2023-2024学年辽宁省朝阳市建平重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省朝阳市建平重点中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的图象与轴的交点坐标是( )
A. B. C. D.
3.“”是“”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若函数的定义域是，则函数的定义域是( )
A. B. C. D.
5.函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
6.对于任意的，，定义运算：若不等式对任意实数恒成立，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数则的大致图像是( )
A. B.
C. D.
8.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.函数，称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是( )
A.
B. 的值域与函数的值域相同
C. 是非奇非偶函数
D. 对任意实数，都有
11.若，，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
12.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的单调递增区间是 B. 不等式的解集是
C. 函数的图象关于对称 D. 函数的值域是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数的图象过点，则 ______．
14.若是奇函数，则 ______．
15.已知函数满足，则 ______．
16.已知对任意的恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
化简求值：
；
．
18.本小题分
已知关于的不等式的解集为．
求实数，的值；
解关于的不等式：，其中是实数．
19.本小题分
已知集合，．
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
若集合中只含有两个整数元素且这两个元素非负，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数满足．
求函数的解析式；
求函数在上的值域．
21.本小题分
定义：将人每小时步行扫过地面的面积记为人的扫码速度，单位是平方公里小时，如扫码速度为平方公里小时表示人每小时步行扫过的面积为平方公里十一黄金周期间，黄山景区是中国最繁忙的景区之一假设黄山上的游客游玩的扫码速度为单位：平方公里小时，游客的密集度为单位：人平方公里，当黄山上的游客密集度为人平方公里时，景区道路拥堵，此时游客的步行速度为；当游客密集度不超过人平方公里时，游客游玩的扫码速度为平方公里小时，数据统计表明：当时，游客的扫码速度是游客密集度的一次函数．
当时，求函数的表达式；
当游客密集度为多少时，单位时间内通过的游客数量可以达到最大值？
22.本小题分
设函数且，，已知，．
求的定义域；
是否存在实数，使得在区间上的值域是？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合，
所以，
因为，
所以．
故选：．
根据已知条件，结合补集、交集的定义，即可求解．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：令，解得，
所以函数的图象与轴的交点坐标是．
故选：．
由函数与方程的关系可知，函数的图象与轴的交点的横坐标即时，的解，从而可求得结果．
本题考查了函数与方程的关系，对数的运算，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，可知，充分性不成立；
由，必要性成立；
即“”是“”成立的必要不充分条件．
故选：．
根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可
本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为函数的定义域是，所以，所以，
所以的定义域是，故对于函数，有，解得，
从而函数的定义域是．
故选：．
根据函数的定义域求出的定义域，然后求解的定义域即可．
本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由函数在上是增函数，
且满足，，
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间为．
故选：．
根据函数在上是增函数，且满足，，结合函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由已知得对任意实数恒成立，
所以，
解得．
故选：．
根据运算法则得到恒成立，由判别式得到不等式，求出答案．
本题属于新概念题，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数，则
根据复合函数的单调性，
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，只有符合．
故选：．
根据题意，根据，转换后得到，根据复合函数的单调性，可求得的单调性，进而可得正确选项．
本题考查了复合函数的单调性，考查了数形结合思想，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：是定义在上的偶函数，且在上单调递增，
在上是减函数．
而，
，
，
即．
故选：．
由题意得到 在上是减函数，再根据判断．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由不等式的同向可加性知选项A正确；
因为，，所以，，所以，故选项B正确；
因为，，所以，故选项C错误；
因为，所以，，所以，故选项D正确．
故选：．
