2023~2024学年第二学期福建省部分优质高中高一年级入学质量抽测
数学试卷参考答案
阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步骤与本参考答案不同，但解答
科学合理的同样给分。有错的，根据考生错误的性质参考评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B B B A C C
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是
符合题目要求的。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
注意：全部选对的得 6分，第 9题选对其中一个选项得 2分，第 10、11题选对其中一个选项得 3分。
有错选的得 0分。
题号 9 10 11
答案 AB BCD BD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．3 13．35
14． = sin2 （答案不唯一，形如 = sin2 , = tan ，是周期为π的奇函数均可） ； 0或 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分 13分，第一小题 6分，第二小题 7分）
解：（1）因为关于 的不等式 2 + < 0的解集为{ ∣ 2 < < 1}，
所以 = 2, = 1 是方程 2 + = 0的两根，
2+ 1 =
由韦达定理得 2 × 1 = ，解得 = 1, = 2；
（2 1 2）由（1）得 + = 2，
则 + = + 2 = 1 ( + 2 ) 1 + 2 = 1 5 + 2 + 2 ≥ 1 5 + 2 2 2 = 9，
2 2 2 2
2 2 3
当且仅当 = ，即 = = 时取等号，
2
9
所以 + 2 取得最小值 .
2
16．（本题满分 15分，第一小题 6分，第二小题 9分）
1 ( ) =
2 1
解：（ ） 2 为奇函数，理由如下：1+
2
( ) = 1 2 的定义域为 R，1+
2 2 2
又 ( ) = 1 = 1 2 2 = ， 故 ( ) =
1
为奇函数；
1+ 1+ 1+ 2
1
{#{QQABIQyQoggAAABAAQgCQwlYCEIQkBECAIoOAEAMIAIACQFABAA=}#}
2
（2）当 > 1时， ( ) = 1 2 单调递减，1+
2
当 0 < < 1 1 时， ( ) = 2 单调递增，1+
1, 2 ∈ (1, + ∞)，且 1 < 2，
2 2 2 2 2 2
则 = 1 1 1 2 = 1 1+ 1 2 1 2+ 2 11 2 1+ 2 2 21 1+ 2 1+ 1 1+ 22
2
= 1 1 1 2 1 2 ，
1+ 21 1+
2
2
因为 1, 2 ∈ (1, + ∞)，且 1 < 2，所以 1 1 2 < 0, 1 2 < 0，
2
> 1 1 1 当 时， 1 2 1 22 2 > 0，即 1+ 1+ 1 > 2 ，1 2
2
故 ( ) = 1 单调递减，
1+ 2
2
当 0 < < 1 1 1 1 2 1 时， 2
1+ 2
< 0，即 < ，
1 1+
2 1 2
2
2 ( ) = 1 故
1+ 2
单调递增
17．（本题满分 15分，第一小题 5分，第二小题 5分，第三小题 5分）
1 > 0
解：（1）令 1 + > 0，解得 1 < < 1，所以函数 ( )的定义域为 1,1 ，
若选①：因为 ( ) + ( ) = 0，即 ( )为奇函数，
则 ln(1 ) + ln(1 + ) + ln(1 + ) + ln(1 ) = 0，
整理得 1 + ln(1 2) = 0，
注意到对任意 ∈ 1,1 上式均成立，可得 1 + = 0，解得 = 1；
若选②：因为 ( ) ( ) = 0，即 ( )为偶函数，
则 ln(1 ) + ln(1 + ) ln(1 + ) + ln(1 ) = 0，
1 ln 1 整理得 = 0，
1+
注意到对任意 ∈ 1,1 上式均成立，可得 1 = 0，解得 = 1.
