探究一 “等边对等角”的证明
四、合作探究
已知：△ABC 中，AB=AC,求证：∠B=∠C .
证法2：作底边BC的高AD，交BC于点D.
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD与Rt△ACD中，AB＝AC（已知),AD＝AD（公共边）
∴Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），∴∠B＝∠C.
得出结论：定理1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
应用格式：∵AB=AC（已知）,∴∠B=∠C（等边对等角）
四、合作探究
练一练:
1.已知：△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C .
点拨：添加辅助线：
作顶角∠BAC的平分线．
∴△ABD ≌ △ACD（SAS），
证明：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D.
AB＝AC（已知），
∠1＝∠2（已证），
AD＝AD（公共边），
A
B
C
D
(
(
1
2
在△ABD与△ACD中，
∴∠B＝∠C.
∵AD平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.
四、合作探究
活动1：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗
结合等腰三角形的“三线合一”可得到验证.
具体解析如下.
探究二 等腰三角形的“三线合一”的应用
四、合作探究
A
C
B
D
1
2
解：结合题意可知：
如图,在△ABC中,
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC.（等腰三角形的三线合一）
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2.（等腰三角形三线合一）
结论：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.简称“三线合一”.
四、合作探究
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°.∠DBC=30°(等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
活动2：如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD.
求证:∠DBC=∠DEC．
2.画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
四、合作探究
不重合
三线合一
练一练:
四、合作探究
归纳:
等腰三角形的“三线合一”满足的条件仅限于：顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线.
注意：腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
五、当堂检测
1.判断下列说法是否正确。
①等腰三角形的顶角一定是锐角.
②等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.
③钝角三角形不可能是等腰三角形.
④等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
⑤等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
⑥等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
X
X
X
X
√
√
五、当堂检测
2.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是( )
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70°
B
3.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，
则底角的大小为_____ ______．
70°或20°
4.如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
A
B
C
D
五、当堂检测
解:∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 °,解得 x=36 ° ，
在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
五、当堂检测
解：在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）.
又∵∠BAC=100 °，
5.已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100°, 过屋顶A的立柱AD⊥BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）.
∴∠BAD=∠CAD=50°.
A
B
D
C
∴∠B=∠C= (180°－∠BAC)=40°(三角形内角和定理).
方法总结：
利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，
当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，
设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
五、当堂检测
六、课堂总结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意：是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.(共19张PPT)
1.1 等腰三角形
第3课时
第一章 三角形的证明
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学习目标
新课导入
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
一、学习目标
1.会判定一个三角形是等腰三角形（重点）
2.了解反证法的含义,会利用反证法证明简单的命题
二、新课导入
A
B
C
如图，在△ABC中，∠B=∠C，要证明AB=AC，可以构造两个全等的三角形，通过作BC边上的中线的方法，行的通吗？
你能叙述“等边对等角”所代表的含义吗？
等腰三角形的两底角相等，简称“等边对等角”.
行不通，因为在两个三角形全等的方法中，
不存在SSA定理.
思考：
三、自主学习
1.等腰三角形的判定：
(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称：“等角对等边”.
(2)“等角对等边”应用格式：
解：在△ABC中，
∵∠B=∠C,
∴AB=AC.
即△ABC为等腰三角形.
（等角对等边）
（已知）
(
(
B
C
A
辨一辨：如图,下列推理正确吗
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2 ,∴ BD=DC
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角对等边）.
不正确，
因为图中∠1，∠2都不是在同一个三角形中.
（等角对等边）.
讨论：通过上面的推理，你得出什么结论？
三、自主学习
结论：
在应用等腰三角形的“等角对等边”的性质时 ，要保证角和边都在同一个三角形中.
2.反证法:
(1)先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实，已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.
三、自主学习
(2)举反例时，注意应满足命题的条件,得出的结论与原结论相反，如大于与小于等于,不大于与大于等.
如：用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应假设：
三角形中最少有两个内角是直角．
三、自主学习
四、合作探究
探究一 用“等角对等边”判定等腰三角形
如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：△ABD是等腰三角形.
证明：
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD（等角对等边）．
∴△ABD是等腰三角形.
平分+平行
推导
等腰三角形
1.如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC，求证：△ABC是等腰三角形.
证明：
∵AD∥BC，
∴∠1=∠B
∠2=∠C
又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
∴△ABC是等腰三角形
（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错角相等）．
通过证明，你能得出什么结论？
练一练:
四、合作探究
如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
结论：
“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等．
四、合作探究
探究二 用反证法证明命题
用反证法证明：△ABC中，若AB=AC，则∠B＜90°．
由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
1.假设结论不成立
证明: 假设在△ABC中，∠B≥90°，
因此假设不成立．∴∠B＜90°.
3.原命题的结论成立
∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
2.推出矛盾；
四、合作探究
通过以上证明过程，可以总结出用反证法证明命题的步骤：.
反证法的步骤：
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
（1）假设结论不成立；
注意：在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
四、合作探究
五、当堂检测
1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=5，AD=2，则△AED的周长为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
D
2.在△ABC中，∠A=80°，添加一个条件： ，
使△ABC是等腰三角形．
根据等角对等边可添加的条件有以下三种：
①∠B=80°，则∠A=∠B=80°，AC=BC，△ABC是等腰三角形；
②∠B=50°,则∠B=∠C=50°,AB=AC，△ABC是等腰三角形；
③∠B=20°,∠A=∠C=80°,AB=BC，△ABC是等腰三角形.
