河北省部分学校2023-2024学年高三上学期期末调考数学试题（含解析）

河北省部分学校2023-2024学年高三上学期期末调考
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共4页，总分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．设A，B，C为三个随机事件，则“A，B，C相互独立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．时代的到来促进了电子商务的飞速发展，某电商统计了线上店铺营业的前4个月的产品销量y（单位：万元）与月份代码的数据如表所示，据此可得到经验回归方程为，则（ ）
x 1 2 3 4
y 1 a 4
A．1 B．1.5 C．1.6 D．2
4．已知随机变量，随机变量，若，，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
5．写算是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算，它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来．例如计算，将被乘数89计入上行，乘数61计入右行，然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图，即得5429，若从表内的8个数字（含相同的数字，表周边数据不算在内）中取1个数字，则这个数字大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义协方差为，已知X，Y的分布列如下表所示，其中，则的值为（ ）
X 1 2 Y 1 2
P p P p
A．0 B．1 C．2 D．4
8．在数列中，，，且，则实数t的最大值为（ ）
A．4 B．5 C． D．6
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知的展开式中所有项的系数之和为1，则（ ）
A．展开式的常数项为 B．
C．展开式中系数最大的项的系数为80 D．所有幂指数为非负数的项的系数和为
10．有两组样本数据分别为，，…，和，，，，且平均数，，标准差分别为6和4，将两组数据合并为，，…，，重新计算平均数和标准差，则（ ）
A．平均数为85 B．平均数为86 C．标准差为10 D．标准差为
11．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过郑骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．某人抛掷n次骰子后棋子恰好又回到点A处，则（ ）
A．若，则共有3种不同走法 B．若，则共有5种不同走法
C．若，则共有25种不同走法 D．若，则共有27种不同走法
12．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一组数据2，3，6，9，5，7，12，14，8，13的分位数为__________．
14．为增强学生体质，某校在暑假期间组织本校学生开展各项体育比赛，由于工作需要，将10名志愿者分成4组，每组至少2人，则不同的分组方法种数为__________．
15．某科研型农场试验了生态柳丁的种植，在种植基地从收获的果实中随机抽取100个，得到其质量（单位：g）的频率分布直方图及商品果率的频率分布表如图．
质量/g
商品果率 0.7 0.8 0.8 0.9 0.7
已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起，用频率估计概率，现从中随机抽取1个柳丁，则该柳丁为商品果的概率为__________．
16．在三棱锥中，，其余棱长均相等，，分别为AB，PC的中点，垂直于的一个平面分别交棱PA，PB，CB，CA于E，F，G，H四点，则四边形EFGH的面积的最大值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．实验中学某班为弘扬“载人航天精神——特别能吃苦、特别能战斗、特别能攻关、特别能奉献”，举行航天知识问答活动，活动分为A，B两类项目，且该班级所有同学均参加活动，每位同学选择一项活动参加．
性别 A类 B类
男同学 25 15
女同学 a 10
若采用分层抽样从该班级中抽取6名同学，则有男同学4名，女同学2名．
（1）求a以及该班同学选择A类项目的概率；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为同学选择项目的类别与其性别有关？
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
附：，．
18．（12分）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）若，求．
19．（12分）
我国风云系列卫星可以检测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下．
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人工测雨量 5.38 7.99 6.37 6.71 7.53 5.53 4.18 4.04 6.02 4.23
遥测雨量 5.43 8.07 6.57 6.14 7.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49
0.05 0.08 0.2 0.57 0.42 0.03 0.09 0.11 0.02 0.26
并计算得，，，，，．
（1）求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有较强的线性相关关系（若，则认为两个变量有较强的线性相关性）；
（2）规定：数组满足为“Ⅰ类误差”，满足为“Ⅱ类误差”，满足为“Ⅲ类误差”．为进一步研究该地区水文研究人员，从“Ⅰ类误差”“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的分布列与数学期望．
附：相关系数，．
20．（12分）
如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成．点C，E，D，G在同一平面内，且．
（1）证明：平面平面BCG；
（2）若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值．
21．（12分）
设，函数，其中．
（1）讨论的零点个数；
（2）证明：对任意，都存在，使得．
22．（12分）
马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德雷·马尔可夫得名．其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第次，次，次，…状态无关，即．已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复n次这样的操作．记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为．
（1）求，和，；
（2）证明：为等比数列（且）；
（3）求的期望（用n表示，且）．
河北省部分学校2023-2024学年高三上学期期末调考
数学
参考答案及解析
一、选择题
1．C【解析】由题得，所以．
2．A【解析】三个事件A，B，C相互独立的充要条件是，，
，，
故“A，B，C相互独立”是“”的充分不必要条件．
3．B【解析】由表可知，，，
即样本中心点为，代入，
得，解得．
4．C【解析】因为，，，
所以，解得或（舍去）．
由，得，所以．
5．B【解析】表内的8个数字分别为4，8，5，4，0，8，0，9，其中大于5的有8，8，9，
所以从表内的8个数字（含相同的数字，表周边数据不算在内）中取1个数字有8种取法，
这个数字大于5的情况有3种取法，所以这个数字大于5的概率为．