（2）若选①：则 = 1，可得 ( ) = (1 )(1 + ) 1 = 1 = 2 1，
1+ 1+
可知函数 ( )在区间(0,1)上单调递减，证明如下：
对任意 1, 2 ∈ 0,1 ，且 1 < 2，
则 ( 1) ( 2) =
2 1 2 1 = 2 2 = 2 2 1 ，
1+ 1 1+ 2 1+ 1 1+ 2 1+ 1 1+ 2
因为 0 < 1 < 2 < 1，则 1 + 1 > 0,1 + 2 > 0, 2 1 > 0，
可得 ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，
所以函数 ( )在区间(0,1)上单调递减；
若选②：则 = 1，可得 ( ) = (1 )(1 + ) = 1 2，
可知函数 ( )在区间(0,1)上单调递减，证明如下：
2
{#{QQABIQyQoggAAABAAQgCQwlYCEIQkBECAIoOAEAMIAIACQFABAA=}#}
对任意 1, 2 ∈ 0,1 ，且 1 < 2，
则 ( 2 2 2 21) ( 2) = 1 1 1 2 = 2 1 = 1 + 2 2 1 ，
因为 0 < 1 < 2 < 1，则 1 + 2 > 0, 2 1 > 0，
可得 ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，
所以函数 ( )在区间(0,1)上单调递减.
（3）若选①：则 = 1，则 ( ) = + 1 + 2 = ln 1 + 1 + 2，
1+
由（2）可知 = 1 在 0,1 内单调递减，且 = ln 在定义域内单调递增，
1+
可知 = ln 1 ln 1 + = ln 1 在 0,1 内单调递减，
1+
又因为 为奇函数，则 在( 1,0)内单调递减，
1
且 = 在( 1,0)内单调递减，可知 ( )在( 1,0)内单调递减，
1结合 = ln3 > 0 1 11， = ln 8 < 0，
2 10 9
可知 ( )在( 1,0)内有且仅有一个零点；
若选②：则 = 1，则 ( ) = + + 2 = ln 1 2 + + 2，
由（2）可知 = 1 2在 0,1 内单调递减，且 = ln 在定义域内单调递增，
可知 = ln 1 + ln 1 + = ln 1 2 在 0,1 内单调递减，
又因为 为偶函数，则 在( 1,0)内单调递增，
且 = + 2在( 1,0)内单调递增，可知 ( )在( 1,0)内单调递增，
1 = ln 3 + 3 > ln 1 + 3 = 1 > 0 99 = ln 199结合 ， + 101 < ln 1 + 2 = 0，
2 4 2 e 2 2 100 10000 100 e2
可知 ( )在( 1,0)内有且仅有一个零点.
18．（本题满分 17分，第一小题 5分，第二小题 6分，第三小题 6分）
π
解：（1）令 π + 2 π ≤ ≤ 2 π， ∈ Z，解得 3+ 6 ≤ ≤ 6 ， ∈ Z，
3
又 ∈ 0,10 ，得 = ( )的单调增区间是 3,6 和 9,10 ；
π
令 2 π ≤ ≤ π + 2 π， ∈ Z，解得 6 ≤ ≤ 3 + 6 ， ∈ Z，
3
又 ∈ 0,10 ，得 = ( )的单调减区间是 0,3 和 6,9 .
∴函数 = 在 0,10 上的单调增区间是 3,6 和 9,10 ，单调减区间是 0,3 和 6,9 ；
（2）若 1 ∈ 0,3 ， 2 ∈ ∞, ，使 1 = 2 成立，
则 1 ∈ 0,3 ， 2 ∈ ∞, ， 的值域应为 的值域的子集.
