2023-2024学年贵州省遵义市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年贵州省遵义市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题：，的否定是( )
A. ， B.
C. D.
3.不等式的解集为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.““是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知实数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.遵义市某校高一年级甲，乙两名同学次数学测试分制成绩如茎叶图所示，则下列结论正确的是( )
A. 甲、乙的中位数都是
B. 甲的方差小于乙的方差
C. 甲、乙同学成绩的极差分别是和
D. 甲的分位数是、乙的分位数是
10.已知正实数，满足，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.不透明盒子里装有除颜色外完全相同的个红球，个白球，现从盒子里随机取出个小球，记事件：取出的两个球是一个红球一个白球，事件：两个球中至少一个白球，事件：两个球均是红球，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
12.已知函数，，则下列结论正确的是( )
A. 函数有个零点
B. 存在实数使得函数至少有个零点
C. 当时，函数有个零点
D. 当时，函数有个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的图象过定点______．
14.函数的定义域为______．
15.设函数，若，则 ______．
16.已知函数，则的解集为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算下列各式：
；
．
18.本小题分
设全集，集合，集合，．
当时，求图中阴影部分表示的集合；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
全面加强和改进新时代学校体育工作的意见中指出：“逐步完善“健康知识基本运动技能专项运动技能”的学校体育教学模式教会学生科学锻炼和健康知识，指导学生掌握跑、跳、投等基本运动技能和足球、篮球、排球、田径、游泳、体操、武术、冰雪运动等专项运动技能健全体育锻炼制度，广泛开展普及性体育运动，定期举办学生运动会或体育节，组建体育兴趣小组、社团和俱乐部，推动学生积极参与常规课余训练和体育竞赛合理安排校外体育活动时间，着力保障学生每天校内、校外各个小时体育活动时间，促进学生养成终身锻炼的习惯，加强青少年学生军训”某市为了解高中生周末体育锻炼时间的情况，通过随机调查获得了名学生的周末体育锻炼时间单位：分钟数据，将数据按照，，，，，，分成组，并得到如频率分布直方图．
估计该市高中生周末体育锻炼的平均时间每组数据用该组中点值代表；
为了解本市高中生周末体育锻炼时间规划情况，采用分层抽样的方法从体育锻炼时间在中抽取人，再从人中随机抽取人进行访谈，求抽取的人中恰有人锻炼时间在的概率．
20.本小题分
正安县是中国白茶之乡在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的．
时间
水温
设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：
；
．
从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前组数据求出该解析式；
根据中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到；
考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少．
参考数据：，
21.本小题分
已知函数为定义在上的奇函数，当时，．
当时，求函数的解析式；
若函数在上单调递增，
求实数的取值范围；
(ⅱ)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数为对数函数，函数的图象与函数的图象关于对称，设函数，且对任意都有恒成立．
求函数的解析式；
若函数在上的最小值为，求实数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，则．
故选：．
根据集合交集的定义求解．
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题：，的否定为，．
故选：．
由已知结合含有量词的命题的否定即可求解．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，可得，
则，方程有二根或，
则的解集为，
则不等式的解集为．
故选：．
先将不等式转化为一元二次不等式，解之即可求得原不等式的解集．
本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，，
则．
故选：．
由已知结合指数及对数函数的单调性即可比较函数值的大小．
本题主要考查了指数及对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，即，
，“”可以推出“”，
而当，时，满足，但不满足，即“”不能推出“”，
所以““是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据充分不必要条件的定义求解．
本题考查充分不必要条件的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，
所以函数的图象既关于对称，又关于对称，
所以，，
所以，即，
若，则，，
所以．
故选：．
由已知结合函数的奇偶性及对称性即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及对称性在函数求值中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为实数，满足，
则的，
当且仅当，即，时取等号．
故选：．
由已知结合指数幂的运算及基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以，，，
令，则在上单调递增，
所以，
所以，即，B错误，D正确；
若，则，，
存在，使成立，此时，A错误；
若，即，显然与矛盾，C错误．
故选：．
由已知，，，结合等式特点构造函数，判断的单调性，结合单调性分析各选项即可判断．
本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，还考查了不等式性质的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由茎叶图知：甲数据为，，，，，，，，乙数据为，，，，，，，，