结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题考查了不等式的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，根据狄利克雷函数定义可知，，即A正确；
对于，易知函数的定义域为，
当时，；当时，；
即函数的值域为，所以B正确；
对于，易知函数的定义域关于原点对称，当时，，则；当时，，则，即为偶函数，所以C错误；
对于，当时，，此时；当时，，此时，所以D正确．
故选：．
分别对和进行分类讨论，结合函数的性质检验各选项即可判断．
本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，，且，
所以，得，则，
当且仅当，即时取等号，所以，故A正确；
对于，，结合，得，解得，
当且仅当时取等号，所以不成立，不正确；
对于，由的分析可知，当且仅当时取等号，
所以不成立，故C不正确；
对于，，当且仅当时取等号，故D正确．
故选：．
根据题意，利用不等式的性质与基本不等式，对各项中的结论逐一加以验证，即可得到本题的答案．
本题主要考查了基本不等式的应用、不等式的性质等知识，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对：令，解得或，故的定义域为，在定义域内单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减，在上单调递增，A错误；
对：，且在定义域内单调递增，
可得，解得或，
故不等式的解集是，B错误．
对：，即，故函数的图象关于对称，C正确；
对：，即的值域，，故函数的值域是，D正确．
故选：．
由题意利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查复函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设幂函数，
其图象过点，
；
，
．
故答案为：．
设出幂函数的解析式，根据图象过点，求出的解析式．
本题考查了用图象上的点求幂函数解析式的问题，是基础题目．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，，
令可得：，
又是奇函数，
所以．
故答案为：．
根据题意，由函数的解析式分析可得，结合函数的奇偶性分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性，涉及函数值的计算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：令，
则，
故，
令，
则，即，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合赋值法，结合函数解析式，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由，得，
设，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，
由函数单调性的性质可知在上单调递减，
所以，所以，解得或，
故实数的取值范围为．
故答案为：．
依题可得，构造函数，利用函数单调性求得最值，最后解一元二次不等式即可．
本题考查函数恒成立问题，利用函数的单调性求最值，属中档题．
17.【答案】解：原式，
原式
．
【解析】利用指数幂的性质和运算法则求解．
利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．
本题考查指数幂，对数的性质、运算法则及换底公式，属于基础题．
18.【答案】解：因为，所以的根为和，且，
所以，解得；
不等式可化为，
即，
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为．
【解析】根据不等式的解集对应方程的根，利用根与系数的关系列式求解即可；
根据两根大小关系分类解不等式即可．
本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．
19.【答案】解：或，
根据充分不必要条件的定义可知是的真子集，
所以或，
解得或，
故实数的取值范围为．
由可知，，则集合中含有整数元素，，，
由集合中只含有两个整数元素且这两个元素非负可知，
解得，
故实数的取值范围为．
【解析】根据充分不必要条件的定义得到是的真子集，然后列不等式求解即可；
根据集合得到整数元素为，，中的两个，然后根据集合中只含有两个整数元素且这两个元素非负列不等式求解．
本题考查充分不必要条件的应用，属于中档题．
20.【答案】解：函数满足，
则有解得，
故．
由可知，函数定义域为，
，
因为函数与都在上单调递增，
所以函数在上是增函数．
因为，
所以函数在上的值域为．
【解析】由，代入函数，求出，得解析式；
利用函数的单调性可得值域．
本题主要考查函数的解析式和函数的值域，属于中档题．
21.【答案】解：由题意知时，公里小时；
当时，设，由，，
则，解得，
所以．
由可得，
当时，，此时；
当时，，
当时，；
由于，所以当游客密集度为人平方公里时，通过的游客数量可以达到最大值．
【解析】时，；当时，设，由，，解出，可得函数的表达式；
由解析式，利用函数单调性和配方法，求最大值．
本题考查了函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：由，得，即，
由，得，即，
由得，解得，或舍，，
所以，
由得，
故的定义域为；
假设存在实数，，使得在区间上的值域是．
令，，则在上单调递增，
而在上单调递增，故在上单调递增，
所以，即．
令，，，则，为方程的两个不等实数根且，，
令，则，即，解得．
即，，故存在实数符合条件，的取值范围是．
【解析】由和求得，，得函数解析式，即可确定定义域；
假设存在实数，，判断出的单调性，由单调性变形并换元后转化成二次方程有两个不等的实根，再由二次方程根的分布知识可得结论．
本题考查函数解析式的求法及函数的定义域的求法，函数的单调性的应用，属于中档题．
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