由（1）知， = ( )在 ∈ 0,3 单调递减，
∴ = ( )的值域为 1,1 ，
∵ = e2 2 e 1，当 ∈ ∞, 时，令 = e ∈ 0, e ，
5
3
{#{QQABIQyQoggAAABAAQgCQwlYCEIQkBECAIoOAEAMIAIACQFABAA=}#}
则 = 2 2 1，开口方向向上，对称轴是 = 1， 0 = 1，
5 5
当05
当e > 1时， 在 0, 1 1单调递减，在 , e 单调递增，
5 5 5
∴ e ≥ 1 2 2，即 e e 1 ≥ 1 e ≥ 1+ 51，解得 ，
5 5
1+ 51
所以 ≥ ln ；
5
（3）由（1）知 = ( )在 0,3 上是减函数，易知 = ( )在 0,3 上是增函数，
= = cos π所以 ln 在 0,3 上是减函数，，
3
1 = 1 > 0 3 = ln 3又 ， < 0，
2 2 2
根据零点存在性定理知 = ( )在 0,3 上有唯一零点，
当 > 3时， ≤ 1， > 1，
所以 = = cos π ln < 0，
3
即 = ( )在 3, + ∞ 上无零点，
综上， = ( )在 0, + ∞ 上有且只有一个零点 0.
∵ 5 = cos 5π ln 5 = 6 2 ln 5 ≈ 0.25875 0.223 > 0，
4 12 4 4 4
∴ 0 ∈
5 , 3 ，
4 2
2
∴ = e2ln 0 0
2 eln 0 1 = 20
2 0 1 = 0
1 26 ∈ 1 , 13 ，
5 5 5 25 16 20
∴ 0 = 0.
19．（本题满分 17分，第一小题 8分，第二小题 4分，第三小题 5分）
解：（1）选①④ 理由：
由 ( ) = sin 在 ∈ (0, π )上递增，故①满足，②不满足；
2
由 1 + 2 + 3 = π，且 0 < 1 < 2 < 3 <
π
，则 0 < π π π π π1 < ， < 2 < ， < < ，2 3 4 2 3 3 2
0 < 2 < 2π π故 1 ，< 2 2 < π
2π
， < 2 3 < π，且2 1 < 2 2 < 2 3，显然 (2 2) = sin2 2 > (2 3) = sin2 3，3 2 3
故③错；
π
由于 1 + 2 > ，则 2 1 + 2 2 > π，2
当 0 < π1 < <
π π
2 < ，则 0 < 2 1 < < 2 < π 2
π > π2 ，故 2 2 ，4 2 2 2 2 1
π π π
此时 2 1与 的距离比 2 2与 的距离小，且 2 1、2 2在 两侧，故 (2 1) = sin2 1 > (2 2) = sin2 2 2 2 2；
π π π
当 ≤ 1 < 2 < ，则 < 2 1 < 2 2 < π，易知： (2 1) = sin2 1 > (2 2) = sin2 ；4 2 2 2
4
{#{QQABIQyQoggAAABAAQgCQwlYCEIQkBECAIoOAEAMIAIACQFABAA=}#}
综上， (2 1) > (2 2) > (2 3)，故④对. 所以 ( ) = sin ， =
π
满足①④.
2
（2）由 ∈ 0, π ，则 0 < sin < cos < 2 < 1，
4 2
而 ( ) = (sin ) 在(0,1)上递减， ( ) = sin 在(0,1)上递增，
所以 ( ) = (sin )cos < ( ) = (sin )sin < ( ) = (cos )sin ，
故 ( ) < ( ) < ( ).
（3）由题意，已知函数在给定区间(0, )内递减，
由 ( ) > 0在(0,π)恒成立，
当 ∈ (0, π ] = = sin sin 时， 的增长率比 大，故随 增大 变小；
2
当 ∈ ( π ,π)时， = 递增， = sin sin 递减，故随 增大 变小；
2
综上，(0,π)上 ( ) > 0且递减，而[π, 2π)时 ( ) ≤ 0，
显然， 0 ∈ [π, 2π)使 ( )在(0, 0)上递减，
( ) = sin 所以 在 ∈ (0, )上递减，则最大值 max ≥ π，得证.