所以甲乙中位数分别为，，故A错；
甲的平均值，乙的平均值，
故甲的方差为，
故乙的方差为，
所以甲的方差小于乙的方差，对；
甲乙的极差分别为，，对；
由，甲的分位数为，由，乙的分位数为，错．
故选：．
根据茎叶图求甲乙的中位数、方差、极差，结合百分数求法求甲的分位数、乙的分位数，即可判断各项正误．
本题主要考查了茎叶图的应用，考查了平均数、方差、极差和百分位数的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为正实数，满足，当且仅当时取等号，
所以，A正确；
原式可变形为，
所以，当且仅当，即，时取等号，B正确；
，即最小值为，C错误；
因为，
所以，即，
所以，D错误．
故选：．
由已知结合基本不等式检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，不透明盒子里装有除颜色外完全相同的个红球，个白球，
从盒子里随机取出个小球，有种取法，
记事件：两个球均是白球，
依次分析选项：
对于，事件包含的取法数为，则，A正确；
对于，由于，则，B错误；
对于，即取出的两个是一个红球一个白球或都是红球，其概率，C正确；
对于，，，，D错误．
故选：．
根据题意，由古典概型公式分析，由子事件的性质分析，由互斥事件的概率公式分析，验证和是否相等可得，综合可得答案．
本题考查概率的性质以及计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：作出的图象，可得的图象位于轴上方，故没有零点，故A错误；
令，解得，或，由可得有两解，而的解的个数最多两个，即最多有个零点，故B错误；
当，即时，由可得有两解，而的解的个数为，即有个零点，故C正确；
当，即，由可得有两解，而的解的个数为，即有个零点，故D正确．
故选：．
作出函数的图象，由，解得，或，结合图象和的取值范围，可得正确结论．
本题考查函数的图象和零点个数，考查数形结合思想和推理能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由得，此时，
故图象恒过定点．
故答案为：．
根据指数函数过定点的性质，令指数幂等于即可．
本题主要考查指数函数过定点问题，直接利用指数幂等于是解决本题的关键，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：函数的定义域满足：
，
解得，
函数的定义域为．
故答案为：．
利用对数函数的定义域直接求解．
本题考查对数函数的定义域等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
易得在和上都是增函数，
若，必有，即，
解可得或舍，
故．
故答案为：．
根据题意，由函数的解析式分析的范围，进而求出的值，结合函数的解析式计算可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由，
则
所以关于对称，在上任取，，令，
则
，
而，，所以，
所以，即，
即在上递增，根据对称性知：在上递减，
由，则，即，
所以，即，解得，
故不等式解集为
故答案为：
由函数的解析式，可得函数关于对称，并求出单调性，进而可得不等式，解得不等式的解集即可．
本题考查函数的对称性及单调性的求法及性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：原式；
原式．
【解析】利用有理数指数幂的运算性质化简即可求解；利用对数的运算性质化简即可求解．
本题考查了有理数指数幂以及对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：因为，
当时，集合，或，
图中阴影部分表示的集合；
若，则，
又，，
则，解得，
故实数的取值范围为．
【解析】图中阴影部分表示的集合，然后结合集合的补集及交集运算即可求解；
若，则，然后结合集合的包含关系即可求解．
本题主要考查了集合的交集及补集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由频率和为，得，解得；
计算，
估计该市高中生周末体育锻炼的平均时间为分钟；
由分层抽样法知，从体育锻炼时间在中抽取人，其中在内抽取人，记为，，，；
在内抽取人，记为，；再从这人中随机抽取人，基本事件为：
，，，，，，，，，，，，，，共种；
其中抽取的人中恰有人锻炼时间在的基本事件为：
，，，，，，，共种；
故所求的概率为．
【解析】由频率和为列方程求出的值，再计算平均数即可；
由分层抽样法求出抽取的人中在内和内抽取的人数，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
本题考查了频率分布直方图应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．
20.【答案】解：由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型不符合，
选模型，则，即，
解得，
所以且；
令，则，
所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为；
由，即，
所以进行实验时的室温约为．
【解析】根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数性质确定模型，再结合数据求解析式；
令利用指对数关系及对数运算性质求结果；
根据指数函数性质求函数的值域，即可确定进行实验时的室温．
本题主要考查了根据实际问题选择函数模型，考查了对数的运算性质，属于中档题．
21.【答案】解：函数为定义在上的奇函数，当时，，
因为时，，
当时，，所以，
因为函数为上的奇函数，所以，
综上所述：；
时，，开口向上，对称轴，
要使在上单调递增，则，即；
因为函数为奇函数，所以，
由奇函数的对称性及单调性可得，
即有解，
所以，
即，解得，
所以的取值范围为．
【解析】由的解析式及奇函数的性质可得的解析式，即求出函数的解析式；
由奇函数的性质及在上单调递增，可得有解，由判别式大于，可得的取值范围．
本题考查奇函数的性质的应用，单调性的应用，属于中档题．
22.【答案】解：由题设，可得，故，
由函数的图象与函数的图象关于对称，即两函数互为反函数，
故，故，定义域为，
由，即，所以为偶函数，
即恒成立，
故，则．
由得，且
令，则，即，
所以，且，开口向上，对称轴为，
所以在上的最小值为，
当，即时，，可得；
当，即时，，
所以，可得或，均不满足前提；
综上，．
【解析】由对数函数定义求得，则，结合反函数性质得，再根据已知得为偶函数，由偶函数性质求参数，即可得的解析式；
由题设，令，进而得到，且，根据二次函数性质及其最小值求参数即可．
本题主要考查函数解析式的求法，函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
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