6．C【解析】设切点为，由题得，所以切线的斜率，
所以切线方程为，即，
即直线，所以可得，
所以，
当且仅当，时，取得最小值9．
7．A【解析】XY的分布列为
XY 1 2 4
P
，
，，．
8．A【解析】由题意得，
若，则．当时，，
所以，当时，，所以，与矛盾；
若，则，得，又，所以，，
所以当时，，所以实数t的最大值为4．
二、选择题
9．ACD【解析】令，得，解得，B错误；
，所以展开式的常数项为，A正确；
展开式中系数最大的项的系数为80，C正确；
所有罙指数为非负数的项的系数和为，D正确．
10．BD【解析】由题意，，，
故，则．
又，，
故，，
则，
故，，…，的标准差为．
11．BD【解析】由题意知正方形ABCD的周长是8．
当时，骰子的点数之和是8，列举出在点数中两个数字能够使得和为8的有，，，共3种组合，抛掷骰子是有序的，所以共5种结果；
当时，三次骰子的点数之和是8，16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8，16的有，，，，，，，共7种组合，前2种组合，，
每种情况可以排列出种结果，共有种结果．
，，，，各有3种结果，共有种结果，
根据分类计数原理知共有种结果．
12．BC【解析】由可知，
由可得，
由可得，所以A错误；
由可得，所以B正确；
由条件概率公式可得，所以C正确；
由可得，，所以D错误．
三、填空题
13．12【解析】将这10个数按由小到大的顺序排列为2，3，5，6，7，8，9，12，13，14，
因为，所以这组数据的分位数为12．
14．9450【解析】将10名志愿者分成4组，每组至少2人，有两种分组方案：
（1）若小组人数分别为2，2，2，4，则有种；
（2）若小组人数分别为2，2，3，3，则有种，所以共有种．
15．0.79【解析】记事件“从柳丁中任取1个为商品果”，
由全概率公式可得
．
16．2【解析】将三棱锥置于如图所示的长方体中，
其中，又平而EFGH，平面，所以平面平面EFGH，
又平面平面，平面平面，所以，
同理，所以；同理，所以四边形EFGH为平行四边形．
连接，，则，，所以平面，
又平面，所以，所以，所以四边形EFGH为矩形．
设，则，所以，，
所以四边形EFGH的面积，
当时，．
四、解答题
17．解：（1）依题意，男女同学的比例为2：1，则，解得，
该班同学选择A类项目的概率为．（4分）
（2）由（1）完善列联表可得
性别 A类 B类 合计
男同学 25 15 40
女同学 10 10 20
合计 35 25 60
零假设为：同学选择项目的类别与其性别无关，（6分）
可得，（9分）
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以能认为同学选择项目的类别与其性别无关．（10分）
18．解：（1）由，得，
所以，即，（3分）
由余弦定理得，（5分）
化简得，即．（6分）
（2）由（1）及正弦定理得．（8分）
因为，，所以，所以．（9分）
因为，所以，所以，（10分）
所以．（12分）
19．解：（1）因为，
代入已知数据，得．
所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有较强的线性相关关系．（6分）
（2）10组数据中，“Ⅰ类误差”有5组，“Ⅱ类误差”有3组，“Ⅲ类误差”有2组，
从“Ⅰ类误差”“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据，记抽到“Ⅰ类误差”的数据组数为X，
由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3．
则，，
，．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以．（12分）
20．（1）证明：如图，连接CE，DG，因为该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，，
所以，所以，所以．
因为，，所以四边形BCEF为平行四边形，
所以，所以．（2分）
因为平面ABF，平面ABF，所以．
因为BC，平面BCG，，所以平面BCG，
因为平面BFD，所以平面平面BCG．（5分）
（2）解：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，
则，，，，，，
则，，，
设平面ABG的一个法向量为，则即
令，则，（7分）
记直线GC与平面ABG所成的角为，
则，解得（负值舍去），即．（9分）
设平面BFD的法向量为，则，，
则即
令，则，所以，
所以平面BFD与平面ABG所成角的余弦值为．（12分）
21．（1）解：，当时，，在区间上单调递增，
所以，即，
故在区间上无零点；（2分）
当时，令，解得；
令，解得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
因为，所以，且，，
由零点存在定理可知在区间上有唯一的零点，
此时在区间上有唯一的零点．（5分）
综上，当时，无零点；当时，有一个零点．（6分）
（2）证明：由（1）知当时，，
要证存在，使得，
即证对任意恒成立，即证对任意恒成立，
即证对任意恒成立，即证对任意恒成立，（9分）
令，即证对任意恒成立，（10分）
令，，则，所以在区间上单调递增，
所以，即对任意恒成立，即对任意恒成立，
即对任意，都存在，使得．（12分）
22．（1）解：若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为；
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，乙盒为2白，概率为，
所以，．（1分）
①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白时，概率为，
此时若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为；
若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为；
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为；
若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为．（3分）
②当甲盒2黑1白，乙盒为2白时，概率为，
此时若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为；
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为．
综上可知，，
．（5分）
（2）证明：经过n次这样的操作．记甲盒子恰有2黑1白的概率为，
恰有1黑2白的概率为，则有3白的概率为，
①当甲盒为1黑2白，乙盒为1黑1白时，概率为，
此时若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为；
若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为；
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为；
若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为．（7分）
②当甲盒为2黑1白，乙盒为2白时，概率为，
此时若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为；
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为．（8分）
③当甲盒为3白，乙盒为2黑时，概率为，
此时若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
故，，
所以，
所以是以为公比的等比数列．（10分）
（3）解：由（2）知为等比数列，且公比为，首项为，
故，所以，
所以．（12分）