5
{#{QQABIQyQoggAAABAAQgCQwlYCEIQkBECAIoOAEAMIAIACQFABAA=}#}准考证号： 姓名：
（在此卷上答题无效)
2023-2024学年第二学期福建省部分优质高中高一年级入学质量抽测
数 学 试 卷
（ 考试时间：120分钟；总分：150分 ）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．cos 210° =
3 3 1 1A． B． C． D．
2 2 2 2
2．数学符号的使用对数学的发展影响深远，“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中，表达等式
关系，英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”，便于不等式的表示，则命题 : ， ∈ ，( + )3 > 3 +
3的否定为
A． ， ∈ ，( + )3 < 3 + 3 B． ， ∈ ，( + )3 > 3 + 3
C． ， ∈ ，( + )3 < 3 + 3 D． ， ∈ ，( + )3 ≤ 3 + 3
3．已知下列表格表示的是函数 = ，则 1 + 2 的值为
x 3 2 1 0 1 2 3
y 1 5 2 0 2 1 4
A． 2 B． 1 C．0 D．1
4．在罗贯中所著的《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一，东汉
建安十三年（公元 208年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜、程普各自督领一万五千精兵，与刘备军
一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军．第 49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，
你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．某校高一 5班有学生 50人，为迎接国庆节的到来，班级组织了两个活动，其中 活动参与的人数有
30人， 活动参与的人数有 25人，由于个人原因有 5人两个活动都没有参与，则该班仅参与一个活动
的人数为
A．40 B．35 C．30 D．25
数学试卷 第 1 页 ( 共 4 页 ）
{#{QQABIQyQoggAAABAAQgCQwlYCEIQkBECAIoOAEAMIAIACQFABAA=}#}
6．函数 ( ) = 2( + )，若 (1) (2) < 0，则 ( 1)， (1)， (2)的大小关系是
A． ( 1) < (1) < (2) B． (1) < ( 1) < (2)
C． ( 1) < (2) < (1) D． (2) < ( 1) < (1)
π π
7．如图直角坐标系中，角 0 < < 、角 < < 0 的终边分
2 2
5 3别交单位圆于 A、B 两点，若 B 点的纵坐标为 ，且满足 △ = ，13 4
sin 3cos 则 sin + 1的值为
2 2 2 2
A． 5 12 12 5B． C． D．
13 13 13 13
8．某企业从 2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业 2011年至 2021年的年产
值（万元）．为了描述该企业年产值 y（万元）与新政策实施年数 x（年）的关系，现有以下三种函数模
型： = + ， = （ > 0，且 ≠ 1）， = log + （ > 0，且 ≠ 1），选出你认为最符合实
际的函数模型，预测该企业 2024年的年产值约为
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年产值 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811
A．924万元 B．976万元 C．1109万元 D．1231万元
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．已知函数 ( ) = sin 3cos ，则
A． ( )的最大值为 2
π
B．函数 = ( )的图象关于点 , 0 对称
3
C．直线 = π是函数 = ( )图象的一条对称轴
3
π
D．函数 = ( )在区间 ,0 上单调递增
2
10．德国数学家康托尔是集合论的创立者，为现代数学的发展作出了重要贡献．某数学小组类比拓扑学
中的康托尔三等分集，定义了区间 0,1 上的函数 ，且满足：①任意 0 ≤ 1 < 2 ≤ 1， 1 ≤ 2 ；
② = 2 ；③ + 1 = 1，则
4
1 1
A． 在 0,1 上单调递增 B． 的图象关于点 , 对称
2 2
= 1 ( ) = 1 1C．当 时， D．当 ∈ , 15 1时， =
16 4 16 16 2
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{#{QQABIQyQoggAAABAAQgCQwlYCEIQkBECAIoOAEAMIAIACQFABAA=}#}
11．设 ∈ ，当 1 ≤ < + 1 ( ∈ Z)时，规定 = ，如 1.5 = 2， 0.2 = 0.则下列选项正
2 2
确的是
A． + ≤ + ( , ∈ R)
B． 2 + + 1 = + 1( ∈ N )
C．设函数 = 2sin + 2cos 的值域为 ，则 的子集个数为 512
1 + 1+ 1 + 1+ 2D． + + 1+ 2022 = 2023 1
2 2 2023 2 2023 2 2023 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知10 = 2，10 = 3，则2 = .
