2023-2024学年湖南省长沙市长沙县高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市长沙县高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的零点是( )
A. B. C. D.
3.已知，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若角终边有一点，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则函数与函数的图象在同一坐标系中可以是( )
A. B. C. D.
6.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.若函数是上的单调函数，则实数取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知不等式的解集为或，则下列结论错误的是( )
A.
B.
C. 的解集为或
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式正确的有( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
10.下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是( )
A. B. C. D.
11.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 函数与的图象关于对称
C. 为奇函数
D. 函数单调递增区间为，
12.已知函数，则下述结论正确的是( )
A. 为奇函数
B. 的图象关于对称
C. 在内是单调增函数
D. 关于的不等式的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.______．
14.若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______．
15.当且时，函数的图象一定经过定点 ．
16.折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图其平面图如图的扇形，其中，，则扇面曲边四边形的面积是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算下列各式的值：
；
．
18.本小题分
集合，．
当时，求：；
已知，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
求的最小值以及取得最小值时的集合．
20.本小题分
为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留米宽的通道，两养殖池之间保留米宽的通道．设温室的一边长度为米，如图所示．
将两个养殖池的总面积表示为的函数，并写出定义域；
当温室的边长取何值时，总面积最大？最大值是多少？
21.本小题分
如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，，将射线绕逆时针旋转到，过，分别作于，于．
Ⅰ建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示，两点的坐标；
Ⅱ求四边形的面积的最大值．
22.本小题分
已知函数其中，为常数且，的图象经过点，．
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
由集合并集的定义：或可得答案．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：令，解得，是函数的零点．
故选：．
令解出即为函数的零点．
本题考查了函数零点的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了充分必要条件的定义，一元二次不等式的解法，属于基础题．
求解，得出或，根据充分必要的定义判断即可得出答案．
【解答】解：先看充分性：
，
，
充分性成立，
再看必要性：
，
或，
必要性不成立，
是的充分不必要条件，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若角终边有一点，且，
即，解得．
故选：．
由题意，根据正弦定义即可得到方程，解出即可．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：当时，在定义域上单调递减，
在上单调递增，
对应的图形为，
故选：．
根据指数函数和对数函数的单调性和的关系，即可得到结论．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用指数函数和对数函数单调性的性质是解决本题的关键，比较基础．
6.【答案】
【解析】解：因为，
则，
当且仅当，即时取等号．
故选：．
利用“”的代换思想，根据基本不等式求解即可．
本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数的单调性问题，分段函数的单调性必须先保证每段函数单调，同时端点处的函数值也存在对应的大小关系．
要使函数上的单调函数，则必须保证分段函数分别单调，对于端点处的函数值存在一定的大小关系．
【解答】
解：若函数单调性递增，
则满足，解得．
若函数单调性递减，
则满足，此时无解．
综上实数取值范围为：．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由题意知，和是方程的两根，且，
，，
，，
，，，即选项A和D正确；
或，
，即选项B正确；
不等式可化为，
，，即选项C错误．
故选：．
由题意知，和是方程的两根，且，再利用韦达定理，得出，，从而判断选项A和；由或，可判断选项B；将，代入不等式，解之，可判断选项C．
本题考查一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式与一元二次方程之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由于，故A正确；
，B正确；
若，则，则不正确；
若，则，故D正确．
故选：．
根据对数的运算性质即可求出．
本题考查了对数的运算性质，考查了运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，定义域为，因为，
所以函数为偶函数，因为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，
所以的最小正周期为，所以A正确，
对于，定义域为，因为，
所以函数为奇函数，所以B错误，
对于，定义域为，最小正周期为，
因为，所以函数为偶函数，所以C正确，
对于，定义域为，最小正周期为，所以D错误，
故选：．
直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可．
本题考查三角函数的周期，考查学生的运算能力及分析能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为命题“，”的否定是“，”，故A错误；
函数与互为反函数，
故其图象关于对称，故B正确；
因为，可求得定义域为关于原点对称，
又，故函数为奇函数，故C正确；
因为，
所以函数的单调递增区间为，和，故D正确．
故选：．
对于，根据命题与命题的否定直接判断即可；对于，根据互为反函数的两个函数图象关于原点对称判断即可；对于，根据奇函数定义判断即可；对于，根据二次函数单调性判断即可；
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，，显然不满足，即不是奇函数，A错误；
因为，
故函数的图象关于对称；B正确；
当时，单调递增，根据函数的对称性可知，在上单调递增，C正确；
由可得，
所以，
解得，D正确．
故选：．
由已知结合函数的奇偶性，对称性及单调性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性，对称性的判断及应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可．
本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．
14.【答案】
【解析】解：根据条件可以转化为，
不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，
只需满足，，解得，
综上可得，的取值范围为．
故答案为：．
由题意知在上恒成立，只需，解得的取值范围．
本题主要考查了由二次不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数函数过定点问题，属于基础题．
利用指数函数的性质求解．
【解答】
解：令得，，此时，
函数的图象一定经过定点，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：扇形的面积，
扇形的面积；
故扇面曲边四边形的面积．
故答案为：．
直接利用扇形的面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：扇形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：原式
；
原式．
【解析】结合指数幂的运算性质即可求解；
结合对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：由题知，，，
因为，
解得，
所以，
当时，，
所以；
由题知，
由得，，，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上所述，的取值范围为或
【解析】先求出集合，，再利用集合的并集运算求解；
由可得，再分和两种情况讨论，分别求出的取值范围，最后取并集即可．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
19.【答案】解：由得，
所以；
由知，此时，即，
故的集合为．
【解析】利用辅助角公式化简，结合正弦函数的周期公式即可求得答案；
根据正弦函数的性质即可求得答案．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：依题意得温室的另一边长为米．
因此养殖池的总面积，
因为，，所以．
所以定义域为．
，
当且仅当，即时上式等号成立，
当温室的边长为米时，总面积取最大值为平方米．
【解析】本题考查实际问题的解决方法，函数思想的应用，基本不等式求解函数的最值，考查分析问题解决问题的能力．
依题意得温室的另一边长为米．求出养殖池的总面积，然后求解函数的定义域即可．
，利用基本不等式求解函数的最值即可．
21.【答案】解：Ⅰ以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，
，圆的半径为，点坐标为．
将射线绕逆时针旋转到，点的坐标为，即坐标为．
Ⅱ由题意，，，，
四边形的面积，
，，
当时，即时，，
四边形的面积的最大值为．
【解析】Ⅰ建立坐标系，由题意，利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，求得，两点的坐标．
Ⅱ先求得、、的值，再根据梯形的面积公式，二倍角公式，化简梯形的面积，再根据正弦函数的定义域和值域，求出四边形的面积的最大值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，梯形的面积公式，二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
22.【答案】解：由题意得，，，分
分
设，则在上为减函数．分
当时，分
在上恒成立，分
，分
，
的取值范围为：分
【解析】将点的坐标，代入函数解析式，即可求得的解析式；
求出在上的最小值，不等式在上恒成立，转化为，从而可求实数的取值范围．
本题考查函数解析式的确定，考查恒成立问题，求出函数的最值是关键．
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