五、当堂检测
3.对于命题“在同一平面内，若a∥b，a∥c，则b∥c”，用反证法证明，
应假设（ ）
A．a⊥c
B．b⊥c
C．a与c相交
D．b与c相交
D
五、当堂检测
4.已知四边形ABCD，用反证法证明“四边形ABCD中至少有一个角是直角或钝角”
时，应先假设（ ）
A．四个内角都是锐角
B．四个内角都是直角或钝角
C．没有一个内角是钝角
D．没有一个内角是直角
A
五、当堂检测
5.用反证法证明：等腰三角形的底角必为锐角．
证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C=180°，
而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．
②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞180°，
而∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．
综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．
故等腰三角形两底角必为锐角.
五、当堂检测
六、课堂总结
2.反证法的步骤：
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
1.有两个角相等的三角形是等腰三角形
（1）假设结论不成立；
注意：“等角对等边”只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中， 此结论不一定成立．(共23张PPT)
1.1 等腰三角形
第4课时
第一章 三角形的证明
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学习目标
新课导入
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
一、学习目标
1.会判定一个三角形是等边三角形
2.探索含30°角的直角三角形的性质 (重点)
3.掌握含30°角的直角三角形的性质定理及其应用 (难点)
二、新课导入
辨一辨：
结合已学过的知识，你能判断下面的三角形是不是等边三角形吗？
（3）
（2）
（1）
在一次强台风过后，街道上的树被大风于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面约成30°角，如右图所示，我们可以计算出这棵树在折断前的高度吗？
可以.
通过含30°角的直角三角形斜边和直角边的关系可计算出树的高度.
二、新课导入
思考：
三、自主学习
1.等边三角形的判定：
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
问题1：如图，已知∠B=60°，能判定△ABC是等边三角形吗？
A
B
C
解：不能判定，因为已知∠B=60°，也无法确定它的另外两个角，也无法确定它是一个等腰三角形.
三、自主学习
问题2：你能补充一个条件，使△ABC成为等边三角形吗？
A
B
C
解：①根据三个角都相等的三角形是等边三角形，可补充条件：∠A=∠C或∠B=∠C等.
②根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，
可补充条件：AB=BC或AC=BC等.
三、自主学习
2.含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图所示：BC= AB.
A
B
C
应用格式：
在Rt△ABC中，
∠C=90°,∠A=30°，
∴BC= AB.
四、合作探究
探究一 等边三角形的判定
解：∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，
∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，
又∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠ABD=∠BDC=∠BDA=∠A
∴△ADB为等边三角形，
∴∠A=60°．
如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，且AD=BD．求∠A的度数．
三个角相等
练一练:
四、合作探究
1.如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点,且AD=BE=CF．求证:
△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=FE，
∴△DEF是一个等边三角形．
三条边相等
四、合作探究
已知，如图在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°.求证：BC= AB.
证明：在△ABC中，
∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°．
延长BC到D，使BD=AB，连接AD，
则△ABD是等边三角形．
又∵AC⊥BD,∴BC= BD．
BC= AB.
A
B
C
D
思考：结合“探究一”你能得到什么结论？
探究二 含30°角的直角三角形的性质
四、合作探究
由BC= AB，再次验证了：② 30°角所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
D
在上面的证明中：由∠B=60°，BD=AB
我们再次验证了：① 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
△ABD是等边三角形
讨论：本题还有别的证明方法吗？
四、合作探究
A
B
C
已知，如图在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°.求证：BC= AB.
证明：在BA上截取BE=BC,连接EC.
∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC=60°,BE=EC.
∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.
∴AE=EC，∴AE=BE=BC，
∴AB=AE+BE=2BC.
∴BC= AB.
方法二：
E
归纳：
四、合作探究
结合“探究一”和“探究二”，我们可以得到判定等边三角形的三种方法：
一是证明三角形三条边相等；
二是证明三角形三个内角相等；
三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
练一练:
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是斜边AB上的高，AD=3cm，则AB的长度是 .
解:在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的高,
∴∠ADC=90°,
∴∠ACD=∠B=30°,
在Rt△ACD中，AC=2AD=6cm，
在Rt△ABC中，AB=2AC=12cm.
∴AB的长度是12cm.
12cm
注意:运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形．
四、合作探究
五、当堂检测
1.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为12cm,EC=1cm,则△ADE的周长是 cm.
A
C
B
D
E
9
五、当堂检测
2.如图，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC，AE⊥AB．(1)求∠C的度数.
解：(1)∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，即∠C=30°．
证明：∵∠B=∠C=30°，AD⊥AC，AE⊥AB．
∴∠ADC=∠AEB=60°，∴∠ADC=∠AEB=∠EAD=60°，
∴△ADE是等边三角形．
(2)求证：△ADE是等边三角形．
五、当堂检测
A.300a元 B.150a元
C.450a元 D.225a元
3.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A=150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
B
五、当堂检测
A
C
B
D
15 °
15 °
20
)
)
4.已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.
解: 如图，过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15°(已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，
∴CD= AC= ×20=10.
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
分析：
由条件先证△AED≌△BED，得出∠BAD=∠CAD=∠B，
再根据直角三角形两锐角的和为90°，求得∠B=30°
即可得到CD= DB.
五、当堂检测
已知∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE是∠ADB的平分线，DE⊥AB.
解：CD= DB.
∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE=∠BDE.
又∵DE=DE，∴△AED≌△BED(ASA)，
∴AD=BD，∠DAE=∠B.
∵∠BAD=∠CAD= ∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=∠B.
∵∠BAD+∠CAD+∠B=90°，∴∠B=∠BAD=∠CAD=30°.
在Rt△ACD中，∵AD=BD，∠CAD=30°，∴CD= AD= BD，即CD= DB.
∵DE⊥AB,∴∠AED=∠BED=90°.
五、当堂检测
五、当堂检测
方法总结：
含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
六、课堂总结
1.判定等边三角形的方法
一是证明三角形三条边相等；
二是证明三角形三个内角相等；
三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
2.含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