13．为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，某校积极开展社团活动，高一（1）班参加 社团的学生有 21
人，参加 社团的学生有 18人，两个社团都参加的有 7人，另外还有 3个人既不参加 社团也不参加
社团，那么高一（1）班总共有学生人数为 ．
14．已知 ( )不是常数函数，且满足： ( ) + ( ) = 0, + π = ( ).
2
① 请写出函数 ( )的一个解析式 ；
2+2 3
② 将你写出的解析式 ( ) + log2 2 + 1 + 得到新的函数 ( )，若 ( 3) + (3) =2
3，则实数 a 的值为 .（第一空 2分，第二空 3分）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知关于 的不等式 2 + < 0的解集为{ ∣ 2 < < 1}.
(1)求实数 ， 的值；
(2)若正实数 ， 满足 + = 2，求 + 的最小值.
2 1
16．（15分）已知函数 ( ) = 2 ( > 0, ≠ 1)．1+
(1)判断函数 ( )的奇偶性，并说明理由；
(2)讨论函数 ( )在(1, + ∞)上的单调性，并加以证明．
数学试卷 第 3 页 ( 共 4 页 ）
{#{QQABIQyQoggAAABAAQgCQwlYCEIQkBECAIoOAEAMIAIACQFABAA=}#}
17．（15分）已知函数 ( ) = ln(1 ) + ln(1 + )．请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为
已知，解答下面的问题．
条件①： ( ) + ( ) = 0; 条件②： ( ) ( ) = 0．
（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分）．
(1)求实数 k 的值；
(2)设函数 ( ) = (1 )(1 + ) ，判断函数 ( )在区间(0,1)上的单调性，并给出证明；
(3)设函数 ( ) = ( ) + + 2| |，指出函数 ( )在区间( 1,0)上的零点个数，并说明理由．
= cos π18．（17分）设函数 ， = ln ， = e2 2 e 1．
3 5
(1)求函数 = 在 0,10 上的单调区间；
(2)若 1 ∈ 0,3 ， 2 ∈ ∞, ，使 1 = 2 成立，求实数 a 的取值范围；
(3)求证：函数 = 在 0, + ∞ 上有且只有一个零点 0，并求 0 （ 表示不超过 x
的最大整数，如 2.7 = 2， 3.2 = 4）．（参考数据： 6 ≈ 2.449 ln 5， ≈ 0.223）．
4
19．（17分）有如下条件：
①对 ∈ (0, )， = 1，2， 1 < 2，均有 1 < 2 ；
②对 ∈ (0, )， = 1，2， 1 < 2，均有 1 > 2 ；
③对 ∈ (0, )， = 1，2，3， 1 + 2 + 3 = π；若 1 < 2 < 3，则均有 2 1 < 2 2 < 2 3 ；
④对 ∈ (0, )， = 1，2，3， 1 + 2 + 3 = π；若 1 < 2 < 3，则均有 2 1 > 2 2 > 2 3 ．
π
(1)设函数 ( ) = sin ， = ，请写出该函数满足的所有条件序号，并充分说明理由；
2
(2)设 ∈ 0, π ，比较函数 ( ) = (sin )cos ， ( ) = (cos )sin ， ( ) = (sin )sin 值的大小，并说明理由；
4
sin
(3)设函数 ( ) = ，满足条件②，求证： 的最大值 max ≥ π． （注：导数法不予计分）
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{#{QQABIQyQoggAAABAAQgCQwlYCEIQkBECAIoOAEAMIAIACQFABAA=}#}
